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線(xiàn)性規(guī)劃的教學(xué)模式
線(xiàn)性規(guī)劃的教學(xué)模式【1】
摘要：線(xiàn)性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的核心內(nèi)容，求解線(xiàn)性規(guī)劃的單純形法在理論上已趨于成熟，應(yīng)用也越來(lái)越廣泛。
為了使學(xué)生更容易、更深刻地理解這種算法及其理論基礎(chǔ)，本文給出了一種循序漸進(jìn)的教學(xué)模式。
這種模式也適用于運(yùn)籌學(xué)其他內(nèi)容的教學(xué)。
關(guān)鍵詞：?jiǎn)渭冃畏?循序漸進(jìn);教學(xué)模式
運(yùn)籌學(xué)是二戰(zhàn)期間發(fā)展起來(lái)的一門(mén)應(yīng)用學(xué)科，它廣泛應(yīng)用現(xiàn)有的科學(xué)技術(shù)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，解決實(shí)際中提出的一些問(wèn)題，為決策者選擇最優(yōu)策略提供定量依據(jù)，其內(nèi)容包括：規(guī)劃論(線(xiàn)性規(guī)劃、非線(xiàn)性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃等)、圖論與網(wǎng)絡(luò)分析、對(duì)策論、排隊(duì)論、存儲(chǔ)論、決策論、排序與統(tǒng)籌方法等[1]。
運(yùn)籌學(xué)的實(shí)際應(yīng)用涉及生產(chǎn)計(jì)劃、運(yùn)輸問(wèn)題、人事管理、庫(kù)存管理、市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)、財(cái)務(wù)和會(huì)計(jì)等方面。
另外，還應(yīng)用于設(shè)備維修、更新和可靠性分析，項(xiàng)目的選擇與評(píng)價(jià)、工程優(yōu)化設(shè)計(jì)、環(huán)境保護(hù)等問(wèn)題中。
據(jù)統(tǒng)計(jì)，50%數(shù)學(xué)建模問(wèn)題與運(yùn)籌學(xué)內(nèi)容相關(guān)，可以用運(yùn)籌學(xué)的方法解決。
另外，為各大高校數(shù)次爭(zhēng)得榮譽(yù)的建模隊(duì)伍，長(zhǎng)期以來(lái)一直接受運(yùn)籌學(xué)相關(guān)知識(shí)的培訓(xùn)。
運(yùn)籌學(xué)中最主要的分支是線(xiàn)性規(guī)劃。
線(xiàn)性規(guī)劃模型是前蘇聯(lián)著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家康托羅維奇于1939年提出的，這一重大發(fā)現(xiàn)使他獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。
1947年G.B.Dantzig提出求解線(xiàn)性規(guī)劃的單純形法。
針對(duì)退化問(wèn)題，1952年A.Charner和W.W.Cooper[2]給出了攝動(dòng)法，1954年G.B.Dantzig，A.Orden和P.Wolfe[3]提出了字典序方法，1976年G.G.Bland[4]提出了Bland法則，這些方法都能避免循環(huán)發(fā)生。
線(xiàn)性規(guī)劃理論上已趨于成熟，應(yīng)用也越來(lái)越廣泛。
事實(shí)上，運(yùn)籌學(xué)中許多問(wèn)題都可以或需要用線(xiàn)性規(guī)劃模型來(lái)描述或近似地描述，如運(yùn)輸問(wèn)題――求解運(yùn)輸問(wèn)題的表上作業(yè)法本質(zhì)上就是單純形法，并且這種方法充分展示了單純形法的魅力。
求最短路、最小費(fèi)用最大流的問(wèn)題都可以用線(xiàn)性規(guī)劃模型來(lái)解決。
求解指派問(wèn)題的匈牙利法本質(zhì)上也是單純形法[5]。
矩陣對(duì)策問(wèn)題最后轉(zhuǎn)化成求解線(xiàn)性規(guī)劃。
學(xué)習(xí)運(yùn)籌學(xué)的先修課程主要有線(xiàn)性代數(shù)、微積分、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。
