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求角的度數(shù)四法方法
在學習與三角形有關的角時，同學們會遇到許多求角的大小的問題，其中有些題目看似簡單，卻很難入手，有些題目因思考不全面而造成漏解。怎么辦?要知道，數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂，是解決數(shù)學問題的金鑰匙。本文就談談數(shù)學思想方法在求解角的度數(shù)問題中的運用，希望對同學們解題有所幫助。
1、整體法
例1 如圖1，若點P為△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分線的交點，求∠BPC ∠A的度數(shù)。圖1
分析：解本題的關鍵在于從整體著眼，利用∠PBC+∠PCB建立∠A和∠BPC的聯(lián)系。
解：∵∠PBC= ∠ABC ∠PCB= ∠ACB∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)
∴∠BPC- ∠A2、方程法
例2 如圖2，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，BD、CE相交于點H，求∠BHC的度數(shù)。
圖2
分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合已知條件可先求出∠A、∠ABC、∠ACB的度數(shù)。在△BHC中，還需求出∠DBC和∠ECB的度數(shù)。
解：設∠A=3x度，則∠ABC=4x度，∠ACB=5x度。
所以 。解得x=15，即∠A=45°，∠ABC=60°，∠ACB=75°
在△DBC中，由∠BDC=90°，可知△DBC是直角三角形。
所以∠DBC=90°-75°=15°
在△ECB中，由∠CEB=90°，可知△ECB是直角三角形。
所以∠ECB=90°-60°=30°
在△BHC中，∠BHC=180°-15°-30°=135°
點評：由于∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，設∠A=3x度，則∠ABC=4x度，∠ACB=5x度。再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，就可以得到一個關于x的方程，即 。從而求得∠A、∠ABC、∠ACB的度數(shù)。這種方法會經(jīng)常用到，要注意掌握。3、分類法
例3 已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和高CE所在的直線相交于點H，求∠BHC的度數(shù)。
分析：三角形的形狀不同，高線的交點的位置也不同。當三角形為銳角三角形時，高的交點在其內(nèi)部;當三角形為鈍角三角形時，高的交點在其外部。故應分兩種情況討論。
解：(1)設△ABC為銳角三角形(如圖3)。
圖3
∴BD、CE是△ABC的高，∠A=45°，
∴∠ABD=90°-45°=45°
∴∠BHC=∠ABH+∠BEH
=45°+90°
=135°
(2)設△ABC為鈍角三角形(如圖4)
圖4
∴H是△ABC的兩條高所在直線的交點，∠A=45°，
∴∠DCH=∠ECA
=90°-45°
=45°
∴∠BHC=90°-∠DCH
=90°-45°
=45°
綜上可知，∠BHC的大小是135°或45°。
4、構(gòu)造法
例4 如圖5，BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，BE與CF交于點G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的度數(shù)。
圖5
分析：若把∠BDC、∠BGC、∠A看成是三角形的內(nèi)角，則必須構(gòu)造三角形。結(jié)合圖形不難發(fā)現(xiàn)，連接BC即可。
解：連接BC。
∵∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°
∠BDC=140°
∴∠DBC+∠DCB=40°
又∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°
∠BGC=110°
∴∠GBD+∠GCD=180°-110°-40°=30°
∵∠GBD ∠ABD ∠GCD= ∠ACD∴∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=60°
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°―60°―40°
=80°。
點評：此題還可延長CD交BE于一點，請同學們嘗試一下這種解法。在進行與角有關的計算時，為了能使用三角形內(nèi)角和定理及內(nèi)角與外角的關系，常常需要構(gòu)造三角形或三角形的外角，這時需要添加某些線段或延長某些線段。
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