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淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用能力
在數(shù)論中，數(shù)學(xué)歸納法是以一種不同的方式來證明無窮序列情形都是正確的(第一個(gè),第二個(gè)，第三個(gè)，一直下去概不例外)的數(shù)學(xué)定理。下面是YJBYS提供的一篇關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用能力的探討論文，歡迎閱讀指教!
摘要：數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中最基本也是最重要的證明方法之一，也是一種特殊的論證方法，它在數(shù)學(xué)各個(gè)分支都有著廣泛的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中歸納法應(yīng)用一直是教師教學(xué)的一個(gè)主要手段之一，其思想與方法可以有多方面的體現(xiàn)，在學(xué)習(xí)應(yīng)用當(dāng)中具有較深遠(yuǎn)的意義。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法 思想 應(yīng)用 能力
引言
歸納法，即通過對(duì)一些特例或簡(jiǎn)單情形進(jìn)行觀察與綜合以發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的一種科學(xué)思維方法，其基礎(chǔ)在于實(shí)踐與觀察，被著名的美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞稱為科學(xué)家處理經(jīng)驗(yàn)的方法.作為數(shù)學(xué)研究的基本方法之一，歸納法常用于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，其過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的創(chuàng)造與再創(chuàng)造過程.歸納法分為不完全歸納法和完全歸納法.不完全歸納法是根據(jù)事物的部分特例得出一般結(jié)論的推理方法，其結(jié)論不一定可靠.而完全歸納法是一種研究事件的所有特殊情況后得出的推理方法，且得出的結(jié)論是可靠的.因此，當(dāng)涉及的問題是與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題時(shí)，先用不完全歸納法猜想規(guī)律，后用完全歸納法證明其正確性.數(shù)學(xué)歸納法的精妙之處在于用兩個(gè)命題的證明代替了無數(shù)個(gè)命題的證明，充分體現(xiàn)了有限與無限的辯證關(guān)系.在教學(xué)中，學(xué)生往往機(jī)械地套用兩個(gè)步驟解題，對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)涵缺乏真正的理解.本文結(jié)合自己的對(duì)數(shù)學(xué)歸納法思想的理解實(shí)踐，淺談數(shù)學(xué)中的歸納法思想及其應(yīng)用。
1、數(shù)學(xué)歸納法的概念
數(shù)學(xué)歸納法(Mathematical Inducaion，通常簡(jiǎn)稱為MI)是一種數(shù)學(xué)證明方法，經(jīng)常被用于證明某個(gè)給定命題在整個(gè)(或者局部)自然數(shù)范圍內(nèi)成立。除了自然數(shù)以外，廣泛意義上的數(shù)學(xué)歸納法也可以用于證明一般良基結(jié)構(gòu)，比如:集合論中的樹。這種廣義的數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用十?dāng)?shù)學(xué)邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域，稱作結(jié)構(gòu)歸納法。盡管數(shù)學(xué)歸納法的名字中有“歸納”二字，但不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臍w納推理法不包括數(shù)學(xué)歸納法在內(nèi)，它是屬十完全嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理法。
該方法主要用來研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)中常用來證明數(shù)列通項(xiàng)公式和等式成立成立。最簡(jiǎn)單和常見的數(shù)學(xué)歸納法證明方法是證明當(dāng)n屬于所有正整數(shù)時(shí)一個(gè)表達(dá)式成立。最早使用數(shù)學(xué)歸納法來證明的的人是Maurolic，他利用遞推關(guān)系巧妙的證明出了前n個(gè)奇數(shù)的總和是n2，由此揭開了數(shù)學(xué)歸納法之謎。
2、數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)
一般地說，數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟可以概括為:
(1)證明當(dāng)n =n。時(shí)命題成立;
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k n。,k N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+l時(shí)命題也成立.
根據(jù)(1)和(2)，可以斷定命題對(duì)于從n。開始的所有自然數(shù)n都成立.
用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，為什么完成了上述兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于從n。開始的所有自然數(shù)n都成立呢?
這是學(xué)生的迷惑之處，教師要把這個(gè)問題講透.因?yàn)橛脭?shù)學(xué)歸納法證明的一般命題包含著無數(shù)多個(gè)特殊命題.若將用數(shù)學(xué)歸納法證明的一般命題設(shè)為:己知n , n。k N*，證明結(jié)論M(n)成立，則它包含著無數(shù)多個(gè)特殊命題的全體:
己知n =n。，證明結(jié)論M(n。)成立; ①
己知n =n。+1，證明結(jié)論M(n。 + 1) 成立; ②
己知n= n。+2，證明結(jié)論M(n。 + 2) 成立; ③
……
第二個(gè)步驟的作用是證明了命題M(n)的成立對(duì)于自然數(shù)n具有傳遞性，即由n=k(k n。, k N*)時(shí)結(jié)論M(k)假設(shè)成立，可推得結(jié)論M(k+1)成立.其具體表現(xiàn)是:由①成立，可推得②成立;由②成立，可推得③成立;……
因?yàn)樵诘谝粋�(gè)步驟中，己經(jīng)證得①成立，再結(jié)合第二個(gè)步驟，這樣就說明了無限多個(gè)特殊命題都成立，由此推得原命題成立.至此，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的原理，應(yīng)該說己經(jīng)直觀明了了.