事實(shí)上，運(yùn)籌學(xué)不僅應(yīng)用了這些學(xué)科，也從理論上進(jìn)一步發(fā)展了這些學(xué)科。
單純形法是建立在一系列理論基礎(chǔ)之上的。
首先，如果線(xiàn)性規(guī)劃的可行域非空，則它是一個(gè)凸集，這個(gè)結(jié)論很容易證明。
線(xiàn)性規(guī)劃的可行域的頂點(diǎn)與基可行解之間是一一對(duì)應(yīng)的，所以其頂點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，這個(gè)結(jié)論與單純形法的關(guān)系不大，其證明可以省略。
其次，線(xiàn)性規(guī)劃若有可行解，則一定有基可行解，這個(gè)結(jié)論是很重要的，為了更好地理解它的證明，我們先看下面的例子。
進(jìn)一步講，若線(xiàn)性規(guī)劃有最優(yōu)解，其最優(yōu)解一定可以在其可行域的頂點(diǎn)上找到，也就是在其基可行解中找到，這樣就把一個(gè)從無(wú)限個(gè)可行解中找最優(yōu)轉(zhuǎn)化成在有限個(gè)可行解中找最優(yōu)。
這是單純形法的理論基礎(chǔ)。
為了更好地理解這一重要結(jié)論的證明，我們看下一個(gè)例子。
X2的正分量的個(gè)數(shù)是2。
由于P2，P4線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以X2是基可行解。
這樣我們就找到了一個(gè)最優(yōu)解也是基可行解。
一般地，若X2的正分量對(duì)應(yīng)的系數(shù)列與線(xiàn)性相關(guān)，繼續(xù)上述過(guò)程，直到找到基可行解為止。
從基可行解中找最優(yōu)解所用的方法是單純形迭代法。
那么，如何判斷一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃是否有最優(yōu)解?如何判斷一個(gè)基可行解是否是最優(yōu)解?在一個(gè)基可行解不是最優(yōu)的情況下如何迭代到下一個(gè)與其相鄰的更好的基可行解?為回答這些問(wèn)題，我們舉例說(shuō)明。
先講特例再引入最優(yōu)性判別定理、基可行解的改進(jìn)定理以及單純形法的迭代步驟，學(xué)生就容易理解。
即使針對(duì)有些專(zhuān)業(yè)的學(xué)生講解這些定理的證明，也容易接受。
總之，現(xiàn)代社會(huì)信息量大，大學(xué)生需要學(xué)習(xí)的課程很多，用于預(yù)習(xí)或復(fù)習(xí)的時(shí)間就很少，這樣上課時(shí)間就尤為珍貴，教師應(yīng)該如何講，才能使學(xué)生當(dāng)堂聽(tīng)明白所授內(nèi)容，這是一個(gè)必須思考的問(wèn)題。
其實(shí)，運(yùn)籌學(xué)這門(mén)學(xué)科更側(cè)重的是應(yīng)用，數(shù)學(xué)理論并不難，之所以有人覺(jué)得難學(xué)，是因?yàn)闆](méi)有把握一種好的學(xué)習(xí)方法。
本文針對(duì)單純形法給出了一種循序漸進(jìn)的教學(xué)模式，實(shí)踐證明這種模式能使學(xué)生更容易的理解課堂內(nèi)容，有利于激發(fā)學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在輕松掌握數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上，能更好地探討運(yùn)籌學(xué)的經(jīng)典案例的建模和求解，加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力和創(chuàng)新能力。
參考文獻(xiàn)：
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[4]Bland，G.G.，New finite pivoting rules of Simplex method，Math.Of Operations Research，1977，(2)：103-107.
[5]Hamdy，A.Taha，Operations Research-An Introduction[M].北京：人民郵電出版社，2007.
