余弦定理教學(xué)教案

　　余弦定理

　　目標(biāo)

　　1．知識(shí)與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題。

　　2.過(guò)程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過(guò)實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題，

　　3．情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；通過(guò)三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來(lái)理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

　　重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其基本應(yīng)用；

　　教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中的作用。

　　學(xué)法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進(jìn)行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問(wèn)題，利用向量的數(shù)量積比較容易地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角

　　教學(xué)設(shè)想

　　[創(chuàng)設(shè)情景] C

　　如圖1．1-4，在 ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,

　　已知a,b和 C，求邊c b a

　　A c B

　　[探索研究] (圖1．1-4)

　　聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法，可用什么途徑來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？

　　用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

　　由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。

　　A

　　如圖1．1-5，設(shè) ， ， ，那么 ，則

　　C B

　　(圖1．1-5)

　　從而

　　同理可證

　　余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即

　　思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

　　[理解定理]從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

　　①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

　　②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

　　思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？

　�。ㄓ蓪W(xué)生總結(jié)）若 ABC中，C= ，則 ，這時(shí)

　　由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

　　例題:例1．在 ABC中，已知 ， ， ，求b及A

　�、沤猓骸�

　　= cos

　　= = 8 ∴

　　求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

　�、平夥ㄒ唬骸遚os ∴

　　解法二：∵sin 又∵ ＞

　�。� ∴ ＜ ， 即 ＜ ＜ ∴

　　評(píng)述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。

　　例2．在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形

　　解：由余弦定理的推論得：

　　cos ；

　　cos ；

　　[隨堂練習(xí)]第51頁(yè)練習(xí)第1、2、3題。

　　[補(bǔ)充練習(xí)]在 ABC中，若 ，求角A（答案：A=120 ）

　　[課堂小結(jié)]（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，

　　勾股定理是余弦定理的特例；

　�。�2）余弦定理的應(yīng)用范圍：①．已知三邊求三角；

　�、冢�已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

　　（五）：作業(yè)：第52頁(yè)[習(xí)題2.1]A組第5題。

　　三角形中的幾何計(jì)算

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1．知識(shí)與技能:掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。

　　2. 過(guò)程與方法:通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分析，解答三個(gè)典型例子，使學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問(wèn)題。

　　3.情態(tài)與價(jià)值：通過(guò)正、余弦定理，在解三角形問(wèn)題時(shí)溝通了三角形的有關(guān)性質(zhì)和三角函數(shù)的關(guān)系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。

　　教學(xué)重點(diǎn)：在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。

　　教學(xué)難點(diǎn)：正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。

　　學(xué)法：通過(guò)一些典型的實(shí)例來(lái)拓展關(guān)于解三角形的各種題型及其解決方法。

　　教學(xué)設(shè)想:[創(chuàng)設(shè)情景]:思考：在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形。從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，在某些條件下會(huì)出現(xiàn)無(wú)解的情形。下面進(jìn)一步來(lái)研究這種情形下解三角形的問(wèn)題。

　　[探索研究]:例1．在 ABC中，已知 ，討論三角形解的情況

　　分析：先由 可進(jìn)一步求出B；則 從而

　　1．當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，必須 才能有且只有一解；否則無(wú)解。

　　2．當(dāng)A為銳角時(shí)，如果 ≥ ，那么只有一解；

　　如果 ，那么可以分下面三種情況來(lái)討論：（1）若 ，則有兩解；

　�。�2）若 ，則只有一解； （3）若 ，則無(wú)解。

　　評(píng)述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，只有當(dāng)A為銳角且 時(shí)，有兩解；其它情況時(shí)則只有一解或無(wú)解。

　　[隨堂練習(xí)1]

　�。�1）在 ABC中，已知 ， ， ，試判斷此三角形的解的情況。

　　（2）在 ABC中，若 ， ， ，則符合題意的b的值有_____個(gè)。

　�。�3）在 ABC中， ， ， ，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。 （答案：（1）有兩解；（2）0；（3） ）

