線性代數(shù)課堂教學(xué)論文

　　線性代數(shù)課堂教學(xué)論文【1】

　　【摘要】本文從線性代數(shù)課程的特征出發(fā)，研究了在保持課程內(nèi)容體系不變的前提下，通過把握主線、引入幾何觀點、結(jié)合代數(shù)發(fā)展史三個方面，來改進(jìn)傳統(tǒng)的線性代數(shù)課堂教學(xué).結(jié)論表明，以上的改進(jìn)不僅能減輕由于代數(shù)的抽象性帶來的學(xué)習(xí)困難，達(dá)到更好的教學(xué)效果，同時能在課堂中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力及數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.

　　【關(guān)鍵詞】線性代數(shù);課堂教學(xué);教學(xué)主線;幾何觀點;代數(shù)史

　　線性代數(shù)及微積分(常稱為高等數(shù)學(xué))、概率論與數(shù)理統(tǒng)計是當(dāng)今大學(xué)生三門必修數(shù)學(xué)課.由于中學(xué)數(shù)學(xué)教材改革和新課標(biāo)的實施，微積分和概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中的部分知識點已經(jīng)在學(xué)生的高中階段都有所接觸，而且這兩門課的大部分知識都有較為豐富的背景和應(yīng)用范圍.相比而言，線性代數(shù)中的行列式、矩陣概念對學(xué)生是全新的，沒有在中學(xué)接觸過的，就現(xiàn)行的大量教材來看，線性代數(shù)在內(nèi)容安排上，顯得邏輯性、抽象性有余，而背景性和應(yīng)用性不足.

　　加上線性代數(shù)一般都安排課時較少，所以使得學(xué)生對線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)更加吃力，達(dá)到的教學(xué)效果也不盡理想.本文探討在不改變線性代數(shù)課程內(nèi)容體系的前提下，如何改進(jìn)課堂教學(xué)方法，以達(dá)到更好的教學(xué)效果.

　　一、教學(xué)中必須把握兩條主線

　　如前所述，與其他兩門數(shù)學(xué)課程相比較，線性代數(shù)的教材編得更為抽象，更加遠(yuǎn)離現(xiàn)實.學(xué)生通常會覺得概念、定義多，而且由于缺乏背景，一般會顯得零散，各種概念之間的聯(lián)系也較難把握.在課堂教學(xué)中，必須把握線性代數(shù)課程的兩條主線，才能把這些大量的概念連起來，形成一個整體.

　　1.第一條主線是線性方程組

　　求解線性方程組是線性代數(shù)課程的一個主要任務(wù)，將中學(xué)的消元法經(jīng)過一次抽象，就是線性代數(shù)中矩陣的初等變換概念.根據(jù)各種方程組的特點，形成了線性代數(shù)課程中一系列概念和方法.當(dāng)未知數(shù)個數(shù)與方程的個數(shù)相等的時候，行列式可以派上用場，于是引出了行列式的初等變換、求值、克萊姆法則等相關(guān)概念.對一般的線性方程組，我們用秩來描述“真正起作用的方程的個數(shù)”，方程組的有解無解，有唯一解還是無窮多解，自由未知量的個數(shù)，都可以用系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩來理解了.

　　為了對無窮多解有更深入的認(rèn)識，把方程組的解看成向量，對齊次線性方程組，就需要引入向量空間的概念，這樣就不難理解線性相關(guān)與線性無關(guān)、最大線性無關(guān)組這一連串的概念了.可見，抓住了線性方程組這條主線，就可以把行列式、矩陣、向量組這些概念合理地聯(lián)系起來了.

　　2.第二條主線是二次型的標(biāo)準(zhǔn)化

　　解析幾何中很重要的一個主題就是要把一些二次曲線方程化為只含有平方項的二次型，以便研究曲線的類型，這就是我們所謂的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)二次型.利用矩陣這一工具來完成這個過程，需要從矩陣的特征值和特征向量出發(fā)，來討論實對稱矩陣的對角化問題.線性代數(shù)課程一般給出了三種化二次型為標(biāo)準(zhǔn)二次型的方法，著重討論的是用正交變換的方法.

　　在課堂上，抓住這樣兩條主線，不但可以避免概念的零碎，而且對學(xué)生掌握線性代數(shù)整個課程體系也是非常有幫助的.