線(xiàn)性規(guī)劃課程教學(xué)【2】
摘要：目前，各高校經(jīng)管類(lèi)專(zhuān)業(yè)大都開(kāi)設(shè)了線(xiàn)性規(guī)劃或運(yùn)籌學(xué)等相關(guān)課程。
本文結(jié)合線(xiàn)性規(guī)劃課程的教學(xué)實(shí)踐，闡述了線(xiàn)性規(guī)劃課程教學(xué)改革中的幾點(diǎn)體會(huì)。
關(guān)鍵詞：線(xiàn)性規(guī)劃;激發(fā)動(dòng)力;多媒體;網(wǎng)絡(luò)教學(xué)
線(xiàn)性規(guī)劃是經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，是線(xiàn)性代數(shù)后續(xù)基礎(chǔ)課之一，是運(yùn)籌學(xué)中研究較早且相對(duì)比較成熟的一個(gè)重要分支。
它是由于社會(huì)發(fā)展的需要而產(chǎn)生和發(fā)展的。
上世紀(jì)30年代末40年代初，康托洛維奇等在生產(chǎn)組織和運(yùn)輸問(wèn)題等方面開(kāi)始研究應(yīng)用線(xiàn)性規(guī)劃這一數(shù)學(xué)方法[1];1947年美國(guó)數(shù)學(xué)家Dantzing提出的單純形方法從理論上為線(xiàn)性規(guī)劃奠定了基礎(chǔ)。
它廣泛應(yīng)用現(xiàn)有的科學(xué)技術(shù)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，解決實(shí)際中提出的專(zhuān)門(mén)問(wèn)題，為決策者選擇最優(yōu)決策提供定量依據(jù)。
現(xiàn)如今，線(xiàn)性規(guī)劃已廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、國(guó)防、交通運(yùn)輸、能源、水利、經(jīng)濟(jì)、管理決策等眾多領(lǐng)域，它可以解決各行業(yè)中的最優(yōu)計(jì)劃、最優(yōu)分配、最優(yōu)管理、最優(yōu)決策等最優(yōu)問(wèn)題。
通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握線(xiàn)性規(guī)劃的主要模型、基本理論、主要算法，并能將這些理論和方法應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和分析、解決問(wèn)題的能力，從而為學(xué)生今后進(jìn)一步深造以及從事經(jīng)濟(jì)管理方向的學(xué)習(xí)和研究工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
下面就筆者的一些教學(xué)實(shí)踐，淺談一下線(xiàn)性規(guī)劃這門(mén)課程課堂教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì)。
1.合理安排教學(xué)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力
首先，線(xiàn)性規(guī)劃是線(xiàn)性代數(shù)的后續(xù)課程之一，課程中要用到很多線(xiàn)性代數(shù)的知識(shí)，比如，矩陣、矩陣的秩、矩陣的運(yùn)算、矩陣的初等變換、向量組的相關(guān)性、無(wú)關(guān)性、線(xiàn)性方程組的求解等等。
因此，我們?cè)谥v解線(xiàn)性規(guī)劃課程的內(nèi)容之前，首先要幫助學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固線(xiàn)性代數(shù)中學(xué)過(guò)的內(nèi)容。
雖然這樣會(huì)加重本課程的教學(xué)任務(wù)，但是只有代數(shù)中的這些內(nèi)容理解透徹了，線(xiàn)性規(guī)劃課程中的單純形方法等知識(shí)才能真正地理解其中的原理，才能做到"知其然，更知其所以然"，而不是死記硬背、"依葫蘆畫(huà)瓢"。
其次，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力是學(xué)生學(xué)號(hào)一門(mén)課程的前提之一。
提到數(shù)學(xué)課程，大多數(shù)的學(xué)生的第一反映是理論性強(qiáng)、很抽象、難掌握。
我們課程的第一部分是線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，課本上出于知識(shí)的系統(tǒng)性和嚴(yán)謹(jǐn)性的考慮，先給出的往往是變量很多、表達(dá)復(fù)雜的抽象的模型，這些太抽象太復(fù)雜的內(nèi)容會(huì)使學(xué)生認(rèn)為這門(mén)課程很高深、難聽(tīng)懂而產(chǎn)生挫敗感，進(jìn)而使學(xué)生在這門(mén)課程中的學(xué)習(xí)動(dòng)力大打折扣。
因此，我們授課時(shí)不妨可以先從一個(gè)貼近我們生活的實(shí)例出發(fā)，建立一個(gè)簡(jiǎn)單且容易理解的線(xiàn)性規(guī)劃模型。
如下面這個(gè)問(wèn)題[2]：某工廠在計(jì)劃期內(nèi)安排生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。
已知生產(chǎn)兩種產(chǎn)品所需的設(shè)備臺(tái)時(shí)及A，B兩種原材料的消耗、設(shè)備及兩種原材料的現(xiàn)有量、單位產(chǎn)品的利潤(rùn)如下表：?jiǎn)枺簯?yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，才使獲利最多?
