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數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

線(xiàn)性規(guī)劃的教學(xué)模式

時(shí)間:2022-10-08 21:30:21 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文 我要投稿
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線(xiàn)性規(guī)劃的教學(xué)模式

  線(xiàn)性規(guī)劃的教學(xué)模式【1】

線(xiàn)性規(guī)劃的教學(xué)模式

  摘要:線(xiàn)性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的核心內(nèi)容,求解線(xiàn)性規(guī)劃的單純形法在理論上已趨于成熟,應(yīng)用也越來(lái)越廣泛。

  為了使學(xué)生更容易、更深刻地理解這種算法及其理論基礎(chǔ),本文給出了一種循序漸進(jìn)的教學(xué)模式。

  這種模式也適用于運(yùn)籌學(xué)其他內(nèi)容的教學(xué)。

  關(guān)鍵詞:?jiǎn)渭冃畏?循序漸進(jìn);教學(xué)模式

  運(yùn)籌學(xué)是二戰(zhàn)期間發(fā)展起來(lái)的一門(mén)應(yīng)用學(xué)科,它廣泛應(yīng)用現(xiàn)有的科學(xué)技術(shù)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法,解決實(shí)際中提出的一些問(wèn)題,為決策者選擇最優(yōu)策略提供定量依據(jù),其內(nèi)容包括:規(guī)劃論(線(xiàn)性規(guī)劃、非線(xiàn)性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃等)、圖論與網(wǎng)絡(luò)分析、對(duì)策論、排隊(duì)論、存儲(chǔ)論、決策論、排序與統(tǒng)籌方法等[1]。

  運(yùn)籌學(xué)的實(shí)際應(yīng)用涉及生產(chǎn)計(jì)劃、運(yùn)輸問(wèn)題、人事管理、庫(kù)存管理、市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)、財(cái)務(wù)和會(huì)計(jì)等方面。

  另外,還應(yīng)用于設(shè)備維修、更新和可靠性分析,項(xiàng)目的選擇與評(píng)價(jià)、工程優(yōu)化設(shè)計(jì)、環(huán)境保護(hù)等問(wèn)題中。

  據(jù)統(tǒng)計(jì),50%數(shù)學(xué)建模問(wèn)題與運(yùn)籌學(xué)內(nèi)容相關(guān),可以用運(yùn)籌學(xué)的方法解決。

  另外,為各大高校數(shù)次爭(zhēng)得榮譽(yù)的建模隊(duì)伍,長(zhǎng)期以來(lái)一直接受運(yùn)籌學(xué)相關(guān)知識(shí)的培訓(xùn)。

  運(yùn)籌學(xué)中最主要的分支是線(xiàn)性規(guī)劃。

  線(xiàn)性規(guī)劃模型是前蘇聯(lián)著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家康托羅維奇于1939年提出的,這一重大發(fā)現(xiàn)使他獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。

  1947年G.B.Dantzig提出求解線(xiàn)性規(guī)劃的單純形法。

  針對(duì)退化問(wèn)題,1952年A.Charner和W.W.Cooper[2]給出了攝動(dòng)法,1954年G.B.Dantzig,A.Orden和P.Wolfe[3]提出了字典序方法,1976年G.G.Bland[4]提出了Bland法則,這些方法都能避免循環(huán)發(fā)生。

  線(xiàn)性規(guī)劃理論上已趨于成熟,應(yīng)用也越來(lái)越廣泛。

  事實(shí)上,運(yùn)籌學(xué)中許多問(wèn)題都可以或需要用線(xiàn)性規(guī)劃模型來(lái)描述或近似地描述,如運(yùn)輸問(wèn)題――求解運(yùn)輸問(wèn)題的表上作業(yè)法本質(zhì)上就是單純形法,并且這種方法充分展示了單純形法的魅力。

  求最短路、最小費(fèi)用最大流的問(wèn)題都可以用線(xiàn)性規(guī)劃模型來(lái)解決。

  求解指派問(wèn)題的匈牙利法本質(zhì)上也是單純形法[5]。

  矩陣對(duì)策問(wèn)題最后轉(zhuǎn)化成求解線(xiàn)性規(guī)劃。

  學(xué)習(xí)運(yùn)籌學(xué)的先修課程主要有線(xiàn)性代數(shù)、微積分、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。

