圓與圓位置關(guān)系中常見(jiàn)輔助線(xiàn)的作法

　　圓與圓位置關(guān)系是初中幾何的一個(gè)重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，本文介紹圓與圓的位置關(guān)系中常見(jiàn)的五種輔助線(xiàn)的作法。

　　1. 作相交兩圓的公共弦

　　利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或公共圓周角，溝通兩圓的角的關(guān)系。

　　例1. 如圖1，⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B分別作直線(xiàn)CD、EF，且CD//EF，與兩圓相交于C、D、E、F。求證：CE=DF。

　　圖1

　　分析：CE和DF分別是⊙O1和⊙O2的兩條弦，難以直接證明它們相等，但通過(guò)連結(jié)AB，則可得圓內(nèi)接四邊形ABEC和ABFD，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，則易證明。

　　證明：連結(jié)AB

因?yàn)? 又 所以

　　即CE//DF

　　又CD//EF

　　所以四邊形CEFD為平行四邊形

　　即CE=DF

　　2. 作兩相交圓的連心線(xiàn)

　　利用過(guò)交點(diǎn)的半徑、公共弦、圓心距構(gòu)造直角三角形，解決有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題。

例2. ⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，兩圓的半徑分別為 和 ，公共弦長(zhǎng)為12。求 的度數(shù)。

　　圖2

分析：公共弦AB可位于圓心O1、O2同側(cè)或異側(cè)，要求 的度數(shù)，可利用角的和或差來(lái)求解。

　　解：當(dāng)AB位于O1、O2異側(cè)時(shí)，如圖2。

連結(jié)O1、O2，交AB于C，則 。分別在 和 中，利用銳角三角函數(shù)可求得 故

　　當(dāng)AB位于O1、O2同側(cè)時(shí)，如圖3

　　圖3

則 綜上可知 或

　　3. 兩圓相切，作過(guò)切點(diǎn)的公切線(xiàn)

　　利用弦切角定理溝通兩圓中角的關(guān)系

例3. 如圖4，⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)P，A是⊙O1上的一點(diǎn)，直線(xiàn)AC切⊙O2于C，交⊙O1于B，直線(xiàn)AP交⊙O2于D。求證PC平分 。

　　圖4

分析：要證PC平分 ，即證 而 的邊分布在兩個(gè)圓中，難以直接證明。

　　若過(guò)P作兩圓的公切線(xiàn)PT，與AC交于T

易知 由弦切角定理，得 又 是 的一個(gè)外角所以 又 從而有 即PC平分

　　4. 兩圓相切，作連心線(xiàn)

　　利用連心線(xiàn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的性質(zhì)，解決有關(guān)計(jì)算問(wèn)題。

例4. 如圖5，⊙O1與半徑為4的⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)A，⊙O1經(jīng)過(guò)圓心O2，作⊙O2的直徑BC，交⊙O1于點(diǎn)D，EF為過(guò)點(diǎn)A的公切線(xiàn)，若 ，求 的度數(shù)。

　　圖5

分析： 是弦切角，要求其度數(shù)，需將其轉(zhuǎn)化為圓周角或圓心角，因此連結(jié)O1O2、O1A，則O1O2必過(guò)點(diǎn)A，且O2A為⊙O1的直徑，易知 。連結(jié)DA，則 于是 又 為銳角所以 從而有

　　5. 過(guò)小圓圓心作大圓半徑的垂線(xiàn)

　　有關(guān)公切線(xiàn)問(wèn)題常過(guò)小圓的圓心作大圓半徑的垂線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形。

例5. 如圖6，⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)O，兩外公切線(xiàn)PCD和PBA切⊙O1、⊙O2于點(diǎn)C、D、B、A，且其夾角為 ， ，求兩圓的半徑。

　　圖6

分析：如圖6，連結(jié)O1O2、O1A、O2B，過(guò)點(diǎn)O2作 ，構(gòu)造 ，下面很容易求出結(jié)果。

　　請(qǐng)同學(xué)們自己給出解答。

　　(答案：兩圓的半徑分別為3和1)

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