這是生產(chǎn)組織與計(jì)劃問(wèn)題中的一個(gè)很典型、實(shí)際生活中也很常見(jiàn)的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的提示，學(xué)生們完全可以自己建立出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。
解：設(shè)生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為x1，x2單位。
maxS=2x1+3x2
x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1，x2≥0
再根據(jù)高中時(shí)期學(xué)過(guò)的圖解法，我們還可以求出最優(yōu)的生產(chǎn)方案：生產(chǎn)甲4單位，生產(chǎn)乙2單位時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)S=14元。
于是，我們可以告訴學(xué)生，我們這就已經(jīng)解決了一個(gè)比較簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題了。
這樣一來(lái)，學(xué)生在獲得成就感的同時(shí)，也發(fā)現(xiàn)了這門(mén)課程并非像想像中的那樣深不可測(cè)，是完全可以掌握好的，也就激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動(dòng)力。
2.傳統(tǒng)的板書(shū)教學(xué)應(yīng)與多媒體教學(xué)相結(jié)合
傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂采用的是黑板加板書(shū)的授課方式。
但是隨著信息化技術(shù)的不斷發(fā)展，多媒體技術(shù)作為一種新的教育形式和現(xiàn)代化的教學(xué)手段，被廣泛應(yīng)用到我們的日常教學(xué)工作中。
現(xiàn)在越來(lái)越多的數(shù)學(xué)課程也都采用多媒體的授課方式了。
就線(xiàn)性規(guī)劃這門(mén)課程而言，采用多媒體技術(shù)進(jìn)行授課有以下優(yōu)點(diǎn)：
(1)采用多媒體教學(xué)能夠省掉很多重復(fù)勞動(dòng)
比如，我們講解圖解法時(shí)，最優(yōu)解存在有唯一的最優(yōu)解和存在無(wú)窮多最優(yōu)解的情況，我們可以以下面這兩個(gè)題目為例來(lái)講解：
�、賛axS=2x1+3x2 ②maxS=2x1+4x2
x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1，x2≥0 x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1，x2≥0
問(wèn)題①存在唯一的最優(yōu)解，問(wèn)題②存在無(wú)窮多最優(yōu)解，但是這兩個(gè)問(wèn)題的約束條件相同，因此，兩者的可行域是完全相同的。
板書(shū)教學(xué)時(shí)，如果我們?cè)谕粋�(gè)圖形中求解會(huì)是圖形看起來(lái)雜亂、不清晰，如果畫(huà)兩個(gè)圖形求解，既占用了黑板的版面，也浪費(fèi)了課堂時(shí)間。
但是如果我們采用多媒體形式的話(huà)，首先，軟件繪制的圖形要比我們教師手繪的圖形精確的多，什么情況下取到最優(yōu)解，學(xué)生可以看得一目了然;再者，課件上的圖形比黑板上的圖形要干凈清晰很多，因此，這兩個(gè)題目在一個(gè)圖形中求解也不會(huì)顯得雜亂，同時(shí)也更方便學(xué)生對(duì)這兩種最優(yōu)解的情況進(jìn)行比較。
(2)多媒體教學(xué)能夠豐富課堂內(nèi)容，提高教學(xué)效率
比如，我們每門(mén)課程的第一次課，教師大都會(huì)介紹該課程的發(fā)展歷史、研究現(xiàn)狀及相關(guān)課程的背景知識(shí)來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
在講解線(xiàn)性規(guī)劃課程的內(nèi)容前，我們可以介紹一下運(yùn)籌學(xué)的主要分支及研究?jī)?nèi)容，尤其是與實(shí)際生活息息相關(guān)或日常生活中常見(jiàn)的一些問(wèn)題。
這些內(nèi)容如果我們?nèi)堪鍟?shū)，學(xué)生可以了解的比較清楚，但是信息量太大，會(huì)占用太多的課堂時(shí)間;如果只是口述，時(shí)間占用少了，但是學(xué)生會(huì)聽(tīng)的云里霧里。