但是，數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟的理論依據(jù)又是什么呢?它源于何處?只有理解數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)，才能凸顯這種證明方法具備理論的嚴(yán)密性和應(yīng)用的廣泛性.數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟的理論依據(jù)來源于自然數(shù)集合公理的歸納公理，即如果一個(gè)由自然數(shù)組成的集合含有1，又當(dāng)這個(gè)集合含有任一自然數(shù)n時(shí)，它也一定含有n的后繼數(shù)，則此集合含有全部自然數(shù).上述公理是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾在1889年提出的.根據(jù)歸納公理，我們要證明與自然數(shù)集有關(guān)的命題P成立，只需證明兩點(diǎn):先證明命題P對(duì)于自然數(shù)n。成立，這是數(shù)學(xué)歸納法的第一步;然后證明假設(shè)命題尸對(duì)于k成立，由此推得命題P對(duì)于自然數(shù)k+1也成立，這是數(shù)學(xué)歸納法的第二步.由此可見，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，只要完成了上述兩個(gè)步驟，就可以斷言命題對(duì)于從n。開始的所有自然數(shù)n都成立。
3、數(shù)字歸納法的思想本質(zhì)
思想反映在人的意識(shí)中，是客觀存在，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果�，F(xiàn)實(shí)世界在數(shù)學(xué)里的反映是能動(dòng)的，數(shù)維能動(dòng)的自由創(chuàng)造，是來自往常經(jīng)驗(yàn)的一開始的概念和原理有所意識(shí)并合乎邏輯學(xué)思的發(fā)展。數(shù)學(xué)歸納法的演繹推理是在歸納基礎(chǔ)上成立的，演繹推理在數(shù)學(xué)中歸納基礎(chǔ)上的是普遍存在的，并且不僅僅是局在于數(shù)學(xué)歸納法上。比如，在學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和定理時(shí)，老師經(jīng)常是通過讓學(xué)生先用量角器測(cè)量三角形的各個(gè)角的度數(shù)，然后再來進(jìn)行相加。經(jīng)過測(cè)量幾個(gè)三角形之后，都會(huì)得出其三個(gè)內(nèi)角之和為180度。這種認(rèn)識(shí)事物的方法稱為歸納法，但是通過此種方法得出來的僅僅是經(jīng)驗(yàn)，不一定是真理，如果要使歸納出的結(jié)論成為真理，就一定要通過演繹證明。歸納與演繹是對(duì)立統(tǒng)一存在的，歸納有利于發(fā)現(xiàn)事物的真理，而演繹則有助于揭示事物其內(nèi)在的聯(lián)系，使我要們認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)，就要和諧地將歸納與演繹這兩種認(rèn)識(shí)世界的基本方法統(tǒng)一在數(shù)學(xué)歸納法之中。
4、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用
用數(shù)學(xué)歸納法證明，要完成兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論.證明第一步是比較容易的，有時(shí)只要驗(yàn)證一下即可.而證明第二步的關(guān)鍵在于:一要充分用好歸納假設(shè);二要做好命題從n =k到n=k+1的遞推轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化要求從n =k到n=k+1時(shí)命題的結(jié)構(gòu)形式不變.在解題過程中，學(xué)生主要存在兩方而的困難，一是當(dāng)命題從n =k到n=k+1時(shí)，若增加的項(xiàng)不是1項(xiàng)，不少學(xué)生不能正確寫出表達(dá)式，二是不能靈活進(jìn)行轉(zhuǎn)化.下而舉例說明用數(shù)學(xué)歸納法證明的思路及一些常用方法。
例1 證明: (n N*)。
分析 當(dāng)n =1時(shí)，命題為真。設(shè)表示原式的左邊，f (n)表示原式的右邊，則原式為= f (n)。命題從n =k到n=k+1遞推轉(zhuǎn)化的途徑是:=.其中=f(k)是歸納假設(shè)，f (k)與f(k+1)的結(jié)構(gòu)形式要相同，因此需要通過恒等變形證明等式f(k)+=f(k + 1)成立。
例2 證明:1+(n N*)。
分析當(dāng)n =1時(shí)，結(jié)論正確.由分母的變化規(guī)律，當(dāng)n =k時(shí)，原式左邊不是k項(xiàng)，而是有項(xiàng);當(dāng)n=k+1時(shí)，原式左邊不是k+1項(xiàng)，而是有項(xiàng)。設(shè)表示原式左邊，f (n)表示原式右邊，則命題從n =k到n=k+1轉(zhuǎn)化的途徑是：。其中s(k)=是歸納假設(shè).要使f (k)與f(k+1)的結(jié)構(gòu)形式相同，先將s(k)中的項(xiàng)都換成，再把f(k) + s(k)縮小為f(k)+，從而實(shí)現(xiàn)遞推轉(zhuǎn)化.需要指出的是，用數(shù)學(xué)歸納法證明與不等式有關(guān)的命題時(shí)，常用基本不等式進(jìn)行放縮轉(zhuǎn)化。
例3 己知為兩兩各不相同的正整數(shù)，證明:對(duì)任何正整數(shù)n，有+…+ 。
分析 當(dāng)n =1時(shí)，命題為真.假設(shè)當(dāng)n =k時(shí)不等式成立，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，利用歸納假設(shè)有+…+ .