  事實(shí)上,運(yùn)籌學(xué)不僅應(yīng)用了這些學(xué)科,也從理論上進(jìn)一步發(fā)展了這些學(xué)科。

  單純形法是建立在一系列理論基礎(chǔ)之上的。

  首先,如果線(xiàn)性規(guī)劃的可行域非空,則它是一個(gè)凸集,這個(gè)結(jié)論很容易證明。

  線(xiàn)性規(guī)劃的可行域的頂點(diǎn)與基可行解之間是一一對(duì)應(yīng)的,所以其頂點(diǎn)個(gè)數(shù)有限,這個(gè)結(jié)論與單純形法的關(guān)系不大,其證明可以省略。

  其次,線(xiàn)性規(guī)劃若有可行解,則一定有基可行解,這個(gè)結(jié)論是很重要的,為了更好地理解它的證明,我們先看下面的例子。

  進(jìn)一步講,若線(xiàn)性規(guī)劃有最優(yōu)解,其最優(yōu)解一定可以在其可行域的頂點(diǎn)上找到,也就是在其基可行解中找到,這樣就把一個(gè)從無(wú)限個(gè)可行解中找最優(yōu)轉(zhuǎn)化成在有限個(gè)可行解中找最優(yōu)。

  這是單純形法的理論基礎(chǔ)。

  為了更好地理解這一重要結(jié)論的證明,我們看下一個(gè)例子。

  X2的正分量的個(gè)數(shù)是2。

  由于P2,P4線(xiàn)性無(wú)關(guān),所以X2是基可行解。

  這樣我們就找到了一個(gè)最優(yōu)解也是基可行解。

  一般地,若X2的正分量對(duì)應(yīng)的系數(shù)列與線(xiàn)性相關(guān),繼續(xù)上述過(guò)程,直到找到基可行解為止。

  從基可行解中找最優(yōu)解所用的方法是單純形迭代法。

  那么,如何判斷一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃是否有最優(yōu)解?如何判斷一個(gè)基可行解是否是最優(yōu)解?在一個(gè)基可行解不是最優(yōu)的情況下如何迭代到下一個(gè)與其相鄰的更好的基可行解?為回答這些問(wèn)題,我們舉例說(shuō)明。

  先講特例再引入最優(yōu)性判別定理、基可行解的改進(jìn)定理以及單純形法的迭代步驟,學(xué)生就容易理解。

  即使針對(duì)有些專(zhuān)業(yè)的學(xué)生講解這些定理的證明,也容易接受。

  總之,現(xiàn)代社會(huì)信息量大,大學(xué)生需要學(xué)習(xí)的課程很多,用于預(yù)習(xí)或復(fù)習(xí)的時(shí)間就很少,這樣上課時(shí)間就尤為珍貴,教師應(yīng)該如何講,才能使學(xué)生當(dāng)堂聽(tīng)明白所授內(nèi)容,這是一個(gè)必須思考的問(wèn)題。

  其實(shí),運(yùn)籌學(xué)這門(mén)學(xué)科更側(cè)重的是應(yīng)用,數(shù)學(xué)理論并不難,之所以有人覺(jué)得難學(xué),是因?yàn)闆](méi)有把握一種好的學(xué)習(xí)方法。

  本文針對(duì)單純形法給出了一種循序漸進(jìn)的教學(xué)模式,實(shí)踐證明這種模式能使學(xué)生更容易的理解課堂內(nèi)容,有利于激發(fā)學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生在輕松掌握數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上,能更好地探討運(yùn)籌學(xué)的經(jīng)典案例的建模和求解,加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力和創(chuàng)新能力。

  參考文獻(xiàn):

  [1]《運(yùn)籌學(xué)》教材編寫(xiě)組.運(yùn)籌學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004.

  [2]Charnes,A.And Cooper W.W.,The stepping stone method of explaining linear programming calculations in thansportation problems,Management Science,1954,(1):49-69.

  [3]Dantzig,G.B.,Orden.A.and Wolfe.P.,Note on linear programming,Pacific J.Math.1955,(5):183-195.

  [4]Bland,G.G.,New finite pivoting rules of Simplex method,Math.Of Operations Research,1977,(2):103-107.

  [5]Hamdy,A.Taha,Operations Research-An Introduction[M].北京:人民郵電出版社,2007.

