《直線的方程》數(shù)學(xué)課教案

時(shí)間：2023-03-26 00:56:18 教案我要投稿

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《直線的方程》數(shù)學(xué)課教案

　　●教學(xué)目標(biāo)

　　(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

　　1.直線方程的兩點(diǎn)式.

　　2.直線方程的截距式.

　　(二)能力訓(xùn)練要求

　　1.掌握直線方程的兩點(diǎn)式的形式特點(diǎn)及適用范圍.

　　2.了解直線方程截距式的形式特點(diǎn)及適用范圍.

　　(三)德育滲透目標(biāo)

　　1.認(rèn)識(shí)事物之間的普遍聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化.

　　2.用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題.

　　●教學(xué)重點(diǎn)

　　直線方程的兩點(diǎn)式.

　　●教學(xué)難點(diǎn)

　　兩點(diǎn)式推導(dǎo)過(guò)程的理解.

　　●教學(xué)方法

　　學(xué)導(dǎo)式

　　本節(jié)的學(xué)習(xí)過(guò)程與上一節(jié)一樣，始終遵循由淺及深，由特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在應(yīng)用舊知識(shí)的過(guò)程中探究，通過(guò)老師的引導(dǎo)啟發(fā)得到新的結(jié)論，并通過(guò)新舊知識(shí)的比較、分析、應(yīng)用獲得新知識(shí)的特點(diǎn)，從而達(dá)到理解進(jìn)而掌握的目的.

　　整節(jié)課堂的教學(xué)活動(dòng)要注意最大限度地發(fā)揮學(xué)生的主體參與，并要求學(xué)生嘗試運(yùn)用直線方程的多種形式解題，以形成學(xué)生靈活的解題方法.

　　●教具準(zhǔn)備

　　投影片三張

　　第一張：兩點(diǎn)式的推導(dǎo)(記作7.2.2 A)

　　第二張：截距式的推導(dǎo)(記作7.2.2 B)

　　第三張：本節(jié)例題(記作7.2.2 C)

　　●教學(xué)過(guò)程

　　Ⅰ.課題導(dǎo)入

　�。蹘煟萆弦还�(jié)課，我們一起學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式，并要求大家熟練掌握.下面，我們利用點(diǎn)斜式來(lái)解答如下題目：

　　已知直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1（1，2），P2（3，5），求直線l的方程.

　　［師］下面，我們讓一位同學(xué)來(lái)說(shuō)一下此題的解答思路.

　�。凵萦捎谥本€兩點(diǎn)坐標(biāo)已知，所以可根據(jù)斜率公式求出過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率，然后再將求出的直線斜率與點(diǎn)P1坐標(biāo)代入點(diǎn)斜式，即可獲得所求直線方程.

　�。蹘煟莺芎茫敲次覀円黄饋�(lái)作出解答.

　　解：＝5?23? 3?12

　　由點(diǎn)斜式得：

　�。�2＝3(x-1) 2

　�。蹘煟萦缮鲜鲞^(guò)程，我們可以看出，已知直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，便可得到直線方程，也即我們通常所說(shuō)的“兩點(diǎn)確定一條直線”，那么，能否將P1，P2的坐標(biāo)推廣到一般呢?這也就是我

　　們這節(jié)課將要研究的問(wèn)題.

　�、�.講授新課

　　1.直線方程的兩點(diǎn)式

　　?1x?x1（x1≠x2，1≠2） ?2?1x2?x1

　　其中，x1，1，x2，2是直線上兩點(diǎn)P1（x1，1）、P2（x2，2）的坐標(biāo).

　　(給出投影片7.2.2 A)

　　推導(dǎo)：因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1）、P（2）并且x1≠x2，所以它的斜率＝1x1，2x2，

　�。▁1≠x2）代入點(diǎn)斜式得： 2?1x2?x1

　　－1＝2?1（x－x1) x2?x1

　　當(dāng)2≠1時(shí)，方程可以寫(xiě)成

　　?1x?x1（x1≠x2，1≠2） ?2?1x2?x1

　　說(shuō)明：(1)這個(gè)方程由直線上兩點(diǎn)確定；(2)當(dāng)直線沒(méi)有斜率(x1＝x2）或斜率為0(1＝2）時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求出它的方程.

　�。蹘煟菹旅嫖覀儊�(lái)看兩點(diǎn)式的應(yīng)用.

