積分變換在無窮限積分計(jì)算中的應(yīng)用

時(shí)間：2022-10-01 02:05:36 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文我要投稿

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　　摘要：本文利用積分變換(Fourier變換和Laplace變換)來計(jì)算無窮限積分，通過具體的實(shí)例說明采用積分變換計(jì)算特殊類型的無窮限積分是簡便、有效的，是對用初等方法計(jì)算無窮限積分的一個(gè)很好補(bǔ)充。

　　關(guān)鍵詞：無窮限積分;Fourier變換;Laplace變換

　　一、引言

　　廣義積分(或稱反常積分)的反常性既表現(xiàn)在積分區(qū)間為無窮區(qū)間，又表現(xiàn)為被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)部出現(xiàn)瑕點(diǎn)。當(dāng)廣義積分被積函數(shù)的原函數(shù)不好找或者不存在初等函數(shù)的原函數(shù)時(shí)，反常積分的求解就不太容易討論，也就難于求值，因此除了掌握用基本方法外，還應(yīng)了解一些特殊類型積分的求解方法。

　　求解無窮限積分的方法還有很多，如文獻(xiàn)中就介紹了利用留數(shù)來計(jì)算某些類型的無窮限積分.但要利用留數(shù)計(jì)算定積分，需具備兩個(gè)條件：一是被積函數(shù)與某個(gè)解析函數(shù)有關(guān);二是選擇相應(yīng)的封閉路徑，由于封閉路徑的形狀可能是多種多樣，再者周線上有奇點(diǎn)的時(shí)候還要繞過去，因此由于選擇封閉路徑的困難使得利用留數(shù)計(jì)算無窮限積分的方法也受到了很大的限制。

　　積分變換(Fourier變換和Laplace變換)的理論和方法在數(shù)學(xué)的許多分支、其他自然科學(xué)、工程技術(shù)中均有廣泛應(yīng)用.本文通過具體的實(shí)例展現(xiàn)利用積分變換計(jì)算某些特殊類型的無窮限積分的思想和方法，以及相對于初等方法方法的優(yōu)勢，對積分變換計(jì)算某些特殊類型的無窮限積分的應(yīng)用做了淺顯的討論。

　　二、利用拉普拉斯變換的定義計(jì)算無窮限積分

　　對比兩種方法，可以看到利用積分變換計(jì)算比用留數(shù)的方法計(jì)算更方便和更簡捷。

　　三、利用傅立葉變換及其逆變換的定義計(jì)算無窮限積分

　　定義：如果函數(shù)f(x)滿足Fourier積分定理中的條件，也就是函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)滿足下列條件：1)f(x)在任一有限區(qū)間上滿足Dirichlet條件;2)f(x)在無限區(qū)間

　　例5和例6利用傅立葉變換及其逆變換的定義計(jì)算含參變量的無窮限積分，高數(shù)中計(jì)算含參變量的無窮限積分，一般只能按定義進(jìn)行，難點(diǎn)在于要求出被積函數(shù)的原函數(shù)，而一些看似簡單的函數(shù)想要找到其原函數(shù)，在實(shí)函數(shù)理論中幾乎辦不到，即使能夠找到，過程也很繁瑣，而利用積分變換法解決這種問題，就可以避免求原函數(shù)，從而簡化了計(jì)算，具有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。

　　四、總結(jié)

　　本文通過具體的實(shí)例說明利用積分變換計(jì)算特殊類型的無窮限積分是一種簡便而有效的方法和途徑，它克服了初等方法的局限性，是對初等方法的一個(gè)很好的補(bǔ)充.

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(第六版)[M].北京：高等教育出版社，2007.

　　[2]西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.復(fù)變函數(shù)(第六版)[M].高等教育出版社，2006.

　　[3]東南大學(xué)數(shù)學(xué)系張?jiān)?積分變換(第四版)[M].高等教育出版社，2003.

　　[4]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.

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