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高中數學恒成立問題的解題策略
論文摘要：在高中數學教學中，我們經常會碰到某些恒成立的問題。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下兩種類型：一是利用函數圖像與性質;二是變量分離。本文對此進行了分析。
關鍵詞：恒成立問題;函數圖像;數學
在高中教學中，我們經常會碰到在給定條件下某些結論恒成立的問題，我們怎樣來解決呢? 函數在給定區(qū)間上某結論成立問題，其表現(xiàn)形式通常有：(在給定區(qū)間上某關系恒成立;(某函數的定義域為全體實數R;(某不等式的解為一切實數;(某表達式的值恒大于等等……
恒成立問題，涉及到一次函數、二次函數的性質、圖像，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個熱點。
恒成立問題在解題過程中大致可分為以下兩種類型：一是利用函數圖像與性質，例如，一次函數、二次函數等;二是變量分離。恒成立問題還要注意與存在性問題的區(qū)別和聯(lián)系。
一、利用函數圖像與性質
例1：對任意恒成立，求的取值范圍。
解：令，
本題關于的二次函數，若二次函數大于0在R上恒成立且(即圖像恒在軸上方)。
若二次函數小于0在R上恒成立且(即圖像恒在軸下方)。
我們也會經常碰到二次函數在某一給定區(qū)間上的恒成立問題，碰到這樣的情況，如果我們仍舊可以利用函數圖像來解決的話，會更得心應手。
變式1：對任意恒成立，求的取值范圍。
解：若對任意恒成立，令，利用其函數圖像，
，得
變式2：若時，恒成立，求的取值范圍。
分析：可以看成關于的二次函數，也可以看成關于的一次函數，所以在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：及，關鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數。顯然，可將視作自變量，則上述問題即可轉化為在內關于的一次函數小于0的恒成立問題。
若原題可化為一次函數型，則由數形結合思想利用一次函數知識求解，十分簡捷。給定一次函數，若在內恒有，則根據函數的圖像(直線)可得上述結論等價于;同理，若在內恒有，則有，
利用的函數圖像可知，
變式3：對任意及時，恒成立，求的取值
范圍。
分析：不等式中出現(xiàn)了三個字母：，及，關鍵在于先把哪個字母看成是變量，另外兩個作為常數。
方法一：若先把看成關于的二次函數，且在上恒大于等于0，則，即，
在上恒成立，(如變式1)
令，，
方法二：若先把看成關于的一次函數，則在上恒成立(如變式2)，，則，所以此不等式在上恒成立，
二、變量分離
若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉化成函數的最值問題求解。運用不等式的相關知識不難推出如下結論：若對于x取值范圍內的任何一個數都有恒成立，則;若對于取值范圍內的任何一個數，都有恒成立，則。(其中和分別為的最大值和最小值)
例2：已知函數在是增函數，在為減函數，(1)求的表達式;當時，若在內恒成立，求的取值范圍。
解：(1)函數在是增函數，
在上恒成立，
，在上恒成立， ①
函數在是減函數，在上恒成立。
在上恒成立， ②
由①②可得，，，
方法一：，
令在上恒成立，
在上單調遞減，，
，
方法二：方法一是采用恒成立，則來解決，也可以利用恒成立;恒成立，
，
令
，，，，，
在上恒成立，，
例3：已知函數對于總有成立，求實數的值。
方法一：(同例2的方法二)
�、佼敃r，不符題意;
�、诋�，在上恒成立，在上單調遞減.，不符題意;
�、郛敚趩握{遞增;在上單調遞減。
在的最小值可能是
，也可能是，
，且，且，
�、墚敚谏虾愠闪�，在上單調遞減，，所以不符題意。
綜上所述，。
方法二：(同例2的方法一)
，
① 當時，;
② 當時， 令
在單調遞增，在
在上恒成立，在上單調遞減，。
�、郛敃r，令
在單調遞增，。
綜上所述，。
三、存在性問題和恒成立問題的區(qū)別和聯(lián)系
1.存在性問題和恒成立問題的區(qū)別
例4：若對于，有解，求
的范圍。
分析：原不等式可整理成，則存在，有解，是一個存在性問題。存在性問題有如下解法：①在定義域上有解;②在定義域上有解。
解：令，在上恒大于零，在上單調遞增，，。
變式：任意，恒成立，求的范圍。
解：(由例4可得)因為在上恒成立，所以=。
2.存在性問題和恒成立問題的聯(lián)系
如例4：令：存在， 有解，所以命題是一個存在性問題;
而：任意，恒成立，它是一個恒成立問題. 所以求滿足條件的的范圍，先可以求滿足條件的的范圍，再求其補集。
因為：任意，恒成立，所以，，所以滿足條件的的范圍為。
存在性問題可以與恒成立問題相互轉化，存在性問題的反面是恒成立問題，恒成立問題的反面是存在性問題。
綜上，恒成立問題的解決主要是以上幾種方法，恒成立問題解決有利于函數方面知識的掌握，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。
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