　　2.例題講解

　�。劾�4］已知直線l與x軸的交點(diǎn)為(a，0），與軸的交點(diǎn)為（0，b），其中a≠0，b≠0，求直線l的方程.

　　分析：此題條件符合兩點(diǎn)式的適用范圍，可以直接代入.

　　解：由兩點(diǎn)式得

　　?0x?a? b?00?a

　　x即?＝1 ab

　　說(shuō)明：(1)這一直線方程由直線在x軸和軸上的截距確定，所以叫做直線方程的截距式；(2)截距式適用于橫、縱截距都存在且都不為0的直線.

　�。蹘煟菹旅嫖覀兺ㄟ^(guò)例題進(jìn)一步熟悉各種直線方程形式的應(yīng)用.

　　［例5］三角形的頂點(diǎn)是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），這個(gè)三角形三邊所在的直線方程.

　　解法一：(用兩點(diǎn)式)

　　直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－5，0)，B(3，－3)，由兩點(diǎn)式得

　　?0x?(?5)?， ?3?03?(?5)

　　整理得3x＋８＋15＝0，這就是直線AB的方程.

　　直線B、C經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3，－3)，C（0，2），由兩點(diǎn)式得

　　?(?3)x?3 ?2?(?3)0?3

　　整理得5x＋3－6＝0

　　這就是直線BC的方程.

　　直線AC過(guò)A(－5，0)，C(0，2)，由兩點(diǎn)式得

　　?0x?(?5) ?2?00?(?5)

　　整理得2x－5＋10＝0.

　　這就是直線AC的方程.

　　解法二：(用斜截式求BC所在直線方程)

　　∵BC＝2?(?3)5?? 0?33

　　∴由斜截式得

　　＝－＋2

　　整理得5x＋3－6＝0

　　這就是直線BC的方程.

　　解法三：(用截距式求直線AC的方程)

　　∵直線AC的橫、縱截距分別為－5，2.

　　∴由截距式得 53

　　x?＝1 ?52

　　整理得2x－5＋10＝0

　　這就是直線AC的方程.

　　評(píng)述：此題可采用多種方法求解，體現(xiàn)了直線方程多種形式應(yīng)用的靈活性，應(yīng)要求學(xué)生予以重視.

　�、�.課堂練習(xí)

　　課本P４1練習(xí) 1，2.

　　1.求經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)式方程，再化成斜截式方程.

　　(1)P1（2，1），P2（0，－3）；

　　(2)A（0，5），B（5，0）；

　　(3)C（－４，－5），D（0，0）.

　　解：(1)直線P1P2的兩點(diǎn)式方程為：

　　?1x?2? ?3?10?2

　　整理得斜截式方程為：

　�。�2x－3.

　　(2)直線AB的兩點(diǎn)式方程為：

　　?5x?0? 0?55?0

　　整理得斜截式方程為：

　�。剑瓁+5

　　(3)直線CD的兩點(diǎn)式方程為：

　　?0x?0? ?5?0?4?0

　　整理得斜截式方程為：

　　＝5x. 4

　　2.根據(jù)下列條件求直線方程，并畫(huà)出圖形：

　　(1)在x軸上的截距為2，在軸上的截距是3；

　　(2)在x軸上的截距是－5，在軸上的截距是6?

　　解：(1)由截距式得：

　　x?＝1 23

　　整理得：3x＋2－6＝0

　　(2)由截距式得

　　x?＝1 ?56

　　整理得：6x－5＋30＝0

　　圖形依次為：

　�、�.課時(shí)小結(jié)

　　通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握直線方程的兩點(diǎn)式，了解直線方程的截距式，并能運(yùn)用直線方程的多種形式靈活求解直線方程.

　�、�.課后作業(yè)

　�。ㄒ唬┱n本P44習(xí)題7.2

　　6.求證A(1，3），B（5，7），C（10，12）三點(diǎn)在同一直線上.

　　7?34?＝1 5?14

　　12?39?＝1 AC＝10?19證明：∵AB＝

　　∴AB＝AC

　　又∵AB與AC有相同起點(diǎn)A

　　∴A、B、C三點(diǎn)共線.

　　說(shuō)明：此題也可通過(guò)兩點(diǎn)式求出直線AB的方程，再檢驗(yàn)點(diǎn)C也符合直線AB方程，從而證明A、B、C三點(diǎn)共線.

　　7.(1)已知三角形的頂點(diǎn)是A(８，5）、B（４，－2）、C(－6，3)，求經(jīng)過(guò)每?jī)蛇呏悬c(diǎn)的三條直線的方程.