　　例2．在 ABC中，已知 ， ， ，判斷 ABC的類型。

　　分析：由余弦定理可知

　�。ㄗ⒁猓� ）

　　解： ，即 ，∴ 。

　　[隨堂練習(xí)2]

　�。�1）在 ABC中，已知 ，判斷 ABC的類型。

　�。�2）已知 ABC滿足條件 ，判斷 ABC的類型。

　�。ù鸢福海�1） ；（2） ABC是等腰或直角三角形）

　　例3．在 ABC中， ， ，面積為 ，求 的值

　　分析：可利用三角形面積定理 以及正弦定理

　　解：由 得 ，

　　則 =3，即 ，從而

　　[隨堂練習(xí)3]

　�。�1）在 ABC中，若 ， ，且此三角形的面積 ，求角C

　�。�2）在 ABC中，其三邊分別為a、b、c，三角形的面積 ，求角C

　�。ù鸢福海�1） 或 ；（2） ）

　　[課堂小結(jié)]（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，

　　有兩解或一解或無(wú)解等情形；

　�。�2）三角形各種類型的判定方法；

　�。�3）三角形面積定理的應(yīng)用。

　�。ㄎ澹┱n時(shí)作業(yè):

　�。�1）在 ABC中，已知 ， ， ，試判斷此三角形的解的情況。

　　（2）設(shè)x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長(zhǎng)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。

　　雙曲線、拋物線的參數(shù)方程學(xué)案

　　第05時(shí)

　　2、2、2雙曲線、拋物線的參數(shù)方程

　　學(xué)習(xí)目標(biāo)

　　了解雙曲線的參數(shù)方程的建立，熟悉拋物線參數(shù)方程的形式，會(huì)運(yùn)用參數(shù)方程解決問(wèn)題，進(jìn)一步加深對(duì)參數(shù)方程的理解。

　　學(xué)習(xí)過(guò)程

　　一、學(xué)前準(zhǔn)備

　　復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式，并填空：

　�。�1） 表示頂點(diǎn)在 ，

　　焦點(diǎn)在 的拋物線；

　�。�2） 表示頂點(diǎn)在 ，

　　焦點(diǎn)在 的拋物線。

　　二、新導(dǎo)學(xué)

　　探究新知（預(yù)習(xí)教材P12～P16，找出疑惑之處）

　　1、類比橢圓參數(shù)方程的建立，若給出一個(gè)三角公式 ，你能寫出雙曲線

　　的參數(shù)方程嗎？

　　2、如圖，設(shè)拋物線的普通方程為 , 為拋物線上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，以

　　射線 為終邊的角記作 ，則 ，①

　　由 和①解出 得到：

　�。╰為參數(shù)）

　　你能否根據(jù)本題的解題過(guò)程寫出拋物線的四種不同形式方程對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程？并說(shuō)出參數(shù)表示的意義。

　　應(yīng)用示例

　　例1．如圖， 是直角坐標(biāo)原點(diǎn)，A ，B是拋物線 上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，且 ，求點(diǎn)A、B在什么位置時(shí)， 的面積最小？最小值是多少？

　　解：

　　反饋練習(xí)

　　1．求過(guò)P（0，1）到雙曲線 的最小距離.

　　解：

　　三、總結(jié)提升

　　本節(jié)小結(jié)

　　1．本節(jié)學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

　　答：1.了解雙曲線的參數(shù)方程的建立，熟悉拋物線參數(shù)方程的形式.

　　2.會(huì)運(yùn)用參數(shù)方程解決問(wèn)題，進(jìn)一步加深對(duì)參數(shù)方程的理解。

　　學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

　　一、自我評(píng)價(jià)

　　你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）

　　A．很好 B．較好 C． 一般 D．較差

　　后作業(yè)

　　1、已知拋物線 ，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）

　　A、 B、

　　C、 D、

　　2、對(duì)下列參數(shù)方程表示的圖形說(shuō)法正確的是（ ）

　　A、①是直線、②是橢圓

　　B、①是拋物線、②是橢圓或圓

　　C、①是拋物線的一部分、②是橢圓

　　D、①是拋物線的一部分、②是橢圓或圓

　　3.設(shè)P為等軸雙曲線 上的一點(diǎn)， 為兩個(gè)焦點(diǎn)，證明 .

