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初三函數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)方案
二次函數(shù)(quadratic function)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。
一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
一般式
y=ax+bx+c(a0,a、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a，-(4ac-b2)/4a) ;
頂點(diǎn)式
y=a(x+m)2+k(a0,a、m、k為常數(shù))或y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-m，k)對稱軸為x=-m，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax2的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式;
交點(diǎn)式
y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1，0)和 B(x2，0)的拋物線] ;
重要概念：a，b，c為常數(shù)，a0，且a決定函數(shù)的開口方向，a0時，開口方向向上，a0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。
牛頓插值公式(已知三點(diǎn)求函數(shù)解析式)
y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引導(dǎo)出交點(diǎn)式的系數(shù)a=y1/(x1*x2) (y1為截距)
求根公式
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
求根公式
x是自變量，y是x的二次函數(shù)
x1,x2=[-b((b^2-4ac))]/2a
(即一元二次方程求根公式)(如右圖)
求根的方法還有因式分解法和配方法
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=2x的平方的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。
不同的二次函數(shù)圖像
如果所畫圖形準(zhǔn)確無誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。
注意：草圖要有 1本身圖像，旁邊注明函數(shù)。
2畫出對稱軸，并注明X=什么
3與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)，與Y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)。拋物線的性質(zhì)
軸對稱
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。
特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
頂點(diǎn)
2.拋物線有一個頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P ( -b/2a ，4ac-b^2;)/4a )
當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上;當(dāng)= b^2;-4ac=0時，P在x軸上。
開口
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a0時，拋物線向上開口;當(dāng)a0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
決定對稱軸位置的因素
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時(即ab0)，對稱軸在y軸左; 因?yàn)槿魧ΨQ軸在左邊則對稱軸小于0，也就是- b/2a0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號
當(dāng)a與b異號時(即ab0)，對稱軸在y軸右。因?yàn)閷ΨQ軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是- b/2a0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號
可簡單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號時(即ab0)，對稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號時(即ab 0 )，對稱軸在y軸右。
事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式(一次函數(shù))的斜率k的值�？赏ㄟ^對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。
決定拋物線與y軸交點(diǎn)的因素
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于(0，c)
拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)
6.拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)
= b^2-4ac0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)。
= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)。
_______
= b^2-4ac0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x= -bb^2-4ac 的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a)
當(dāng)a0時，函數(shù)在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b在{x|x-b/2a}上是減函數(shù)，在
{x|x-b/2a}上是增函數(shù);拋物線的開口向上;函數(shù)的值域是{y|y4ac-b^2/4a}相反不變
當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax^2+c(a0)
特殊值的形式
7.特殊值的形式
�、佼�(dāng)x=1時 y=a+b+c
②當(dāng)x=-1時 y=a-b+c
�、郛�(dāng)x=2時 y=4a+2b+c
④當(dāng)x=-2時 y=4a-2b+c
二次函數(shù)的性質(zhì)
8.定義域：R
值域：(對應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷)①[(4ac-b^2)/4a，
正無窮);②[t，正無窮)
奇偶性：當(dāng)b=0時為偶函數(shù)，當(dāng)b0時為非奇非偶函數(shù)。
周期性：無
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
�、臿0
�、芶0，則拋物線開口朝上;a0，則拋物線開口朝下;
�、菢O值點(diǎn)：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);
⑷=b^2-4ac,
0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)：
([-b-]/2a，0)和([-b+]/2a，0);
=0，圖象與x軸交于一點(diǎn)：
(-b/2a，0);
0，圖象與x軸無交點(diǎn);
②y=a(x-h)^2+k[頂點(diǎn)式]
此時，對應(yīng)極值點(diǎn)為(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;
�、踶=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式(雙根式)](a0)
對稱軸X=(X1+X2)/2 當(dāng)a0 且X≧(X1+X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當(dāng)a0且X≦(X1+X2)/2時Y隨X
的增大而減小
此時，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連
用)。
交點(diǎn)式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道兩個x軸交點(diǎn)和另一個點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)交點(diǎn)式。兩交點(diǎn)X值就是相應(yīng)X1 X2值。
26.2 用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程
1. 如果拋物線 與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 ，那么當(dāng) 時，函數(shù)的值是0，因此 就是方程的一個根。
2. 二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點(diǎn)，有一個公共點(diǎn)，有兩個公共點(diǎn)。這對應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒有實(shí)數(shù)根，有兩個相等的實(shí)數(shù)根，有兩個不等的實(shí)數(shù)根。
26.3 實(shí)際問題與二次函數(shù)
在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時間最少、效率最高等問題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。
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