　　(2)△ABC的頂點(diǎn)是A（0，5），B（1，－2），C（－6，4），求BC邊上的中線所在的直線的方程

　　5x?(?)?12 ?55?10?(?)2

　　整理得８x－5＋25＝0

　　這就是BC邊上的中線所在直線方程.

　�。ǘ�1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：P４2～４3

　　2.預(yù)習(xí)提綱：

　　（1）直線方程的一般式有何特點(diǎn)?

　�。�2）直線方程的一般式能否與其他形式互相轉(zhuǎn)化?

　　●板書(shū)設(shè)計(jì)

　　高二數(shù)學(xué) 上學(xué)期直線的斜率與傾斜角例題（三）

　�。劾�1］求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1（2，1）和P2（，2）（∈R)的直線l的斜率，并且求出l的傾斜角α及其取值范圍.

　　選題意圖：考查傾斜角與斜率之間的關(guān)系及斜率公式.

　　解：(1)當(dāng)=2時(shí)，x1＝x2＝2，∴直線l垂直于x軸，因此直線的斜率不存在，傾斜角α=? 2

　　(2)當(dāng)≠2時(shí)，直線l的斜率=

　　∴α=arctan1∵＞2時(shí)，＞0. ?21?,α∈（0，）， ?22

　　1?，α∈(,π). ?22

　　1，）共線，求的值. 2∵當(dāng)＜2時(shí)，＜0 ∴α＝π＋arctan說(shuō)明：利用斜率公式時(shí)，應(yīng)注意斜率公式的應(yīng)用范圍. ［例2］若三點(diǎn)A(－2，3），B（3，－2），C（

　　選題意圖：考查利用斜率相等求點(diǎn)的坐標(biāo)的方法.

　　解：∵A、B、C三點(diǎn)共線，

　　∴ｋAB＝ｋAC，?2?3?3?. 13?2?22

　　解得=1. 2

　　說(shuō)明：若三點(diǎn)共線，則任意兩點(diǎn)的斜率都相等，此題也可用距離公式來(lái)解.

　　［例3］已知兩點(diǎn)A(－1,－5),B(3,－2),直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，求直線l的斜率.

　　選題意圖：強(qiáng)化斜率公式.

　　解：設(shè)直線l的傾斜角α，則由題得直線AB的傾斜角為2α. ∵tan2α=ｋAB=?2?(?5)3?. 3?(?1)4

　　?2tan?3? 1?tan2?4

　　1或tanα＝－3. 3即3tan2α+8tanα－3=0，解得tanα＝

　　∵tan2α＝3＞0,∴0°＜2α＜90°, 4

　　0°＜α＜45°，

　　∴tanα＝1. 3

　　1 3因此，直線l的斜率是

　　說(shuō)明：由2α的正切值確定α的范圍及由α的范圍求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.

　　命題否定的典型錯(cuò)誤及制作

　　在教材的第一章安排了《常用邏輯用語(yǔ)》的內(nèi)容．從課本內(nèi)容安排上看，顯得較容易，但是由于對(duì)邏輯聯(lián)結(jié)詞不能做到正確理解，在解決這部分內(nèi)容涉及的問(wèn)題時(shí)容易出錯(cuò)．下面僅對(duì)命題的否定中典型錯(cuò)誤及常見(jiàn)制作方法加以敘述．

　　一、典型錯(cuò)誤剖析

　　錯(cuò)誤1——認(rèn)為命題的否定就是否定原命題的結(jié)論在命題的否定中，有許多是把原命題中的結(jié)論加以否定．如命題：2是無(wú)理數(shù)，其否定是：2不是無(wú)理數(shù)．但據(jù)此就認(rèn)為命題的否定就是否定原命題的結(jié)論就錯(cuò)了．

　　例1 寫(xiě)出下列命題的否定：

　�、� 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，使x＝1；

　�、� 存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x＝1．

　　錯(cuò)解：它們的否定分別為

　　⑴ 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，使x≠1；

　�、� 存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x≠1．

　　剖析：對(duì)于⑴是全稱命題，要否定它只要存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x≠1即可；對(duì)于⑵是存在命題，要否定它必須是對(duì)所有實(shí)數(shù)x，使x≠1．