　　4、經(jīng)過(guò)拋物線 的頂點(diǎn)O任作兩條互相垂直的線段OA和OB，以直線OA的斜率k為參數(shù)，求線段AB的中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程。

　　高二數(shù)學(xué)2.4 二次分布學(xué)案

　　2.4 二項(xiàng)分布（二）

　　一、知識(shí)要點(diǎn)

　　1．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

　　二、典型例題

　　例1．甲、乙兩人進(jìn)行五局三勝制的象棋比賽，若甲每盤的勝率為 ，乙每盤的勝率為 （和棋不算），求：

　�。�1）比賽以甲比乙為3比0勝出的概率；

　�。�2）比賽以甲比乙為3比2勝出的概率。

　　例2．某地區(qū)為下崗免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%，參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒有影響。

　�。�1）任選1名下崗人員，求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率；

　　（2）任選3名下崗人員，記X為3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)，求X的分布列。

　　例3．A，B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效。若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組，設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為 ，服用B有效的概率為 。

　�。�1）求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率；

　�。�2）觀察3個(gè)試驗(yàn)組，用X表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù)，求X的分布列。

　　三、鞏固練習(xí)

　　1．某種小麥在田間出現(xiàn)自然變異植株的概率為0.0045，今調(diào)查該種小麥100株，試計(jì)算兩株和兩株以上變異植株的概率。

　　2．某批產(chǎn)品中有20%的不含格品，進(jìn)行重復(fù)抽樣檢查，共取5個(gè)樣品，其中不合格品數(shù)為X，試確定X的概率分布。

　　3．若一個(gè)人由于輸血而引起不良反應(yīng)的概率為0.001，求

　　（1）2000人中恰有2人引起不良反應(yīng)的概率；

　　（2）2000人中多于1人引起不良反應(yīng)的概率；

　　四、堂小結(jié)

　　五、后反思

　　六、后作業(yè)

　　1．接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80，現(xiàn)有5人接種該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為（精確為0.0001）_________________。

　　2．一射擊運(yùn)動(dòng)員射擊時(shí)，擊中10環(huán)的概率為0.7，擊中9環(huán)的概率0.3，則該運(yùn)動(dòng)員射擊3次所得環(huán)數(shù)之和不少于29環(huán)的概率為_______________。

　　3．某射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率是0.9，他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響，有下列結(jié)論：①他第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9；②他恰好擊中目標(biāo)3次的概率是0.93×0.1；③他至少擊中目標(biāo)1次的概率是1－0.14。

　　其中正確結(jié)論的序號(hào)是_______________。（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

　　4．某產(chǎn)品10，其中3次品，現(xiàn)依次從中隨機(jī)抽取3（不放回），則3中恰有2次品的概率為_____________。

　　5．某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率都是0.8，現(xiàn)在連續(xù)射擊4次，求擊中目標(biāo)的次數(shù)X的概率分布。

　　6．某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對(duì)6家小型煤礦進(jìn)行安全檢查（簡(jiǎn)稱安檢），若安檢不合格，則必須進(jìn)行整改，若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，則強(qiáng)行關(guān)閉，設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨(dú)立的，每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.6，整改后安檢合格的概率是0.9，計(jì)算：

　　（1）恰好有三家煤礦必須整改的概率；

　　（2）至少關(guān)閉一家煤礦的概率。（結(jié)果精確到0.01）

　　7．9粒種子分種在甲、乙、丙3個(gè)坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5，若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種；若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個(gè)坑需要補(bǔ)種。

　�。�1）求甲坑不需要補(bǔ)種的概率；

　　（2）求3個(gè)坑中需要補(bǔ)種的坑數(shù)X的分布列；

　�。�3）求有坑需要補(bǔ)種的概率。（精確到0.001）

　　解三角形

　　一、目標(biāo)