  線(xiàn)性規(guī)劃課程教學(xué)【2】

  摘要:目前,各高校經(jīng)管類(lèi)專(zhuān)業(yè)大都開(kāi)設(shè)了線(xiàn)性規(guī)劃或運(yùn)籌學(xué)等相關(guān)課程。

  本文結(jié)合線(xiàn)性規(guī)劃課程的教學(xué)實(shí)踐,闡述了線(xiàn)性規(guī)劃課程教學(xué)改革中的幾點(diǎn)體會(huì)。

  關(guān)鍵詞:線(xiàn)性規(guī)劃;激發(fā)動(dòng)力;多媒體;網(wǎng)絡(luò)教學(xué)

  線(xiàn)性規(guī)劃是經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課,是線(xiàn)性代數(shù)后續(xù)基礎(chǔ)課之一,是運(yùn)籌學(xué)中研究較早且相對(duì)比較成熟的一個(gè)重要分支。

  它是由于社會(huì)發(fā)展的需要而產(chǎn)生和發(fā)展的。

  上世紀(jì)30年代末40年代初,康托洛維奇等在生產(chǎn)組織和運(yùn)輸問(wèn)題等方面開(kāi)始研究應(yīng)用線(xiàn)性規(guī)劃這一數(shù)學(xué)方法[1];1947年美國(guó)數(shù)學(xué)家Dantzing提出的單純形方法從理論上為線(xiàn)性規(guī)劃奠定了基礎(chǔ)。

  它廣泛應(yīng)用現(xiàn)有的科學(xué)技術(shù)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法,解決實(shí)際中提出的專(zhuān)門(mén)問(wèn)題,為決策者選擇最優(yōu)決策提供定量依據(jù)。

  現(xiàn)如今,線(xiàn)性規(guī)劃已廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、國(guó)防、交通運(yùn)輸、能源、水利、經(jīng)濟(jì)、管理決策等眾多領(lǐng)域,它可以解決各行業(yè)中的最優(yōu)計(jì)劃、最優(yōu)分配、最優(yōu)管理、最優(yōu)決策等最優(yōu)問(wèn)題。

  通過(guò)本課程的學(xué)習(xí),使學(xué)生掌握線(xiàn)性規(guī)劃的主要模型、基本理論、主要算法,并能將這些理論和方法應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和分析、解決問(wèn)題的能力,從而為學(xué)生今后進(jìn)一步深造以及從事經(jīng)濟(jì)管理方向的學(xué)習(xí)和研究工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

  下面就筆者的一些教學(xué)實(shí)踐,淺談一下線(xiàn)性規(guī)劃這門(mén)課程課堂教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì)。

  1.合理安排教學(xué)內(nèi)容,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力

  首先,線(xiàn)性規(guī)劃是線(xiàn)性代數(shù)的后續(xù)課程之一,課程中要用到很多線(xiàn)性代數(shù)的知識(shí),比如,矩陣、矩陣的秩、矩陣的運(yùn)算、矩陣的初等變換、向量組的相關(guān)性、無(wú)關(guān)性、線(xiàn)性方程組的求解等等。

  因此,我們?cè)谥v解線(xiàn)性規(guī)劃課程的內(nèi)容之前,首先要幫助學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固線(xiàn)性代數(shù)中學(xué)過(guò)的內(nèi)容。

  雖然這樣會(huì)加重本課程的教學(xué)任務(wù),但是只有代數(shù)中的這些內(nèi)容理解透徹了,線(xiàn)性規(guī)劃課程中的單純形方法等知識(shí)才能真正地理解其中的原理,才能做到"知其然,更知其所以然",而不是死記硬背、"依葫蘆畫(huà)瓢"。

  其次,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力是學(xué)生學(xué)號(hào)一門(mén)課程的前提之一。

  提到數(shù)學(xué)課程,大多數(shù)的學(xué)生的第一反映是理論性強(qiáng)、很抽象、難掌握。

  我們課程的第一部分是線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,課本上出于知識(shí)的系統(tǒng)性和嚴(yán)謹(jǐn)性的考慮,先給出的往往是變量很多、表達(dá)復(fù)雜的抽象的模型,這些太抽象太復(fù)雜的內(nèi)容會(huì)使學(xué)生認(rèn)為這門(mén)課程很高深、難聽(tīng)懂而產(chǎn)生挫敗感,進(jìn)而使學(xué)生在這門(mén)課程中的學(xué)習(xí)動(dòng)力大打折扣。

  因此,我們授課時(shí)不妨可以先從一個(gè)貼近我們生活的實(shí)例出發(fā),建立一個(gè)簡(jiǎn)單且容易理解的線(xiàn)性規(guī)劃模型。

  如下面這個(gè)問(wèn)題[2]:某工廠在計(jì)劃期內(nèi)安排生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。

  已知生產(chǎn)兩種產(chǎn)品所需的設(shè)備臺(tái)時(shí)及A,B兩種原材料的消耗、設(shè)備及兩種原材料的現(xiàn)有量、單位產(chǎn)品的利潤(rùn)如下表:?jiǎn)枺簯?yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃,才使獲利最多?

