證明三角形全等的一般思路

　　一、當(dāng)已知兩個(gè)三角形中有兩邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，找?jiàn)A角相等(SAS)或第三邊相等(SSS)。

　　例1. 如圖1，已知：AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，且B、C、D在同一條直線(xiàn)上。

　　求證：AD=BE

　　分析：要證AD=BE

　　注意到AD是△ABD或△ACD的邊，BE是△DEB或△BCE的邊，只需證明△ABD≌△DEB或△ACD≌△BCE，顯然△ABD和△DEB不全等，而在△ACD和△BCE中，AC=BC，CD=CE，故只需證它們的夾角∠ACD=∠BCE即可。

　　而∠ACD=∠ACE+60°，∠BCE=∠ACE+60°

　　故△ACD≌△BCE(SAS)

　　二、當(dāng)已知兩個(gè)三角形中有兩角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，找?jiàn)A邊對(duì)應(yīng)相等(ASA)或找任一等角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等(AAS)

　　例2. 如圖2，已知點(diǎn)A、B、C、D在同一直線(xiàn)上，AC=BD，AM∥CN，BM∥DN。

　　求證：AM=CN

　　分析：要證AM=CN

　　只要證△ABM≌△CDN，在這兩個(gè)三角形中，由于AM∥CN，BM∥DN，可得

　　∠A=∠NCD，∠ABM=∠D

　　可見(jiàn)有兩角對(duì)應(yīng)相等，故只需證其夾邊相等即可。

又由于AC=BD，而

　　故AB=CD

　　故△ABM≌△CDN(ASA)

　　三、當(dāng)已知兩個(gè)三角形中，有一邊和一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，可找另一角對(duì)應(yīng)相等(AAS，ASA)或找?jiàn)A等角的另一邊對(duì)應(yīng)相等(SAS)

　　例3. 如圖3，已知：∠CAB=∠DBA，AC=BD，AC交BD于點(diǎn)O。

　　求證：△CAB≌DBA

　　分析：要證△CAB≌△DBA

　　在這兩個(gè)三角形中，有一角對(duì)應(yīng)相等(∠CAB=∠DBA)

　　一邊對(duì)應(yīng)相等(AC=BD)

　　故可找?jiàn)A等角的邊(AB、BA)對(duì)應(yīng)相等即可(利用SAS)。

　　四、已知兩直角三角形中，當(dāng)有一邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，可找另一邊對(duì)應(yīng)相等或一銳角對(duì)應(yīng)相等

　　例4. 如圖4，已知AB=AC，AD=AG，AE⊥BG交BG的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，AF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F。

　　求證：AE=AF

　　分析：要證AE=AF

　　只需證Rt△AEB≌Rt△AFC，在這兩個(gè)直角三角形中，已有AB=AC

　　故只需證∠B=∠C即可

　　而要證∠B=∠C

　　需證△ABG≌△ACD，這顯然易證(SAS)。

　　五、當(dāng)已知圖形中無(wú)現(xiàn)存的全等三角形時(shí)，可通過(guò)添作輔助線(xiàn)構(gòu)成證題所需的三角形

　　例5. 如圖5，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是中線(xiàn)，AE⊥BD于F，交BC于E。

　　求證：∠ADB=∠CDE

　　分析：由于結(jié)論中的兩個(gè)角分屬的兩個(gè)三角形不全等，故需作輔助線(xiàn)。注意到AE⊥BD，∠BAC=90°，有∠1=∠2，又AB=AC。故可以∠2為一內(nèi)角，以AC為一直角邊構(gòu)造一個(gè)與△ABD全等的直角三角形，為此，過(guò)C作CG⊥AC交AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，則△ABD≌△CAG，故∠ADB=∠CGA。

　　對(duì)照結(jié)論需證∠CGA=∠CDE

　　又要證△CGE≌△CDE，這可由

　　CG=AD=CD，∠ECG=∠EBA=∠ECD，CE=CE而獲證。

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