　　1、知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問(wèn)題, 掌握三角形的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)和應(yīng)用

　　2、過(guò)程與方法：本節(jié)課補(bǔ)充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時(shí)總結(jié)出該公式的特點(diǎn)，循序漸進(jìn)地具體運(yùn)用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學(xué)知識(shí)的生動(dòng)運(yùn)用，教師要放手讓學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點(diǎn)，能不拘一格，一題多解。只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點(diǎn)，就能很快開闊思維，有利地進(jìn)一步突破難點(diǎn)。

　　3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉悅的成功體驗(yàn)

　　二、重點(diǎn)：推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡(jiǎn)單的相關(guān)題目。

　　教學(xué)難點(diǎn)：利用正弦定理、余弦定理來(lái)求證簡(jiǎn)單的證明題。

　　三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合

　　四、教學(xué)過(guò)程

　�、�.課題導(dǎo)入

　　[創(chuàng)設(shè)情境]

　　師：以前我們就已經(jīng)接觸過(guò)了三角形的面積公式，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)它的另一個(gè)表達(dá)公式。在

　　ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h 、h 、h ，那么它們?nèi)绾斡靡阎�邊和角表示�?/p>

　　生：h =bsinC=csinB，h =csinA=asinC，h =asinB=bsinaA

　　師：根據(jù)以前學(xué)過(guò)的三角形面積公式S= ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如h =bsinC代入，可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S= absinC，大家能推出其它的幾個(gè)公式嗎？

　　生：同理可得，S= bcsinA, S= acsinB

　　師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？

　　生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解

　�、�.探析新課

　　[范例講解]

　　例1、在 ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm ）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ;（2）已知B=62.7 ,C=65.8 ,b=3.16cm;（3）已知三邊的長(zhǎng)分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

　　分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問(wèn)題，與解三角形問(wèn)題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識(shí)，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。

　　解：（1）應(yīng)用S= acsinB，得 S= 14.8 23.5 sin148.5 ≈90.9(cm )

　　(2)根據(jù)正弦定理， = ，c = ，S = bcsinA = b

　　A = 180 -(B + C)= 180 -(62.7 + 65.8 )=51.5

　　S = 3.16 ≈4.0(cm )

　　(3)根據(jù)余弦定理的推論，得cosB = = ≈0.7697

　　sinB = ≈ ≈0.6384應(yīng)用S= acsinB，得

　　S ≈ 41.4 38.7 0.6384≈511.4(cm )

　　例2、如圖,在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過(guò)測(cè)量得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)分別為68m,88m,127m,這個(gè)區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm ）？

　　師：你能把這一實(shí)際問(wèn)題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？

　　生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問(wèn)題，再利用三角形的面積公式求解。

　　由學(xué)生解答，老師巡視并對(duì)學(xué)生解答進(jìn)行講評(píng)小結(jié)。

　　解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，cosB= = ≈0.7532，sinB= 0.6578應(yīng)用S= acsinB S ≈ 68 127 0.6578≈2840.38(m )

　　答：這個(gè)區(qū)域的面積是2840.38m 。

　　例3、在 ABC中，求證：（1） （2） + + =2（bccosA+cacosB+abcosC）

　　分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問(wèn)題，觀察式子左右兩邊的特點(diǎn)，聯(lián)想到用正弦定理來(lái)證明

　　證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè) = = = k，顯然 k 0，所以

　　左邊= = =右邊

　　（2）根據(jù)余弦定理的推論，

　　右邊=2(bc +ca +ab )

　　=(b +c - a )+(c +a -b )+(a +b -c )=a +b +c =左邊

　　變式練習(xí)1：已知在 ABC中， B=30 ,b=6,c=6 ,求a及 ABC的面積S

　　提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對(duì)角的問(wèn)題，注重分情況討論解的個(gè)數(shù)。

