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淺析計(jì)算科學(xué)行列式的應(yīng)用
下面是小編整理的關(guān)于計(jì)算科學(xué)行列式的應(yīng)用的論文，歡迎大家借鑒哦!
摘 要：行列式是研究高等代數(shù)的一個(gè)重要工具.在對(duì)行列式的定義及其性質(zhì)研究的基礎(chǔ)上，總結(jié)了計(jì)算行列式的幾種常見(jiàn)方法：加邊法、構(gòu)造法、遞推法、拆項(xiàng)法、數(shù)學(xué)歸納法等.另外，歸納了二條線(xiàn)性行列式、“兩岸”行列式、上(下)三角形行列式、二條線(xiàn)叉型行列式及箭型行列式幾類(lèi)特殊行列式的計(jì)算公式.利用行列式證明明微分中值定理;并通過(guò)一些具體的實(shí)例介紹了行列式在求逆矩陣、求解幾何圖形方程和計(jì)算圖形面積體積等多個(gè)方面的實(shí)際應(yīng)用.
關(guān)鍵詞：行列式 應(yīng)用
一、引言
行列式不僅是研究高等代數(shù)的一個(gè)重要工具，它也是線(xiàn)性代數(shù)理論中極其重要的組成部分.在高等代數(shù)中，行列式的求解是非常重要的，但是直接計(jì)算行列式往往是困難和繁瑣的，特別當(dāng)行列式的元素是字母時(shí)更加明顯.根據(jù)這一情況，對(duì)行列式計(jì)算的常見(jiàn)方法進(jìn)行了總結(jié).計(jì)算行列式的常見(jiàn)方法有化三角形法，拆分法，降階法，升階法，待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法，乘積法和加邊法等.另外對(duì)行列式中存在的二條線(xiàn)性行列式、“兩岸”行列式、上(下)三角形行列式、二條線(xiàn)叉型行列式及箭型行列式等特殊構(gòu)造的行列式的公式進(jìn)行了歸納.
行列式的產(chǎn)生和最早的應(yīng)用都是在解線(xiàn)性方程組中，現(xiàn)在的應(yīng)用范圍已拓展得較為廣泛，成為數(shù)學(xué)、物理學(xué)以及工科許多課程的重要工具.對(duì)這些應(yīng)用技巧進(jìn)行探討歸納，不僅有課程建設(shè)的現(xiàn)實(shí)意義，而且有深刻的理論意義.通過(guò)介紹一些具體的實(shí)例，說(shuō)明行列式在證明明微分中值定理、求逆矩陣及矩陣特征值、求解線(xiàn)性方程組、求解幾何圖形方程和計(jì)算圖形面積體積等多個(gè)方面中的實(shí)際應(yīng)用.
二、行列式的發(fā)展與應(yīng)用
行列式出現(xiàn)于線(xiàn)性方程組的求解，它最早是一種速記的表達(dá)式，現(xiàn)在已經(jīng)是數(shù)學(xué)中一種非常有用的工具。行列式是由萊布尼茨發(fā)明的。同時(shí)代的日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在其著作《解伏題元法》中也提出了行列式的概念與算法。 1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克拉默(1704-1752)在其著作《線(xiàn)性代數(shù)分析導(dǎo)引》中，對(duì)行列式的定義和展開(kāi)法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了現(xiàn)在我們所稱(chēng)的解線(xiàn)性方程組的克拉默法則。稍后，數(shù)學(xué)家貝祖 (1730-1783)將確定行列式每一項(xiàng)符號(hào)的方法進(jìn)行了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個(gè)齊次線(xiàn)性方程組有非零解。
行列式在高等代數(shù)課程中的重要性以及在考研中的重要地位使我們有必要對(duì)行列式進(jìn)行較深入的認(rèn)識(shí)，本文對(duì)行列式的解題技巧和它的簡(jiǎn)單應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)歸納。
作為行列式本身而言，我們可以發(fā)現(xiàn)它的兩個(gè)基本特征：當(dāng)行列式是一個(gè)三角形行列式時(shí)，計(jì)算將變得十分簡(jiǎn)單，于是將一個(gè)行列式化為三角形行列式便是行列式計(jì)算的一個(gè)基本思想;行列式的另一特征便是它的遞歸性，即一個(gè)行列式可以用比它低階的一系列行列式表示，于是對(duì)行列式降階從而揭示其內(nèi)部規(guī)律也是我們的一個(gè)基本想法，即遞推法。這兩種方法也經(jīng)常一起使用，而其它方法如：加邊法、降階法、數(shù)學(xué)歸納法、拆行(列)法、因式分解法等可以看成是它們衍生出的具體方法。同時(shí)行列式的應(yīng)用早已超出了代數(shù)的范圍，成為解析幾何，數(shù)學(xué)分析，概率統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)分支的基本工具。
