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費馬點的數(shù)學論文
而費爾馬曾提出關于三角形的一個有趣問題：在三角形所在平面上，求一點，使該點到三角形三個頂點距離之和最小。即在ABC內(nèi)求一點P,使 PA+PB+PC之值為最小,人們稱這個點為“費馬點”。
今天我們來探索費馬點。首先將三角形分為兩種情況:
�、佼斎切斡幸粋�內(nèi)角大于或等于一百二十度的時候，則費馬點就是這個內(nèi)角的頂點。
下面來驗證這個結(jié)論: 對三角形內(nèi)任意一點P,延長BA至C#39;使得AC=AC#39;，做∠C#39;AP#39;=∠CAP，并且使得AP#39;=AP, PC#39;=PC，即把三角形APC以A為中心做旋轉(zhuǎn)變換(如圖)。
則△APC≌△AP#39;C#39;（旋轉(zhuǎn)的不變性）
∵∠BAC≥120°（已知）
∴∠PAP#39;=180°-∠BAP-∠C#39;AP#39;（平角的意義）=180°-∠BAP-∠CAP（等量代換）=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP#39;中（已知AP#39;=AP），AP≥PP#39;（∠PAP’＜∠AP P#39;）
∴PA+PB+PC≥PP#39;+PB+ P#39;C#39;>BC#39;（兩邊之和大于第三邊）=AB+AC（已知AC=AC#39;）
所以A是費馬點。即之前的結(jié)論。
下面探討第二種情況：
�、谌绻齻�內(nèi)角都在120度以內(nèi)，那么，費馬點就是使得費馬點與三角形三頂點的連線兩兩夾角為120度的點。
做△ABC內(nèi)一點P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，分別作PA,PB,PC的垂線，交于D,E,F三點（如圖），再作一點P#39;，不與點P重合，連結(jié)P#39;A,P#39;B,P#39;C，過P#39;作P#39;H垂直EF于H。
∵∠APB=120°，∴∠PAB+∠PBA＝180°－120°=60°
且∠PAF=∠PBF=90°，∴∠F=180°－（90°+90°－60°）
同理可得：∠D=∠E=∠F=60°，即△DEF為等邊三角形，設邊長為d，面積為S。
則S= 1/2 d (PA+PB+PC)
∵P#39;H ≤ P#39;A
∴ 1/2×d×P#39;H×2S ≤1/2 ×d ×P#39;A×2S
又∵1/2×d×P#39;H=△EP#39;F ∴ 2S△EP#39;F≤ d ×P#39;A×S
同理有：2S△DP#39;F≤d ×P#39;B×S ， 2S△EP#39;D≤d ×P#39;C×S
相加，得：2S(△EP#39;F+△DP#39;F+△EP#39;D)≤ d ×S (P#39;A+P#39;B+P#39;C)
又∵△EP#39;F+△DP#39;F+△EP#39;D=△EDF
2S×S ≤ d ×S (P#39;A+P#39;B+P#39;C) 兩邊同除以S，得：2S ≤ d (P#39;A+P#39;B+P#39;C)
把S= 1/2 ×d (PA+PB+PC)代入上式可得：
PA+PB+PC≤P#39;A+P#39;B+P#39;C，當且僅當P,P#39;重合時取到等號。
所以P是費馬點，即與上述結(jié)論相符合。
經(jīng)過上述的推導，我們即得出了三角形中費馬點的找法：
當三角形有一個內(nèi)角大于或等于一百二十度的時候，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點；如果三個內(nèi)角都在120度以內(nèi)，那么，費馬點就是使得費馬點與三角形三頂點的連線兩兩夾角為120度的點。
費馬（Pierre de Fermat,1601—1665）是法國數(shù)學家、物理學家。費馬一生從未受過專門的數(shù)學教育，數(shù)學研究也不過是業(yè)余之愛好。然而，在17世紀的法國還找不到哪位數(shù)學家可以與之匹敵。他是解析幾何的發(fā)明者之一；概率論的主要創(chuàng)始人；以及獨承17世紀數(shù)論天地的人。一代數(shù)學大師費馬堪稱是17世紀法國最偉大的數(shù)學家。尤其他提出的費馬大定理更是困惑了世間智者358年。
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