　　答案：a=6,S=9 ;a=12,S=18

　�、�.課堂練習(xí)：課本練習(xí)第1、2題

　�、�.課時(shí)小結(jié)：利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡(jiǎn)并考察邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。

　　Ⅴ.課后作業(yè)：課本習(xí)題2-3 A組第12、14、15題

　　等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)

　　M

　　課時(shí)20 等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)

　　目標(biāo)：1．掌握等比數(shù)列的概念。

　　2．能根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

　　過(guò)程：

　　1．觀察以下數(shù)列：

　　1，2，4，8，16，……

　　3，3，3，3，……

　　2．相比與等差數(shù)列，以上數(shù)列有什么特點(diǎn)？

　　等比數(shù)列的定義：

　　定義的符號(hào)表示 ，注意點(diǎn)：① ，② 。

　　3．判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列，若是，請(qǐng)指出公比 的值。

　�。�1）

　�。�2）

　　（3）

　�。�4）

　　4．求出下列等比數(shù)列的未知項(xiàng)。

　　（1） ； （2） 。

　　5．已知 是公比為 的等比數(shù)列，新數(shù)列 也是等比數(shù)列嗎？如果是，公比是多少？

　　6．已知無(wú)窮等比數(shù)列 的首項(xiàng)為 ，公比為 。

　�。�1）依次取出數(shù)列 中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)數(shù)列還是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公比是多少？

　�。�2）數(shù)列 （其中常數(shù) ）是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公比是多少？

　　二、通項(xiàng)公式

　　1．推導(dǎo)通項(xiàng)公式

　　例1．在等比數(shù)列 中，

　�。�1）已知 ，求 ； （2）已知 ，求 。

　　例2．在243和3中間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)。

　　例3．已知等比數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ，（1）求首項(xiàng) 和公比 ；

　�。�2）問(wèn)表示這個(gè)數(shù)列的點(diǎn) 在什么函數(shù)的圖像上？

　　例4．類比等差數(shù)列填空：

　　等差數(shù)列等比數(shù)列

　　通項(xiàng)

　　定義從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是同一個(gè)常數(shù)。

　　首項(xiàng)，公差（比）

　　取值有無(wú)限制沒有任何限制

　　相應(yīng)圖像的特點(diǎn)直線 上孤立的點(diǎn)

　　課后作業(yè)：

　　1． 成等比數(shù)列，則 = 。

　　2．在等比數(shù)列 中，

　�。�1）已知 ，則 = ， = 。

　　（2）已知 ，則 = 。

　�。�3）已知 ，則 = 。

　　3．設(shè) 是等比數(shù)列，判斷下列命題是否正確？

　　（1） 是等比數(shù)列 （ ）； （2） 是等比數(shù)列 （ ）

　�。�3） 是等比數(shù)列 （ ）； （4） 是等比數(shù)列 （ ）

　　（5） 是等比數(shù)列 （ ）； （6） 是等比數(shù)列 （ ）

　　4．設(shè) 成等比數(shù)列，公比 =2，則 = 。

　　5．在G.P 中，（1）已知 ，求 ；（2）已知 ，求 。

　　6．在兩個(gè)同號(hào)的非零實(shí)數(shù) 和 之間插入2個(gè)數(shù)，使它們成等比數(shù)列，試用 表示這個(gè)等比數(shù)列的公比。

　　7．已知公差不為0的等差數(shù)列的第2，3，6項(xiàng)，依次構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，求該等比數(shù)列的通項(xiàng)。

　　8．已知 五個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，求 的值。

　　9．在等比數(shù)列 中， ，求 。

　　10．三個(gè)正數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為15，如果它們分別加上1，3，9就成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)。

　　11．已知等比數(shù)列 ，若 ，求公比 。

　　12．已知 ，點(diǎn) 在函數(shù) 的圖像上，（ ），設(shè) ，求證： 是等比數(shù)列。

　　問(wèn)題統(tǒng)計(jì)與分析

　　平面向量的坐標(biāo)表示

　　總 題向量的坐標(biāo)表示總時(shí)第23時(shí)

