構造直角三角形解題

　　在解某些數學問題時，若能根據題意構造出直角三角形，則可利用直角三角形的性質，巧妙地將題目解出。下面舉例說明。

　　1、求線段長

　　[例1]在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，∠D=90°，AB=2，CD=1。求BC和AD的長。

　　解：延長AD、BC交于F，得Rt△ABF和Rt△CDF，且∠F=30°。

　　在Rt△ABF中，由AB=2，∠F=30°

　　得AF=2AB=4

同理可得CF=2，DF= ∴BC=BF-CF= ，AD=AF-DF=4- 。

　　2、求角的度數

[例2]如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=60°，D在AC的延長線上，AB= CD。求∠CBD。

　　解：作AE⊥BC于E，連DE，在Rt△ABE中

，BE=AE，在Rt△AEC中， 所以 。則AB= 而AB= ，故CE=CD ∠1=∠2= ∠ACB=30°

　　又∠EAC=30°，所以DE=AE=BE

所以∠CBD=∠3= ∠1=15°

　　3、證線段倍分

　　[例3]如圖，∠B=90°，∠1=∠2=60°，∠C=45°，求證：CD+BD=AB。

　　證明：把△ABD繞AD翻轉到△AB”D的位置，則B”D=BD，AB”=AB，∠B”=∠B=90o，∠2=∠3。

　　由∠1+∠2+∠3=180°，知C、D、B”三點共線，故△AB”C為等腰直角三角形，從而有：CD+B”D=AB”，∴CD+BD=AB。

　　4、證不等

　　[例4]如圖，在△ABC中，BC>AC，AD、BE為高，

　　求證：BC+AD>AC+BE。

　　證明：由題意，在BC上取一點A”，使A”C=AC，作A”D”⊥AC于D”，A”F⊥BE于F，則四邊形EFA”D”為矩形，得A”D”=FE

　　又有Rt△A”D”C≌Rt△ADC，于是A”D”=AD

　　∴BA”=BC-A”C=BC-AC

　　BF=BE-FE=BE-A”D”=BE-AD

　　在Rt△A”BF中，BA”>BF，即BC-AC>BE-AD

　　∴BC+AD>AC+BE.

　　5、解三角問題

　　[例5]求cot22.5°的值。

　　解：構造如圖所示的Rt△ABC，則

cot22.5°=

　　6、解代數問題

[例6]若a>3，求證： 。

　　證明：作出如圖所示的Rt△ABC，由BD+AD>AB，得

∴

　　7、求最值

[例7]若m、n、p為正實數，且 ，求： 的最小值。解：構造如圖所示的直角三角形，易知CD≤AE，即 ∴ 故 的最小值為 [例8]求 的最小值。

　　解：構造如圖所示的Rt△PAC，Rt△PBD，使AC=1，BD=2，PC=x，CD=4，且PC、PD在直線L上，則所求最小值轉化為“在直線L上求一點P，使PA+PB的值最小”，取A點關于L的對稱點A”，則有：

原式=PA+PB≥A”B 故 的最小值是5。

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