　　正解：⑴存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x≠1；

　�、茖�(duì)于任意實(shí)數(shù)x，使x≠1．

　　錯(cuò)誤2——認(rèn)為命題的否定就是原命題中的判斷詞改和其意義相反的判斷詞

　　在命題的否定中，有許多是把原命題中的判斷詞改為相反意義的詞，如“是”改為“不是”、“等”改為“不等”、“大于”改為“小于或等于”等．但對(duì)于聯(lián)言命題及選言命題，還要把邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與“或”互換． 22222222

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　　例2 寫(xiě)出下列命題的否定：

　�、� 線段AB與CD平行且相等；

　�、� 線段AB與CD平行或相等．

　　錯(cuò)解：⑴ 線段AB與CD不平行且不相等；

　�、� 線段AB與CD不平行或不相等．

　　剖析：對(duì)于⑴是聯(lián)言命題，其結(jié)論的含義為：“平行且相等”，所以對(duì)原命題結(jié)論的否定除“不平行且不相等”外，還應(yīng)有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而⑵是選言命題，其結(jié)論包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三種情況，故否定就為“不平行且不相等”．

　　正解：⑴ 線段AB與CD不平行或不相等；

　�、� 線段AB與CD不平行且不相等．

　　錯(cuò)誤3——認(rèn)為“都不是”是“都是”的否定

　　例3 寫(xiě)出下列命題的否定：

　　⑴ a，b都是零；

　　⑵ 高一(一)班全體同學(xué)都是共青團(tuán)員．

　　錯(cuò)解：⑴ a，b都不是零；

　　⑵ 高一(一)班全體同學(xué)都不是共青團(tuán)員．

　　剖析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的關(guān)系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒(méi)有”．

　　正解：⑴a，b不都是零，即“a，b中至少有一個(gè)不是零”．

　�、� 高一(一)班全體同學(xué)不都是共青團(tuán)員，或?qū)懗桑焊咭?一)班全體同學(xué)中至少有一人共青團(tuán)員．

　　錯(cuò)誤4——認(rèn)為“命題否定”就是“否命題”

　　根據(jù)邏輯學(xué)知識(shí)，任一命題p都有它的否定(命題)非p(也叫負(fù)命題、反命題)；而否命題是就假言命題(若p則q)而言的．如果一個(gè)命題不是假言命題，就無(wú)所謂否命題，也就是說(shuō)，我們就不研究它的否命題．我們應(yīng)清醒地認(rèn)識(shí)到：假言命題“若p則q”的否命題是“若非p則非q”，而“若p則q”的否定(命題)則是“p且非q”，而不是“若p則非q”．

　　例4 寫(xiě)出命題“滿足條件C的點(diǎn)都在直線F上”的否定．

　　錯(cuò)解：不滿足條件C的點(diǎn)不都在直線F上．

　�、� 3＋4＞6；

　�、� 2是偶數(shù)．

　　解：所給命題的否定分別是：

　�、� 3＋4≤6；

　�、� 2不是偶數(shù)．

　　2．含有全稱量詞和存在量詞的簡(jiǎn)單命題

　　全稱量詞相當(dāng)于日常語(yǔ)言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一個(gè)”等，形如“所有A是B”，其否定為“存在某個(gè)A不是B”；存在量詞相當(dāng)于 “存在一個(gè)”，“有一個(gè)”，“有些”，“至少有一個(gè)”，“至多有一個(gè)”等，形如“某一個(gè)A是B”，其否定是“對(duì)于所有的A都不是B”．

　　全稱命題的否定是存在命題，存在命題的否定是全稱命題．

　　例6 寫(xiě)出下列命題的否定：

　�、� 不論取什么實(shí)數(shù)，x＋x－＝0必有實(shí)根．

　�、� 存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x＋x＋1≤0．

　�、� 至少有一個(gè)整數(shù)是自然數(shù)．

　　⑷ 至多有兩個(gè)質(zhì)數(shù)是奇數(shù)．

　　解：⑴ 原命題相當(dāng)于“對(duì)所有的實(shí)數(shù)，x＋x－＝0必有實(shí)根”，其否定是“存在實(shí)數(shù)，使x＋x－＝0沒(méi)有實(shí)根”．

　�、� 原命題的否定是“對(duì)所有的實(shí)數(shù)x，x＋x＋1＞0”．

　�、� 原命題的否定是“沒(méi)有一個(gè)整數(shù)是自然數(shù)”．

　　⑷ 原命題的否定是“至少有三個(gè)質(zhì)數(shù)是奇數(shù)”．

　　22222

　　3．復(fù)合命題“p且q”，“p或q”的否定