一元二次方程根的判別式的綜合應(yīng)用

　　一、知識要點：

　　1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式Δ=b2-4ac。

定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ>0 方程有兩個不等實數(shù)根. 定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0 方程有兩個相等實數(shù)根. 定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ<0 方程沒有實數(shù)根.

　　2、根的判別式逆用(注意：根據(jù)課本“反過來也成立”)得到三個定理。

定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有兩個不等實數(shù)根 Δ>0. 定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有兩個相等實數(shù)根 Δ=0. 定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程沒有實數(shù)根 Δ<0.

　　注意：(1)再次強調(diào)：根的判別式是指Δ=b2-4ac。(2)使用判別式之前一定要先把方程變化為一般形式，以便正確找出a、b、c的值。(3)如果說方程有實數(shù)根，即應(yīng)當(dāng)包括有兩個不等實根或有兩相等實根兩種情況，此時b2-4ac≥0切勿丟掉等號。(4)根的判別式b2-4ac的使用條件，是在一元二次方程中，而非別的方程中，因此，要注意隱含條件a≠0.

　　二.根的判別式有以下應(yīng)用：

　　① 不解一元二次方程，判斷根的情況。

　　例1. 不解方程，判斷下列方程的根的情況：

　　(1) 2x2+3x-4=0　(2)ax2+bx=0(a≠0)

　　解：(1) 2x2+3x-4=0

　　a=2, b=3, c=-4,

　　∵Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0

　　∴方程有兩個不相等的實數(shù)根。

　　(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常數(shù)項的不完全的一元二次方程，將常數(shù)項視為零，

　　∵Δ=(-b)2-4·a·0=b2,

　　∵無論b取任何關(guān)數(shù)，b2均為非負(fù)數(shù)，

　　∴Δ≥0，　　故方程有兩個實數(shù)根。

　　② 根據(jù)方程根的情況，確定待定系數(shù)的取值范圍。

　　例2.k的何值時?關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0(1)有兩個不相等的實數(shù)根;(2)有兩個相等的實數(shù)根;(3)沒有實數(shù)根;

　　分析：由判別式定理的逆定理可知(1)Δ>0;(2)Δ=0;(3)Δ<0;

　　解：Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k

　　(1)∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，

　　∴Δ>0，即36-4k>0.解得k<9

　　(2)∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，

　　∴Δ=0，即36-4k=0.解得k=9

　　(3)∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，

　　∴Δ<0，即36-4k<0.解得k>9

　�、� 證明字母系數(shù)方程有實數(shù)根或無實數(shù)根。

　　例3.求證方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0沒有實數(shù)根。

　　分析：先求出關(guān)于x的方程的根的判別式，然后只需說明判別式是一個負(fù)數(shù)，就證明了該方程沒有實數(shù)根。

　　證明：　　Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)

　　=4m2-4(m4+5m2+4)

　　=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)

　　=-4(m2+2)2

　　∵不論m取任何實數(shù)(m2+2)2>0,

　　∴ -4(m2+2)2<0, 即Δ<0.

　　∴關(guān)于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0沒有實數(shù)根。

　　小結(jié)：由上面的證明認(rèn)清證明的格式歸納出證明的步驟：

　　(1)計算Δ(2)用配方法將Δ恒等變形(3)判斷Δ的符號(4)結(jié)論.其中難點是Δ的恒等變形，一般情況下配方后變形后為形如：a2,a2+2,(a2+2)2, -a2, -(a2+2)2的代數(shù)式，從而判定正負(fù)，非負(fù)等情況。

　�、� 應(yīng)用根的判別式判斷三角形的形狀。

例4.已知：a、b、c為ΔABC的三邊，當(dāng)m>0時，關(guān)于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2 ax=0有兩個相等的實數(shù)根。求證ΔABC為RtΔ。

　　證明：整理原方程：

方程c(x2+m)+b(x2-m)- 2 ax =0. 整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2 ax =0 (c+b)x2-2 ax +cm-bm=0

　　根據(jù)題意：

　　∵方程有兩個相等的實數(shù)根，

∴Δ=(-2 a)2-4(c+b)(cm-bm)=0

　　4ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0

　　ma2-c2m+b2m=0

　　∴Δ=m(a2+b2-c2)=0

　　又∵ m>0,　　∴a2+b2-c2=0　　∴a2+b2=c2　　又∵a,b,c為ΔABC的三邊，　　∴ΔABC為RtΔ。

　�、� 判斷當(dāng)字母的值為何值時，二次三項是完全平方式

　　例5、(1)若關(guān)于a的二次三項式16a2+ka+25是一個完全平方式則k的值可能是( );

