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有關(guān)循環(huán)矩陣性質(zhì)及應(yīng)用的探討
下面是一篇電大畢業(yè)論文范文——有關(guān)循環(huán)矩陣性質(zhì)及應(yīng)用的探討，歡迎大家閱讀參考!
【摘要】本文研究了矩陣中一類重要的矩陣-循環(huán)矩陣，介紹了循環(huán)矩陣的性質(zhì)，討論了循環(huán)矩陣求逆的方法，并且針對循環(huán)矩陣的對角化以及循環(huán)矩陣的應(yīng)用等問題作了進(jìn)一步探討。
【關(guān)鍵詞】循環(huán)矩陣; 逆矩陣; 對角化
1.引言
循環(huán)矩陣的概念是 于1885年首先提出來的, 自提出以來, 直到1950-1955年, Good等人才開始分別對循環(huán)矩陣的逆, 行列式及其特征值進(jìn)行了相應(yīng)地研究[1].自1950年以來, 循環(huán)矩陣被數(shù)學(xué)界高度重視, 發(fā)展迅速, 許多數(shù)學(xué)工作者對它進(jìn)行了大量研究, 得出很多成果. 目前有關(guān)循環(huán)矩陣的問題依然是大家熱于探討的課題.
近年來, 循環(huán)矩陣類已不斷指引著應(yīng)用數(shù)學(xué)和矩陣?yán)碚擃I(lǐng)域中的一個非常積極的和重要的研究方向. 循環(huán)矩陣之所以會吸引數(shù)學(xué)學(xué)者和工作者如此大的興趣和孜孜不倦的追求, 是因為它是一類特殊結(jié)構(gòu), 具有良好性質(zhì)的矩陣, 而且也是非常重要的矩陣， 同時它也是應(yīng)用非常廣泛的一類矩陣, 比如在編碼理論、理論物理、分子的軌道理論、數(shù)理統(tǒng)計與概率、圖像數(shù)學(xué)處理、固態(tài)物理、計算結(jié)構(gòu)等很多的方面應(yīng)用都比較廣泛. 同時循環(huán)矩陣的逆和特征值問題, 在物理方面的力學(xué)振動系統(tǒng)設(shè)計, 分子結(jié)構(gòu)理論, 線性多變量控制理論及數(shù)值分析等領(lǐng)域中也頻繁閃現(xiàn). 對循環(huán)矩陣的研究是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分, 且日益成為應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個非常活躍和重要的研究方向.
在實際生活中許多的數(shù)學(xué)模型是有關(guān)循環(huán)矩陣的, 但目前循環(huán)矩陣的理論還不是很完善, 所以數(shù)學(xué)工作者對循環(huán)矩陣的研究仍在不停的繼續(xù). 其中循環(huán)矩陣的逆矩陣求法是多國數(shù)學(xué)工作者研究的一個熱點.在對文獻(xiàn)進(jìn)行深入討論和研究的基礎(chǔ)上，本文詳細(xì)地綜合了以往對循環(huán)矩陣的相關(guān)研究及結(jié)論, 重新證明了以往的部分結(jié)論, 繼續(xù)研究了循環(huán)矩陣的各種性質(zhì)，并且對循環(huán)矩陣的逆矩陣和對角化問題也進(jìn)行了研究探討，最后給出了循環(huán)矩陣的相關(guān)應(yīng)用。
2 循環(huán)矩陣的定義
定義2.1 形如
的矩陣稱為循環(huán)矩陣.
若 為實數(shù)域 上的 個數(shù)，稱矩陣 為實數(shù)域上的 階循環(huán)矩陣，簡記為 ;
若 為復(fù)數(shù)域 上的 個數(shù)，稱矩陣 為復(fù)數(shù)域上的 階循環(huán)矩陣，簡記為 .
定義2.2 形如
的矩陣稱為基本循環(huán)矩陣.
顯然 ( 階單位矩陣)都是循環(huán)矩陣。由文獻(xiàn)[4]可知任意的 階循環(huán)矩陣 都可以用 線性表出，即
從上可知如果令 , 則 .稱 為 階循環(huán)矩陣 的生成多項式.
3 循環(huán)矩陣的性質(zhì)
性質(zhì)3.1 設(shè) 都是數(shù)域 上 階循環(huán)矩陣, 數(shù) , 那么 , 也都是 階循環(huán)矩陣.
性質(zhì)3.2 兩個循環(huán)矩陣 的乘積仍為循環(huán)矩陣，且 .
性質(zhì)3.3 任一循環(huán)矩陣 在復(fù)數(shù)域上都與一個對角矩陣相似.
性質(zhì)3.4 可逆的循環(huán)矩陣的逆矩陣仍是循環(huán)矩陣.
證明 由矩陣可逆的定義，我們只要找到可逆的循環(huán)矩陣
其中( 為待定系數(shù))使得 , 其中 為可逆的循環(huán)矩陣.
設(shè)
則有
由于 , 則有下列方程組成立
(3.4)
其中 為未知數(shù).它的系數(shù)矩陣為 ( 表示 的轉(zhuǎn)置矩陣). 由于 可逆, 其中 , 所以方程組 中有且僅有唯一的解 , 即 唯一存在, 從而這樣的 就是 的逆矩陣, 且 也是循環(huán)矩陣.
性質(zhì)3.5 可逆的循環(huán)矩陣 的伴隨矩陣 .