  這是生產(chǎn)組織與計(jì)劃問(wèn)題中的一個(gè)很典型、實(shí)際生活中也很常見(jiàn)的問(wèn)題,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的提示,學(xué)生們完全可以自己建立出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

  解:設(shè)生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為x1,x2單位。

  maxS=2x1+3x2

  x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1,x2≥0

  再根據(jù)高中時(shí)期學(xué)過(guò)的圖解法,我們還可以求出最優(yōu)的生產(chǎn)方案:生產(chǎn)甲4單位,生產(chǎn)乙2單位時(shí),可獲得最大利潤(rùn)S=14元。

  于是,我們可以告訴學(xué)生,我們這就已經(jīng)解決了一個(gè)比較簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題了。

  這樣一來(lái),學(xué)生在獲得成就感的同時(shí),也發(fā)現(xiàn)了這門(mén)課程并非像想像中的那樣深不可測(cè),是完全可以掌握好的,也就激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動(dòng)力。

  2.傳統(tǒng)的板書(shū)教學(xué)應(yīng)與多媒體教學(xué)相結(jié)合

  傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂采用的是黑板加板書(shū)的授課方式。

  但是隨著信息化技術(shù)的不斷發(fā)展,多媒體技術(shù)作為一種新的教育形式和現(xiàn)代化的教學(xué)手段,被廣泛應(yīng)用到我們的日常教學(xué)工作中。

  現(xiàn)在越來(lái)越多的數(shù)學(xué)課程也都采用多媒體的授課方式了。

  就線(xiàn)性規(guī)劃這門(mén)課程而言,采用多媒體技術(shù)進(jìn)行授課有以下優(yōu)點(diǎn):

  (1)采用多媒體教學(xué)能夠省掉很多重復(fù)勞動(dòng)

  比如,我們講解圖解法時(shí),最優(yōu)解存在有唯一的最優(yōu)解和存在無(wú)窮多最優(yōu)解的情況,我們可以以下面這兩個(gè)題目為例來(lái)講解:

 、賛axS=2x1+3x2 ②maxS=2x1+4x2

  x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1,x2≥0 x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1,x2≥0

  問(wèn)題①存在唯一的最優(yōu)解,問(wèn)題②存在無(wú)窮多最優(yōu)解,但是這兩個(gè)問(wèn)題的約束條件相同,因此,兩者的可行域是完全相同的。

  板書(shū)教學(xué)時(shí),如果我們?cè)谕粋(gè)圖形中求解會(huì)是圖形看起來(lái)雜亂、不清晰,如果畫(huà)兩個(gè)圖形求解,既占用了黑板的版面,也浪費(fèi)了課堂時(shí)間。

  但是如果我們采用多媒體形式的話(huà),首先,軟件繪制的圖形要比我們教師手繪的圖形精確的多,什么情況下取到最優(yōu)解,學(xué)生可以看得一目了然;再者,課件上的圖形比黑板上的圖形要干凈清晰很多,因此,這兩個(gè)題目在一個(gè)圖形中求解也不會(huì)顯得雜亂,同時(shí)也更方便學(xué)生對(duì)這兩種最優(yōu)解的情況進(jìn)行比較。

  (2)多媒體教學(xué)能夠豐富課堂內(nèi)容,提高教學(xué)效率

  比如,我們每門(mén)課程的第一次課,教師大都會(huì)介紹該課程的發(fā)展歷史、研究現(xiàn)狀及相關(guān)課程的背景知識(shí)來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

  在講解線(xiàn)性規(guī)劃課程的內(nèi)容前,我們可以介紹一下運(yùn)籌學(xué)的主要分支及研究?jī)?nèi)容,尤其是與實(shí)際生活息息相關(guān)或日常生活中常見(jiàn)的一些問(wèn)題。

  這些內(nèi)容如果我們?nèi)堪鍟?shū),學(xué)生可以了解的比較清楚,但是信息量太大,會(huì)占用太多的課堂時(shí)間;如果只是口述,時(shí)間占用少了,但是學(xué)生會(huì)聽(tīng)的云里霧里。

  多媒體的授課方式就可以很好地解決這兩者的矛盾,如果我們將這些內(nèi)容制作成精美的多媒體課件展現(xiàn)給學(xué)生,學(xué)生的印象就非常直觀,我們講解后,學(xué)生就會(huì)了解到線(xiàn)性規(guī)劃乃至整個(gè)運(yùn)籌學(xué)都是解決實(shí)際問(wèn)題的學(xué)科,是日常生活很多決策問(wèn)題需要依賴(lài)的學(xué)科,可是他們?nèi)蘸蠊ぷ髦锌赡軙?huì)用到的學(xué)科,這樣一來(lái),就激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力。