　　(2)若關(guān)于a的二次三項式ka2+4a+1是一個完全平方式則k的值可能是();

　　分析：可以令二次三項等于0，若二次三項是完全平方式，則方程有兩個相等的實數(shù)根。即Δ=0

　　解：(1)令16a2+ka+1=0

　　∵方程有兩個相等的實數(shù)根，

　　∴Δ=k2-4×16×25=0

　　∴k=+40或者-40

　　(2)令ka2+4a+15=0

　　∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ=16-4k=0 ∴k=4

　�、� 可以判斷拋物線與直線有無公共點

　　例6:當(dāng)m取什么值時，拋物線與直線y=x+2m只有一個公共點?

解:列方程組 消去y并整理得x2+x-m-1=0 ，∵拋物線與直線只有一個交點， ∴Δ=0，即　4m+5=0 ∴

　　( 說明：直線與拋物線的交點問題也可歸納為方程組的解的問題。)

　　⑦ 可以判斷拋物線與x軸有幾個交點

　　分析：拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點 (1)當(dāng)y=0時，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可見，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點的個數(shù)是由對應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況確定的，而決定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況的，是它的判別式的符號，因此拋物線與x軸的交點有如下三種情形：

① 當(dāng) 時，拋物線與x軸有兩個交點，若此時一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2，則拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)為(x1，0)(x2，0)。 ②當(dāng) 時，拋物線與x軸有唯一交點，此時的交點就是拋物線的頂點，其坐標(biāo)是( )。 ③當(dāng) 時，拋物線與x軸沒有交點。

　　例7、判定下列拋物線與x軸交點的個數(shù)：

(1) 　　　(2) 　　　(3)

　　解：(1)Δ=16-12=4>0 ∴拋物線與x軸有兩個交點。

　　(2)Δ=36-36=0 ∴拋物線與x軸只有一個公共點。

　　(3)Δ=4-16=-12<0 ∴拋物線與x軸無公共點。

例8、已知拋物線

　　(1)當(dāng)m取什么值時，拋物線和x軸有兩個公共點?

　　(2)當(dāng)m取什么值時，拋物線和x軸只有一個公共點?并求出這個公共點的坐標(biāo)。

　　(3)當(dāng)m取什么值時，拋物線和x軸沒有公共點?

解：令y=0，則 　　　Δ=4-4(m-1)= -4m+8

　　(1)∵拋物線與x軸有兩個公共點，　∴Δ>0，即 – 4m+8>0 ∴m<2

　　(2)∵拋物線和x軸只有一個公共點，　∴Δ=0，即 –4m+8=0 ∴m=2

當(dāng)m=2時，方程可化為 ，解得x1=x2= -1，∴拋物線與x軸公共點坐標(biāo)為(-1,0)。

　　(3)∵拋物線與x軸沒有公共點，　∴Δ<0，即　-4m+8<0，　∴m>2

　　∴當(dāng)m>2時，拋物線與x軸沒有公共點。

⑧ 利用根的判別式解有關(guān)拋物線 (Δ>0)與x軸兩交點間的距離的問題. 分析:拋物線 (Δ>0)與x軸兩交點間的距離，是對應(yīng)的一元二次方程 的兩根差的絕對值。它有以下表示方法： 例9: 求當(dāng)a為何值時?二次函數(shù) 圖象與x軸的兩個交點間的距離是3。解：令y=0，得方程 ，設(shè)這個一元二次方程的兩根分別為x1和x2，則 　由 　得 ，即 。進(jìn)而得 　　∴a= 或a= 。 ∴當(dāng) 時，圖象與x軸兩個交點間的距離是3。

【一元二次方程根的判別式的綜合應(yīng)用】相關(guān)文章：

一元二次方程數(shù)學(xué)教學(xué)教案01-18

一元錢作文03-25

根優(yōu)秀作文02-22

一元錢小學(xué)作文10-07

申根在職證明06-18

綠葉對根的情意作文04-04

申根在職證明04-28

牛根生語錄11-23

愛心一元捐活動策劃04-07

一元錢作文15篇03-28