證明 因為 是 階可逆的 , 所以 , 因此由性質(zhì)3.4知,
是 . 由此
所以 是循環(huán)矩陣.
4.循環(huán)矩陣的逆矩陣
定理4.1 循環(huán)矩陣 可逆的充要條件是 的生成多項式
無單位根.
證明 構(gòu)造取
其中
, .
即 為所有 次單位根. 由于 兩兩不同, 所以由范德蒙行列式的性質(zhì)知矩陣 是可逆的, 從而
其中
因此只要 .則 , 即矩陣 可逆. 即循環(huán)矩陣 可逆的充要條件是方程
無單位根.
定理4.2 設(shè) 維向量 ,如果方程 的解為 ，那么
.
例1 求矩陣 的逆矩陣.
解 因為
的解為
.
從而
.
定理4.3 ，其中 為 階矩陣，則
(1) 和 .
(2)如果 和 可逆且 的逆為
，
那么
. (4.3)
根據(jù)定理4.3的(2)，求 階 的逆可以進(jìn)行分塊矩陣計算，分塊的根據(jù)是以
階順序主子式為一塊，共分成四塊，這樣就可以將 階 的逆轉(zhuǎn)化成一個 階 的逆，從而給問題的解決帶來很大的簡便.
例2 求 的逆矩陣.
解 根據(jù)定理(4.3)的結(jié)論(2)，將矩陣 分塊為
其中， , , 可逆，
那么
= ，
從而
于是
.
5.循環(huán)矩陣的對角化
階矩陣 關(guān)于多項式函數(shù) 生成的矩陣為 ， 的特征根與的 特征根有下面的結(jié)論 ：
結(jié)論5.1設(shè) 是一個 次多項式函數(shù)，若 是矩陣 的特征根，則 是矩陣 的特征根.
結(jié)論5.2設(shè) 是一個 次多項式函數(shù)，若矩陣 相似于矩陣 ，則矩陣 相似于矩陣 .
考察 階循環(huán)矩陣 ， 的特征多項式為：
如果 階 記為 ，不難求得 與特征值 相應(yīng)的特征向量，記：
，
則
得
可以驗證
將這個兩兩正交的向量 單位化，可得標(biāo)準(zhǔn)正交基
令矩陣
則
.
于是有下面的結(jié)論：
結(jié)論5.3 任意 在復(fù)數(shù)域 ，即
.
在一類 ，如果對角化的矩陣為：
由結(jié)論5.3，只要令 即可得 個關(guān)于 的線性方程組.又由于矩陣 及特征根 由 階矩陣 確定，且 .所以，多項式函數(shù) 中的系數(shù) 是唯一的 .于是，循環(huán)矩陣 是唯一的.因此，可得出在一類可對角化的相似矩陣中，一定有且僅有一個循環(huán)矩陣.否則，就不對角化.
下面給出一個四階循環(huán)矩陣的實例：
例3 求四階 的特征根，并對角化.
解 令 得
，
由于
，
所以， 的特征根分別為：
其中，
，
可以驗證
.
6.循環(huán)矩陣的應(yīng)用
定理6.1 階矩陣 可以對角化的充要條件是 相似于一個 階循環(huán)矩陣.
證明 一方面，若 階矩陣 與循環(huán)矩陣 相似，由于 可以對角化，所以 也可以相似對角化.
反過來，若 階矩陣 可以對角化，總存在 階循環(huán)矩陣 與之相似.
事實上，設(shè) ，若能得到 的生成多項式則 就被唯一確定了.結(jié)合定理4.1的證明過程，令
.
即
其中， .
這個非齊次線性方程組的系數(shù)行列式是范德蒙行列式，從而不等于0，于是該方程組有唯一解 ，則 被唯一確定.
此時
=
即
, 從而 ,
所以存在循環(huán)矩陣 與矩陣 相似.
7.結(jié)束語
本論文更加系統(tǒng)的描述了循環(huán)矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用。 從循環(huán)矩陣的定義出發(fā), 把文獻(xiàn)中分散碎化的內(nèi)容加以總結(jié)整理，更加系統(tǒng)全面的總結(jié)了循環(huán)矩陣的性質(zhì)，對循環(huán)矩陣的部分性質(zhì)進(jìn)行了重新的證明, 然后介紹了循環(huán)矩陣的逆矩陣的求法和對角化問題。最后給出了一種矩陣對角化方面的應(yīng)用，它提供了一種矩陣可對角化的條件，利用循環(huán)矩陣判斷矩陣是否可以對角化。
循環(huán)矩陣在物理、數(shù)學(xué)、計算機(jī)等學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用，本論文為循環(huán)矩陣的深入研究提供了比較系統(tǒng)全面的基礎(chǔ)。
8.致謝
經(jīng)過一個多月的時間，在姜東華老師的嚴(yán)格要求下終于完成了論文。在寫論文的過程中得到了姜東華老師的精心指導(dǎo)，在此要向老師表示深深的感謝和崇高的敬意，謝謝老師總是在百忙之中抽出時間來為我解答過程中的疑問。此外還要謝謝我的室友和同學(xué)在我寫論文過程中的幫助和支持。
由于自己知識所限，不免會有不足之處，請老師指正，幫助我更加進(jìn)步。最后謹(jǐn)向所以幫助和支持過我的領(lǐng)導(dǎo)、老師、同學(xué)及親友們表示最誠摯的謝意。
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