　　二、在課堂上引入幾何的觀點來介紹代數(shù)知識

　　大部分線性代數(shù)教材都從知識結(jié)構(gòu)的邏輯性來安排內(nèi)容，使得代數(shù)知識以抽象的面孔出現(xiàn)在學(xué)生面前.事實上，在中學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)初等代數(shù)時，是非常注重代數(shù)與幾何之間的結(jié)合的.數(shù)形結(jié)合不僅有利于降低學(xué)生的理解難度，也是掌握代數(shù)思想的一個必然要求.如何用幾何的觀點來學(xué)習(xí)代數(shù)，是一個在線性代數(shù)的課堂教學(xué)中值得思考的問題.

　　(5)的解即為方程組(2)的滿足整體誤差最小的近似解，這就是最小二乘法求最優(yōu)近似解的結(jié)果.從上面的例子可以看出，直觀的幾何意義使得很多推算得到了簡化，更能讓學(xué)生加深對概念和方法的理解.

　　三、從代數(shù)發(fā)展歷史的角度來講線性代數(shù)課程

　　前面提到，大部分教材的編排由于注重嚴(yán)格系統(tǒng)化的形式推理，都不可避免地使線性代數(shù)抽象性特征明顯，我們在課堂教學(xué)中，不妨靈活處理知識的來龍去脈，站在從知識發(fā)展的歷史的角度來認(rèn)識這門課程，這也是引起國外越來越多大學(xué)重視的一種教學(xué)方式.SpringerVerlag出版社出版的大量大學(xué)數(shù)學(xué)教材，就是基于這一觀點來編寫的.

　　2008年，普林斯頓大學(xué)出版社出版了《普林斯頓數(shù)學(xué)指南》(the Princeton Companion to Mathematics)，這是一本數(shù)學(xué)綜合類的普及讀物，全書共有一千多頁，盡量用淺顯的語言，把現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識的來龍去脈解釋清楚.在線性代數(shù)的課堂教學(xué)中，如果能借鑒這種從知識產(chǎn)生歷史角度來講授知識，不僅能讓學(xué)生理解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，更為可貴的是，能把很多數(shù)學(xué)大家當(dāng)時對這些數(shù)學(xué)問題的思考過程呈現(xiàn)在學(xué)生面前，對學(xué)生創(chuàng)造性思維的形成過程大有益處.

　　四、結(jié) 語

　　線性代數(shù)課程由于其自身的特征給教學(xué)帶來一定的難點，如何在不改變課程知識體系的前提下，達(dá)到較好的教學(xué)效果，讓學(xué)生能在抽象的代數(shù)學(xué)習(xí)中，接受知識，形成創(chuàng)造性思維方式，提高數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)，是每個大學(xué)數(shù)學(xué)教師面臨的一個重要課題.本文從教學(xué)實踐中，結(jié)合國內(nèi)外相關(guān)的數(shù)學(xué)教育理論，提出了幾條相應(yīng)的措施.要提高教學(xué)質(zhì)量，需要長時間在實踐不斷去完善教學(xué)手段和教學(xué)方法，唯有高質(zhì)量的課堂教學(xué)，才能保證線性代數(shù)課程較好的教學(xué)效果.

　　【參考文獻(xiàn)】

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　　線性代數(shù)課堂教學(xué)方法【2】

　　[摘要]在大類招生背景下，線性代數(shù)是浙江大學(xué)大類課。

　　它的教學(xué)效果對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)是至關(guān)重要的。

　　本文是作者在浙江大學(xué)教學(xué)中總結(jié)出課堂教學(xué)的一些策略和方法。

　　[關(guān)鍵詞]線性代數(shù);課堂教學(xué);方法

　　一. 浙江大學(xué)線性代數(shù)現(xiàn)狀

　　大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程(主要指微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計)，是重要的大學(xué)基礎(chǔ)課之一。

　　基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)可以受用終身。

　　如果沒有打下良好的基礎(chǔ)，學(xué)生很難真正理解高深的應(yīng)用技術(shù)。

　　這是因為數(shù)學(xué)的理論與方法已被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、工程技術(shù)及工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的各個領(lǐng)域，數(shù)學(xué)技術(shù)已成為高技術(shù)的突出標(biāo)志和重要組成部分，數(shù)學(xué)的影響和作用已深入到各個行業(yè)，可以說是無處不在。

