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構(gòu)造輔助圓，交點立顯現(xiàn)
在解一些幾何問題時，常會遇到一些用常規(guī)方法很難解決的問題。這時，如果構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱D形來給以輔助，往往能促使問題轉(zhuǎn)化，使問題中原來隱晦不清的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的環(huán)境中清晰地展現(xiàn)出來，從而簡捷地解決問題，這種解題方法稱為構(gòu)造法。
對于在已知條件的線上找點與已知點構(gòu)成一定的角的問題，如果能根據(jù)題目的題設(shè)和結(jié)論，構(gòu)造出符合題意特征的輔助圓，即把題目中的固定角轉(zhuǎn)化為圓的圓周角問題，就能使問題得以順利解決，這種方法利用數(shù)形結(jié)合，使代數(shù)與幾何等知識相互滲透，綜合應(yīng)用，它不但能較好的達(dá)到解題的目的，還有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力。請看下面的兩個例題：
例1：(06東營)如圖，B是線段AC的中點，過點C的直線l與AC成60°的角，在直線l上取一點P，使得∠APB=30°，則滿足條件的點P的個數(shù)是
(A)3個 (B)2個 (C)1個 (D)不存在
分析：要在直線l上找點P使∠APB=30°，可以構(gòu)造以AB為邊作等邊三角形ABO，則∠AOB=60°，然后以O(shè)為圓心，AB為半徑，作圓O，如圖，∵△ABO為等邊三角形∴OB∥l，∴點O到l的距離d
解：此題如果以AB為邊作等邊△ABO,再以點O為圓心，AB為半徑作圓交直線l與點P1、P2，∵∠AOB=60°∴∠AP1B=30°，∠AP2B=30°所以滿足條件的點P的個數(shù)是兩個，分別為P1、P2。
例2：(06陜西)如圖，矩形ABCG( )與矩形CDEF全等，點B、C、D在同一條直線上， 的頂點P在線段BD上移動，使 為直角的點P的個數(shù)是 【 C 】A.0 B.1 C.2 D.3
分析：要使∠APE=90°，則需要以AE為直徑作圓，如果此圓與線段BD相交，有幾個交點，則使∠APE為直角的點P的個數(shù)就有幾個，通過作圖及圓心到直線的距離可知，以AE為直徑的圓與BD只有兩個交點，所以使∠APE為直角的點P的個數(shù)是兩個。
解：此題連接AE、AC、CE，因為矩形ABCG與矩形CDEF全等，所以Rt△ACG≌Rt△CEF則∠ACE=90°，所以點C為滿足條件的P點之一。取AE的中點O，然后以點O為圓心，以O(shè)A為半徑作圓O，因為點O到BC的距離小于OC，所以圓O與BD有兩個交點C、P，∵AE為直徑，∴∠ACE=90°，∠APE=90°。∴使∠APE為直角的點的個數(shù)是兩個。
綜上所述，我們可以把某些與定點成定角的問題轉(zhuǎn)化為圓周角問題，轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問題，則能輕易加以解決。
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