  因此,多媒體教學(xué)既豐富了課堂內(nèi)容,又沒(méi)有過(guò)多的占用課堂時(shí)間,提高了教學(xué)效率。

  我們?cè)谙硎芏嗝襟w技術(shù)給我們帶來(lái)的便利的同時(shí),也要注意到全程多媒體的授課方式也存在著一些不足之處:

  (1)過(guò)度使用多媒體會(huì)模糊教師在課堂中的主體地位,我們不能讓我們的課堂變成一個(gè)"影院",多媒體課件變?yōu)槠聊,教師變身為電影放映員,而學(xué)生則變成了看電影的觀眾。

  觀眾看完一場(chǎng)電影后能夠記住全部情節(jié)的有多少,能夠?qū)η楣?jié)內(nèi)容反思的又有多少。

  同樣地,如果只是教師點(diǎn)鼠標(biāo),學(xué)生看幻燈片,這樣一堂全程多媒體的課堂下來(lái),學(xué)生中能夠記住所講知識(shí)的能有幾人,對(duì)所講知識(shí)進(jìn)行思考、分析的又能有幾人,答案不言而喻。

  (2)全程多媒體講解會(huì)加重學(xué)生的負(fù)擔(dān)。

  教師在課前做好了多媒體課件,一堂課45分鐘,多媒體課件呈現(xiàn)的內(nèi)容要比傳統(tǒng)板書(shū)講到的內(nèi)容多得多,這就要求學(xué)生長(zhǎng)時(shí)間保持精力集中,這實(shí)際上對(duì)學(xué)生的要求是比較高的。

  同時(shí),由于多媒體授課內(nèi)容多,信息量大,很多學(xué)生可能連筆記都不能記完整,更談不上消化、思考了。

  因此,我們?cè)谑谡n時(shí)應(yīng)將多媒體教學(xué)與傳統(tǒng)板書(shū)教學(xué)相結(jié)合,發(fā)揮各自的優(yōu)勢(shì),提高教學(xué)效果。

  一些抽象的概念、圖解法等內(nèi)容我們可以采取多媒體的方式講解,一些理論的推導(dǎo)等我們可以采用板書(shū)的方式詳細(xì)講解,有時(shí)我們還可以采用板書(shū)加多媒體的形式,比如我們講解單純形方法時(shí),有些題目迭代次數(shù)較多,全程板書(shū)會(huì)浪費(fèi)大量的課堂時(shí)間,我們可以在第一步迭代時(shí)用板書(shū)的形式詳細(xì)講解每一個(gè)步驟及每一個(gè)數(shù)據(jù)的求解方法,力求學(xué)生理解掌握迭代的過(guò)程,之后的迭代原理和方法就同第一步迭代是相同的,只是數(shù)據(jù)不同而已,這時(shí)我們就可以采用多媒體的形式講解,避免了重復(fù)工作,節(jié)省了課堂時(shí)間,提高了課堂效率。

  3.充分利用網(wǎng)絡(luò)資源,加強(qiáng)師生之間的交流

  現(xiàn)在很多學(xué)校都建立了網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái),我們可以將我們的授課計(jì)劃、教案、多媒體課件等教學(xué)資料上傳至網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái),學(xué)生可以隨時(shí)隨地的查閱課程進(jìn)度情況、各章節(jié)的重點(diǎn)難點(diǎn)提示,通過(guò)多媒體課件還可以補(bǔ)充課堂上筆記沒(méi)有記全或沒(méi)有記清的部分,教師也可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)給學(xué)生布置課后作業(yè)、解答學(xué)生的提問(wèn)等。

  另外,我們還可以每一個(gè)教學(xué)班建立一個(gè)QQ群,教師可以通過(guò)QQ群與學(xué)生進(jìn)行在線(xiàn)交流,及時(shí)了解學(xué)生對(duì)課程的掌握情況以及學(xué)生的需求,也可以在能夠講解清楚的情況下對(duì)學(xué)生的提問(wèn)進(jìn)行解答。

  參考文獻(xiàn):

  [1] 胡富昌. 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(四)線(xiàn)性規(guī)劃(修訂本)[M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,1991.5

  [2] 《運(yùn)籌學(xué)》教材編寫(xiě)組. 運(yùn)籌學(xué)(修訂版)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2001.2

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