　　線性代數(shù)是讓學(xué)生通過抽象性、邏輯性、應(yīng)用性的必要訓(xùn)練，逐步形成運用線性代數(shù)的原理和方法解決實際問題的思維模式和思維習(xí)慣，提供進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必備的代數(shù)知識.公理化演繹的思想(如：線性空間等各類代數(shù)系統(tǒng))，分類的思想(如：矩陣的相似等等各種等價關(guān)系)，相互關(guān)聯(lián)的思想(如：同態(tài)等各種形式的映射)，矩陣的方法，初等變換的方法，抽象推理的方法…等等，是以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究的基本思想。

　　浙江大學(xué)在四校合并以后，經(jīng)過多年的調(diào)整，承擔(dān)課程教學(xué)的主要隊伍已經(jīng)穩(wěn)定。

　　在相對穩(wěn)定的11人教學(xué)隊伍中有教授4名，副教授6名。

　　獲博士學(xué)位的有8位，承擔(dān)課程的老師均為中青年教師，教學(xué)效果良好。

　　現(xiàn)有的教學(xué)隊伍基本上能夠以科研來帶動教學(xué)的改革，把課程的前沿知識、研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢，及時貫徹到教學(xué)過程中，常講常新。

　　這為新的課程建設(shè)和課堂教學(xué)改革的開展提供了良好的隊伍基礎(chǔ)。

　　在每學(xué)期開學(xué)之時，我們按時確定學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容安排，制定教學(xué)日歷，并

　　按照規(guī)定把教學(xué)資料上傳網(wǎng)絡(luò)。

　　教學(xué)期間，嚴(yán)格按照制定的教學(xué)安排實施教學(xué)，每周安排兩位教師答疑;期中時舉行教學(xué)研討會交流經(jīng)驗，開展為青年教師的集體備課等活動;期末時，集體討論評分標(biāo)準(zhǔn)，集體改卷。

　　這些規(guī)范化的管理，為我們實施課程教學(xué)改革提供了良好的保證。

　　線性代數(shù)是浙江大學(xué)的校精品課程，得到學(xué)校的大力支持。

　　目前，浙江大學(xué)的線性代數(shù)正著手推進(jìn)省精品課程，在推進(jìn)過程中，我們不斷銳意改革，總結(jié)了一套很好的課堂教學(xué)方法。

　　針對浙江大學(xué)理學(xué)院大類招生制度的建立，由于培養(yǎng)模式的改變，為了使教學(xué)內(nèi)容更大范圍覆蓋學(xué)生類別，我們編寫了適合大類招生需求的《高等代數(shù)》 教材，增加小字部分的內(nèi)容提高難度，以適應(yīng)對數(shù)學(xué)有較高要求的學(xué)生。

　　原先教師都采用陳維新編的線性代數(shù)教材。

　　由于新教材的采用，如何適應(yīng)新教材的教學(xué)，特別是組織課堂教學(xué)，成為一個重要的課題。

　　二.課堂教學(xué)改革

　　1.傳統(tǒng)教學(xué)手段與現(xiàn)代教學(xué)手段靈活運用

　　傳統(tǒng)的教學(xué)一般采用前蘇聯(lián)教育家凱洛夫的“五段式教學(xué)”，即組織教學(xué)、檢查舊課、講授新課、鞏固新課和布置作業(yè)。

　　由于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，傳統(tǒng)的利用黑板板書的教學(xué)模式，在線性代數(shù)教學(xué)中有著現(xiàn)代教育技術(shù)所不具備的優(yōu)勢。

　　線性代數(shù)涉及很多數(shù)學(xué)符號和復(fù)雜的計算，所以現(xiàn)代教育技術(shù)有著克服不了的困難。

　　在教學(xué)過程中，我們采用由單純的PPT課件的教學(xué)以及單純的板書教學(xué)，過渡到把兩種授課方式結(jié)合在一起的教學(xué)模式中，并積累了一定的經(jīng)驗取得了良好的教學(xué)效果，提高授課的質(zhì)量。

　　2.強調(diào)把建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)

　　以線性方程組為主線，矩陣為工具，介紹線性代數(shù)的基本知識、基本理論和

　　線性規(guī)劃模型以及整數(shù)規(guī)劃模型，突出學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法和現(xiàn)代化計算工具解決

　　各種實際問題的能力培養(yǎng)，注重于建立模型方法的介紹和實際應(yīng)用。

　　例如教師

　　在教學(xué)過程中可以介紹一些網(wǎng)絡(luò)流模型。

　　網(wǎng)絡(luò)流模型廣泛應(yīng)用于交通、運輸、通訊、電力分配、城市規(guī)劃、任務(wù)分派以及計算機輔助設(shè)計等眾多領(lǐng)域。