三、行列式方法及應(yīng)用
行列式的計(jì)算，高等代數(shù)中重要內(nèi)容之一，最常用的是利用行列式的性質(zhì)和展開(kāi)定理，需要熟練的掌握，根據(jù)其具體特點(diǎn)采用不同的計(jì)算方法，本文對(duì)行列式的解題方法進(jìn)行了總結(jié)歸納。將一個(gè)行列式化為三角形行列式，是行列式計(jì)算的一個(gè)基本思想，也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的遞歸性，即一個(gè)行列式可以用比它低階的一系列行列式表示，于是對(duì)行列式降階從而揭示其內(nèi)部規(guī)律也是我們的一個(gè)基本想法，即遞推法。這兩種方法也經(jīng)常一起使用。而其它方法如：提取公因式法、利用拉普拉斯(Laplace)定理法、利用范德蒙(Vandermonde)行列式法、利用乘法定理法、裂項(xiàng)法、升階法、公式法、規(guī)律缺損補(bǔ)足法、特征根法、數(shù)學(xué)歸納法、利用行列式乘法規(guī)則等可以看成是它們衍生出的具體方法。
1.求通過(guò)定點(diǎn)的曲線(xiàn)方程與曲面方程.線(xiàn)性方程組的理論中有一個(gè)基本結(jié)論為：含有n個(gè)方程n個(gè)末知量的齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充要條件是該線(xiàn)性方程組系數(shù)行列式等0.利用這個(gè)結(jié)論，可以利用行列式來(lái)求通過(guò)定點(diǎn)的曲線(xiàn)方程與曲面方程。
2.證明等式和不等式。我們知道，把行列式的某一行(列)的元素乘以同一數(shù)后加到另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素上，行列式值不變，如果行列式中有一行(列)的元素全部是零，那么這個(gè)行列式的值等于零.利用行列式的這些性質(zhì)，我們可以構(gòu)造行列式來(lái)證明等式和不等式。
3.化三角形法。此種方法是利用行列式的性質(zhì)把給定的行列式表示為一個(gè)非零數(shù)與一個(gè)三角形行列式之積，所謂三角形行列式是位于對(duì)角線(xiàn)一側(cè)的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主對(duì)角線(xiàn)的三角形行列式等于主對(duì)角線(xiàn)上元素之積，涉及次對(duì)角線(xiàn)的N階三角形行列式等于次對(duì)角線(xiàn)上元素之積且?guī)Х?hào)。
4.利用遞推關(guān)系法。所謂利用遞推關(guān)系法，就是先建立同類(lèi)型n階與n-1階(或更低階)行列式之間的關(guān)系――遞推關(guān)系式，再利用遞推關(guān)系求出原行列式的值。
5.提取公因式法。若行列式滿(mǎn)足下列條件之一，則可以用此法：(1)有一行(列)元素相同，稱(chēng)為“aaa，，，型”;(2)有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素之和或差相等，稱(chēng)為“鄰和型”;(3)各行(列)元素之和相等，稱(chēng)為“全和型”。滿(mǎn)足條件(1)的行列式可直接提取公因式a變?yōu)?ldquo;1，1，…，1型”，于是應(yīng)用按行(列)展開(kāi)定理，使行列式降一階。滿(mǎn)足(2)和(3)的行列式都可以根據(jù)行列式的性質(zhì)變?yōu)闈M(mǎn)足條件(1)的行列式，間接使用提取公因式法。
參考文獻(xiàn)：
[1] 王文省，趙建立，于增海，王廷明.高等代數(shù).山東大學(xué)出版社，2004.5.
[2] 錢(qián)吉林.高等代數(shù)題解精粹[M].北京：中央民族大學(xué)出版社，2002.
[3] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.
[4] 趙樹(shù)原.線(xiàn)性代數(shù)(第三版)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，1998.
[5] 金圣才.線(xiàn)性代數(shù)(理工類(lèi))考研真題與典型題詳解[M].北京：中國(guó)石化出版社，2005：116-122.
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