　　分 題平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算分時(shí)第2時(shí)

　　目標(biāo)掌握平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算

　　重點(diǎn)難點(diǎn)掌握平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算；平面向量坐標(biāo)表示的理解

　　引入新

　　1、在直角坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn) 是如何表示的？ 。

　　2、以原點(diǎn) 為起點(diǎn)， 為終點(diǎn)，能不能也用坐標(biāo)表示 呢？例：

　　3、平面向量的坐標(biāo)表示。

　　4、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。

　　已知 、 、實(shí)數(shù) ，那么

　　例題剖析

　　例1、如圖，已知 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) 在第一象限， ， ，求向量 的坐標(biāo)。

　　例2、如圖，已知 ， ， ， ，求向量 ， ， ， 的坐標(biāo)。

　　例3、用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解：如圖，質(zhì)量為 的物體靜止的放在斜面上，斜面與水平面的夾角為 ，求斜面對(duì)物體的摩擦力 。

　　例4、已知 ， ， 是直線 上一點(diǎn)，且 ，求點(diǎn) 的坐標(biāo)。

　　鞏固練習(xí)

　　1、與向量 平行的單位向量為（ ）

　　、 、 、 或 、

　　2、已知 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) 在第二象限， ， ，求向量 的坐標(biāo)。

　　3、已知四邊形 的頂點(diǎn)分別為 ， ， ， ，求向量 ， 的坐標(biāo)，并證明四邊形 是平行四邊形。

　　4、已知作用在原點(diǎn)的三個(gè)力 ， ， ，求它們的合力的坐標(biāo)。

　　5、已知 是坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ，且 ，求 的坐標(biāo)。

　　堂小結(jié)

　　平面向量的坐標(biāo)表示；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。

　　后訓(xùn)練

　　班級(jí)：高一（ ）班 姓名__________

　　一、基礎(chǔ)題

　　1、若向量 ， ，則 ， 的坐標(biāo)分別為（ ）

　　2、已知 ，終點(diǎn)坐標(biāo)是 ，則起點(diǎn)坐標(biāo)是 。

　　3、已知 ， ，向量 與 相等.則 。

　　4、已知點(diǎn) ， ， ，則 。

　　5、已知 的終點(diǎn)在以 ， 為端點(diǎn)的線段上，則 的最大值和最小值分別等于 。

　　6、已知平行四邊形 的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 ， ， ，求第四個(gè)頂點(diǎn) 的坐標(biāo)。

　　7、已知向量 ， ，點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若向量 ， ，求向量 的坐標(biāo)。

　　8、已知點(diǎn) ， 及 ， ，求點(diǎn) ， 和 的坐標(biāo)。

　　三、能力題

　　9、已知點(diǎn) ， ， ，若點(diǎn) 滿足 ，

　　當(dāng) 為何值時(shí)：（1）點(diǎn) 在直線 上？ （2）點(diǎn) 在第四象限內(nèi)？

　　基本不等式

　　第04講： 基本不等式

　　高考《考試大綱》的要求：

　　① 了解基本不等式的證明過(guò)程

　�、� 會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（小）值問(wèn)題

　�。ㄒ唬┗�礎(chǔ)知識(shí)回顧：

　　1.定理1. 如果a,b ,那么 ，（當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí)，等號(hào)成立）.

　　2.定理2（基本不等式）：如果a,b>0,那么______________（當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí)，等號(hào)成立）.

　　稱_______為a,b的算術(shù)平均數(shù)，_____為a,b的幾何平均數(shù)�；�本不等式又稱為________.

　　3. 基本不等式的幾何意義是：_________不小于_________. 如圖

　　4.利用基本不等式求最大（�。┲禃r(shí)，要注意的問(wèn)題：（一“正”；二“定”；三“相等”）

　　即: （1）和、積中的每一個(gè)數(shù)都必須是正數(shù)；

　�。�2）求積的最大值時(shí)，應(yīng)看和是否為定值；求和的最小值時(shí)，應(yīng)看積是否為定值，；

　　簡(jiǎn)記為：和定積最_____，積定和最______.