　　通過這些模型的介紹，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，以模型帶動理論教學(xué)有意想不到的效果。

　　浙江大學(xué)在這方面有過成功經(jīng)驗，并且在期末考題融入建模試題。

　　3.從實際出發(fā)，注重概念與定理的直觀描述和實際背景，再講邏輯推理。

　　本課程是理論型的課程，沒有實驗部分。

　　我們提出在數(shù)學(xué)教學(xué)中要返璞歸真，從源頭講起，講清楚問題產(chǎn)生和發(fā)展的過程，講明道理，再講推理，然后再抽象化和形式化.通過習(xí)題的練習(xí)，使學(xué)生掌握、熟悉基本內(nèi)容和基本技巧，以附錄的形式在學(xué)習(xí)到相關(guān)章節(jié)的時候，向?qū)W生提供具有實際意義的背景資料，拓寬學(xué)生的知識面，這在以前的教學(xué)活動中并不常見。

　　由于教學(xué)課時的限制，這部分背景資料的學(xué)習(xí)，并不占用課堂時間。

　　在教學(xué)內(nèi)容上，在保留我國傳統(tǒng)的重歸納、演繹、推理的基礎(chǔ)上，更注重分析、綜合的思想。

　　對一些重要的概念的引入，注重概念實際背景的分析與教學(xué)。

　　許多定理的結(jié)論與條件用發(fā)現(xiàn)探索的方式引出并用分析、綜合的方法給予證明，激發(fā)學(xué)生的探索精神并對定理深入理解。

　　4.基于問題的探究式教學(xué)

　　根據(jù)不同情況學(xué)生的不同特點，參照在教學(xué)過程中積累的經(jīng)驗，教師在課堂有

　　導(dǎo)向性向各個由學(xué)生組成的小組提出一些問題，要求學(xué)生理解并作適當(dāng)?shù)幕卮稹?/p>

　　對于學(xué)生而言，他們需要在小組中討論這些問題，并對這些問題的定義，性質(zhì)以及如何應(yīng)用等等做出解釋。

　　在問題的構(gòu)思上必須精心設(shè)計，做到既要使學(xué)生以現(xiàn)有的知識水平無法輕易回答問題，又對課堂教學(xué)有實際意義。

　　這樣，在小組討論中，學(xué)生容易會對討論的主題抱有種種疑惑。

　　而為了解決這些疑惑，學(xué)生就要通過各種渠道進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，從而最終得到問題的答案。

　　5.開通微博微信答疑：

　　利用學(xué)校提供的先進(jìn)的技術(shù)教學(xué)平臺，助教把批改作業(yè)時發(fā)現(xiàn)的典型錯誤公布

　　在網(wǎng)上，學(xué)生思考，找出錯誤原因。

　　學(xué)生有問題可以發(fā)布在網(wǎng)絡(luò)課程中的問題集錦里，由教師、助教，也可以是學(xué)生來回答，共同討論。

　　教師、助教在網(wǎng)絡(luò)虛擬課堂與學(xué)生進(jìn)行交流，使學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容有了深刻理解，提高了學(xué)習(xí)質(zhì)量。

　　課堂上，講重點，講知識的背景與形成過程，揭示知識的內(nèi)在聯(lián)系，充分調(diào)動學(xué)生的積極性、主動性;自學(xué)是指有些教材內(nèi)容則采用學(xué)生自學(xué)為主，教師給出思考題，課后下班輔導(dǎo)及答疑.去年開始，開通我們開通微博微信答疑，筆者可以通過移動網(wǎng)絡(luò)隨時與學(xué)生互動答疑，效果非常好。

　　三.課堂教學(xué)改革的亮點

　　強調(diào)團(tuán)隊合作精神，提倡自主學(xué)習(xí)，互相討論、團(tuán)隊討論、問題發(fā)現(xiàn)、師生探討法。

　　將數(shù)學(xué)建模思想和方法融入到線性代數(shù)的教學(xué)，將數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容、模塊化教學(xué)、案例教學(xué)等方法引入線性代數(shù)教學(xué)，推進(jìn)線性代數(shù)教學(xué)改革。

　　首次提出開通微博微信答疑，學(xué)生有問題老師可以通過網(wǎng)絡(luò)、手機等及時解答學(xué)生問題。

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]黃正達(dá)，李方，溫道偉，汪國軍.高等代數(shù)(上冊)[M].浙江：浙江大學(xué)出版社，2011.

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