顯然，當(dāng)時(shí)，就能順利轉(zhuǎn)化;而當(dāng)時(shí)，則轉(zhuǎn)化受阻.因?yàn)閡是兩兩互不相同的正整數(shù)，如果，那么在中必有一個(gè)(1)大于或等于k+1，設(shè)法把與交換一下，就能使轉(zhuǎn)化順利進(jìn)行.具體操作如下:當(dāng),因?yàn)樵谥斜赜幸粋�(gè)(1),設(shè)毛:毛k)，設(shè)=+(，顯然，在和式+…+中，因?yàn)?=，所以可以把和式前面的k項(xiàng)中的替換成，把差額部分放到最后去，其和不變.此時(shí)前而k項(xiàng)的分子仍符合兩兩各不相同的正整數(shù)的條件，可以利用歸納假設(shè)遞推轉(zhuǎn)化。
例4 證明: +15n一1(n N*)能被9整除。
分析 當(dāng)n =1時(shí)，命題顯然成立.假設(shè)當(dāng)n=k(,k N*)時(shí)命題為真，那么
f(k+1) =+15n一1= f (k)一60k +4+15(k+1)一1=4f(k)一9(5k一2).
第一項(xiàng)由歸納假設(shè)能被9整除，第二項(xiàng)顯然能被9整除.故f(k+1)能被9整除，這就是說當(dāng)n=k+l時(shí)命題也為真。
由例4可知，一些整除性命題都可以變換成f(k + 1) =A(k)f(k) + B(k)的形式，其中A(k)f(k)是歸納假設(shè)部分，能被正整數(shù)P整除，若B (k)明顯能被P整除，從而推出f (k + 1)能被P整除。
5、數(shù)學(xué)歸納思想的重要性
隨著社會(huì)發(fā)展和工作的需要，在教學(xué)中能力的培養(yǎng)越來越被重視。能力不同與知識(shí)，例如，在一類數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)中，學(xué)生懂得數(shù)學(xué)歸納法，知道其具體的步驟和過程，這就是知識(shí)。而判斷什么時(shí)候用數(shù)學(xué)歸納法，如何區(qū)分構(gòu)造歸納方法更加簡(jiǎn)便，這就是能力。學(xué)生能力的大小在于他的思維能力，因此，發(fā)展思維能力，尤其是歸納創(chuàng)造思維能力是培養(yǎng)能力的核心，影視學(xué)生學(xué)會(huì)分析、歸納、概括、綜合、演繹、類比、抽象等主要的思維方式。
學(xué)生應(yīng)該以學(xué)習(xí)為主體，培養(yǎng)學(xué)生綜合歸納、獨(dú)立思考的思想，使給與他們的最好的禮物。還要使其養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣，不能養(yǎng)成依賴的思想，一旦遇到問題就問。還有運(yùn)算能力在數(shù)學(xué)歸納思想中也尤為重要，運(yùn)算是學(xué)習(xí)的基本能力，對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法還有一個(gè)突出的問題就是準(zhǔn)確性差，算法不合理。數(shù)學(xué)歸納法思想也是種一種綜合能力的體現(xiàn)，是邏輯思維能力與計(jì)算技能和技巧的結(jié)合.而且還與記憶能力、歸納能力、推理能力、理解能力、表達(dá)能力以及空間想象能力相互之間滲透形成的一種綜合能力。
總結(jié)
現(xiàn)代數(shù)學(xué)已經(jīng)突破了傳統(tǒng)意義科學(xué)知識(shí)的約束，逐漸成為一項(xiàng)普遍使用的技術(shù)，與人類生活的各個(gè)相關(guān)領(lǐng)域都開始交融，可以說在信息收集、整理、表述、創(chuàng)新、溝通等人類發(fā)展文化中處于關(guān)鍵角色。數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中最基本也是最重要的證明方法之一，也是一種特殊的論證方法，它在數(shù)學(xué)各個(gè)分支都有著廣泛的應(yīng)用。從數(shù)學(xué)歸納法的思想方法，可以體會(huì)到人類思維無限徜徉精靈般的魔力;從數(shù)學(xué)歸納法簡(jiǎn)潔證明格式與鎮(zhèn)密周詳過程的辯證統(tǒng)一，可以領(lǐng)悟到哲學(xué)思想無處不在的深刻，這也是數(shù)學(xué)歸納法蘊(yùn)涵的文化內(nèi)涵。
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