多媒體的授課方式就可以很好地解決這兩者的矛盾，如果我們將這些內(nèi)容制作成精美的多媒體課件展現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生的印象就非常直觀，我們講解后，學(xué)生就會(huì)了解到線(xiàn)性規(guī)劃乃至整個(gè)運(yùn)籌學(xué)都是解決實(shí)際問(wèn)題的學(xué)科，是日常生活很多決策問(wèn)題需要依賴(lài)的學(xué)科，可是他們?nèi)蘸蠊ぷ髦锌赡軙?huì)用到的學(xué)科，這樣一來(lái)，就激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力。
因此，多媒體教學(xué)既豐富了課堂內(nèi)容，又沒(méi)有過(guò)多的占用課堂時(shí)間，提高了教學(xué)效率。
我們?cè)谙硎芏嗝襟w技術(shù)給我們帶來(lái)的便利的同時(shí)，也要注意到全程多媒體的授課方式也存在著一些不足之處：
(1)過(guò)度使用多媒體會(huì)模糊教師在課堂中的主體地位，我們不能讓我們的課堂變成一個(gè)"影院"，多媒體課件變?yōu)槠聊�，教師變身為電影放映員，而學(xué)生則變成了看電影的觀眾。
觀眾看完一場(chǎng)電影后能夠記住全部情節(jié)的有多少，能夠?qū)η楣?jié)內(nèi)容反思的又有多少。
同樣地，如果只是教師點(diǎn)鼠標(biāo)，學(xué)生看幻燈片，這樣一堂全程多媒體的課堂下來(lái)，學(xué)生中能夠記住所講知識(shí)的能有幾人，對(duì)所講知識(shí)進(jìn)行思考、分析的又能有幾人，答案不言而喻。
(2)全程多媒體講解會(huì)加重學(xué)生的負(fù)擔(dān)。
教師在課前做好了多媒體課件，一堂課45分鐘，多媒體課件呈現(xiàn)的內(nèi)容要比傳統(tǒng)板書(shū)講到的內(nèi)容多得多，這就要求學(xué)生長(zhǎng)時(shí)間保持精力集中，這實(shí)際上對(duì)學(xué)生的要求是比較高的。
同時(shí)，由于多媒體授課內(nèi)容多，信息量大，很多學(xué)生可能連筆記都不能記完整，更談不上消化、思考了。
因此，我們?cè)谑谡n時(shí)應(yīng)將多媒體教學(xué)與傳統(tǒng)板書(shū)教學(xué)相結(jié)合，發(fā)揮各自的優(yōu)勢(shì)，提高教學(xué)效果。
一些抽象的概念、圖解法等內(nèi)容我們可以采取多媒體的方式講解，一些理論的推導(dǎo)等我們可以采用板書(shū)的方式詳細(xì)講解，有時(shí)我們還可以采用板書(shū)加多媒體的形式，比如我們講解單純形方法時(shí)，有些題目迭代次數(shù)較多，全程板書(shū)會(huì)浪費(fèi)大量的課堂時(shí)間，我們可以在第一步迭代時(shí)用板書(shū)的形式詳細(xì)講解每一個(gè)步驟及每一個(gè)數(shù)據(jù)的求解方法，力求學(xué)生理解掌握迭代的過(guò)程，之后的迭代原理和方法就同第一步迭代是相同的，只是數(shù)據(jù)不同而已，這時(shí)我們就可以采用多媒體的形式講解，避免了重復(fù)工作，節(jié)省了課堂時(shí)間，提高了課堂效率。
3.充分利用網(wǎng)絡(luò)資源，加強(qiáng)師生之間的交流
現(xiàn)在很多學(xué)校都建立了網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，我們可以將我們的授課計(jì)劃、教案、多媒體課件等教學(xué)資料上傳至網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，學(xué)生可以隨時(shí)隨地的查閱課程進(jìn)度情況、各章節(jié)的重點(diǎn)難點(diǎn)提示，通過(guò)多媒體課件還可以補(bǔ)充課堂上筆記沒(méi)有記全或沒(méi)有記清的部分，教師也可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)給學(xué)生布置課后作業(yè)、解答學(xué)生的提問(wèn)等。
另外，我們還可以每一個(gè)教學(xué)班建立一個(gè)QQ群，教師可以通過(guò)QQ群與學(xué)生進(jìn)行在線(xiàn)交流，及時(shí)了解學(xué)生對(duì)課程的掌握情況以及學(xué)生的需求，也可以在能夠講解清楚的情況下對(duì)學(xué)生的提問(wèn)進(jìn)行解答。
參考文獻(xiàn)：
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