　�。�3）只有等號(hào)能夠成立時(shí)，才有最值。

　　（二）例題分析：

　　例1．（2006陜西）設(shè)x、y為正數(shù)，則有(x+y)(1x＋4y)的最小值為（ ）

　　A．15 B．12C．9 D．6

　　例2．函數(shù) 的值域是_________________________.

　　例3（2001江西、陜西、天津,全國(guó)、理） 設(shè)計(jì)一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm2，畫面的寬與高的比為 ，畫面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，能使宣傳畫所用紙張的面積最小？

　�。ㄈ�）基礎(chǔ)訓(xùn)練：

　　1.設(shè) 且 則必有( )

　　(A) (B)

　　(C) (D)

　　2.（2004湖南理）設(shè)a＞0, b＞0，則以下不等式中不恒成立的是（ ）

　�。ˋ） ≥4 （B） ≥

　�。–） ≥ （D） ≥

　　3.（2001春招北京、內(nèi)蒙、安徽、理）若 為實(shí)數(shù)，且 ，則 的最小值是（ ）

　�。ˋ）18 （B）6（C） （D）

　　4. 已知a,b ,下列不等式中不正確的是（ ）

　　（A） （B）

　�。–） （D）

　　5．（2005福建）下列結(jié)論正確的是（ ）

　　A．當(dāng) B．

　　C． 的最小值為2D．當(dāng) 無(wú)最大值

　　6. 已知兩個(gè)正實(shí)數(shù) 滿足關(guān)系式 , 則 的最大值是_____________.

　　7.若 且 則 中最小的一個(gè)是__________.

　　8.（2005北京春招、理）經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量 （千輛/小時(shí)）與汽車的平均速度 （千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為： 。

　�。�1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度 為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？（精確到 千輛/小時(shí)）

　�。�2）若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過(guò)10千輛/小時(shí)，則汽車站的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

　�。ㄋ模┩卣褂�(xùn)練：

　　1.(2000全國(guó)、江西、天津、廣東）若 ,P= ,Q= ,R= ,則（ ）

　�。ˋ）R<P<Q （B）P<Q<R （C）Q<P<R （D）P<R<Q

　　2．若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3，分別求ab與a+b的取值范圍。

　　參考答案

　　第04講： 基本不等式

　　（二）例題分析： 例1． C； 例2． ；

　　例3解：設(shè)畫面高為x cm，寬為λx cm，則λ x2 = 4840．

　　設(shè)紙張面積為S，有S = (x＋16) (λ x＋10)= λ x2＋(16λ＋10) x＋160，

　　將 代入上式，得 ．

　　當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)，S取得最小值．

　　此時(shí)，高： ，寬： ．

　　答：畫面高為88cm，寬為55cm時(shí)，能使所用紙張面積最�。�

　�。ㄈ�）基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1. B； 2. B； 3. B； 4. B 5．B； 6. 2 ; 7.

　　8. 解：（Ⅰ）依題意，

　�。á颍┯蓷l得

　　整理得v2－89v+1600<0, 即（v－25）（v－64）<0, 解得25<v<64.

　　答：當(dāng)v=40千米/小時(shí)，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/小時(shí).如果要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過(guò)10千輛/小時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)大于25千米/小時(shí)且小于64千米/小時(shí)．

　�。ㄋ模┩卣褂�(xùn)練：1. B;

　　2．解：因?yàn)閍、b是正數(shù)，所以 ，即 ，

　　法一：令 ，則 ，由ab=a+b+3≥2 +3，得 ，（t>0）

　　解得t≥3, 即 ，所以ab≥9,a+b=ab-3≥6.

　　法二：令 ，則由ab=a+b+3可知a+b+3 = ，得 ，（x>0）

　　整理得 ，又x>0，解得x≥6,即a+b≥6，所以ab=a+b+3≥9.

　　答： ab與a+b的取值范圍分別是 與 。

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