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高一數(shù)學(xué)求值域方法
高一數(shù)學(xué)求值域方法，高一數(shù)學(xué)函數(shù)求值域的方法其實很簡單，下面就為大家整理了高一求值域方法及例題，希望可以幫助大家！
高一數(shù)學(xué)函數(shù)值域解題技巧1
一、觀察法
通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。
例1求函數(shù)y=3+√（2—3x） 的值域。
點撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出√（2—3x） 的值域。
解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√（2—3x）≥0，故3+√（2—3x）≥3。
∴函數(shù)的知域為 、
點評：算術(shù)平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數(shù)的非負性，（2）值的非負性。
本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。
練習(xí)：求函數(shù)y=[x]（0≤x≤5）的值域。（答案：值域為：{0，1，2，3，4，5}）
二、反函數(shù)法
當函數(shù)的反函數(shù)存在時，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。
例2求函數(shù)y=（x+1）/（x+2）的值域。
點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。
解：顯然函數(shù)y=（x+1）/（x+2）的反函數(shù)為：x=（1—2y）/（y—1），其定義域為y≠1的實數(shù)，故函數(shù)y的值域為{y∣y≠1，y∈R}。
點評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。
練習(xí)：求函數(shù)y=（10x+10—x）/（10x—10—x）的值域。（答案：函數(shù)的值域為{y∣y<—1或y>1}）
三、配方法x
當所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時，可以利用配方法求函數(shù)值域
例3：求函數(shù)y=√（—x2+x+2）的值域。
點撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。
解：由—x2+x+2≥0，可知函數(shù)的定義域為x∈[—1，2]。此時—x2+x+2=—（x—1/2）2+9/4∈[0，9/4]
∴0≤√—x2+x+2≤3/2，函數(shù)的值域是[0，3/2]
點評：求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用，而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。
練習(xí)：求函數(shù)y=2x—5+√15—4x的值域、（答案：值域為{y∣y≤3}）
四、判別式法
若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù)，可用判別式法求函數(shù)的值域。
例4求函數(shù)y=（2x2—2x+3）/（x2—x+1）的值域。
點撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。
解：將上式化為（y—2）x2—（y—2）x+（y—3）=0 （*）
當y≠2時，由Δ=（y—2）2—4（y—2）x+（y—3）≥0，解得：2
當y=2時，方程（）無解。∴函數(shù)的值域為2
點評：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F（x，y）=0，由于方程有實數(shù)解，故其判別式為非負數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=（ax2+bx+c）/（dx2+ex+f）及y=ax+b±√（cx2+dx+e）的函數(shù)。
練習(xí)：求函數(shù)y=1/（2x2—3x+1）的值域。（答案：值域為y≤—8或y>0）。
五、最值法
對于閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)y=f（x），可求出y=f（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)的極值，并與邊界值f（a）、f（b）作比較，求出函數(shù)的最值，可得到函數(shù)y的值域。
例5已知（2x2—x—3）/（3x2+x+1）≤0，且滿足x+y=1，求函數(shù)z=xy+3x的值域。
點撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。
解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2—x—3≤0同解，解之得—1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1—x代入z=xy+3x中，得z=—x2+4x（—1≤x≤3/2），
∴z=—（x—2）2+4且x∈[—1，3/2]，函數(shù)z在區(qū)間[—1，3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。
當x=—1時，z=—5；當x=3/2時，z=15/4。
∴函數(shù)z的值域為{z∣—5≤z≤15/4}。
點評：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。
練習(xí)：若√x為實數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x—5的值域為 （ ）
A、（—∞，+∞） B、[—7，+∞] C、[0，+∞） D、[—5，+∞）
（答案：D）。
六、圖象法
通過觀察函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。
例6求函數(shù)y=∣x+1∣+√（x—2）2 的值域。
點撥：根據(jù)絕對值的意義，去掉符號后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。
解：原函數(shù)化為 —2x+1 （x≤1）
y= 3 （—1
2x—1（x>2）
它的圖象如圖所示。
顯然函數(shù)值y≥3，所以，函數(shù)值域[3，+∞]。
點評：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點。利用函數(shù)的圖象
求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。
求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。
七、單調(diào)法
利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。
例1求函數(shù)y=4x—√1—3x（x≤1/3）的值域。
點撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即g（x）= —√1—3x，y=f（x）+g（x），其定義域為x≤1/3，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。
解：設(shè)f（x）=4x，g（x）= —√1—3x ，（x≤1/3），易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f（x）+g（x）= 4x—√1—3x
在定義域為x≤1/3上也為增函數(shù)，而且y≤f（1/3）+g（1/3）=4/3，因此，所求的函數(shù)值域為{y|y≤4/3｝。
點評：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值，進而可確定函數(shù)的值域。
練習(xí)：求函數(shù)y=3+√4—x 的值域。（答案：{y|y≥3｝）
八、換元法
以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進而求出值域。
例2求函數(shù)y=x—3+√2x+1 的值域。
點撥：通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域。
解：設(shè)t=√2x+1 （t≥0），則
x=1/2（t2—1）。
于是 y=1/2（t2—1）—3+t=1/2（t+1）2—4≥1/2—4=—7/2、
所以，原函數(shù)的值域為{y|y≥—7/2｝。
點評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。
練習(xí)：求函數(shù)y=√x—1 –x的值域。（答案：{y|y≤—3/4｝
九、構(gòu)造法
根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。
例3求函數(shù)y=√x2+4x+5+√x2—4x+8 的值域。
點撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識，確定出函數(shù)的值域。
解：原函數(shù)變形為f（x）=√（x+2）2+1+√（2—x）2+22
作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位
正方形。設(shè)HK=x，則ek=2—x，KF=2+x，AK=√（2—x）2+22 ，
KC=√（x+2）2+1 。
由三角形三邊關(guān)系知，AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點共
線時取等號。
∴原函數(shù)的知域為{y|y≥5｝。
點評：對于形如函數(shù)y=√x2+a ±√（c—x）2+b（a，b，c均為正數(shù)），均可通過構(gòu)造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。
練習(xí)：求函數(shù)y=√x2+9 +√（5—x）2+4的值域。（答案：{y|y≥5√2｝）
十、比例法
對于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標函數(shù)，進而求出原函數(shù)的值域。
例4已知x，y∈R，且3x—4y—5=0，求函數(shù)z=x2+y2的值域。
點撥：將條件方程3x—4y—5=0轉(zhuǎn)化為比例式，設(shè)置參數(shù)，代入原函數(shù)。
解：由3x—4y—5=0變形得，（x3）/4=（y—1）/3=k（k為參數(shù)）
∴x=3+4k，y=1+3k，
∴z=x2+y2=（3+4k）2+（14+3k）2=（5k+3）2+1。
當k=—3/5時，x=3/5，y=—4/5時，zmin=1。
函數(shù)的值域為{z|z≥1｝、
點評：本題是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過設(shè)參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識。
練習(xí)：已知x，y∈R，且滿足4x—y=0，求函數(shù)f（x，y）=2x2—y的值域。（答案：{f（x，y）|f（x，y）≥1｝）
十一、利用多項式的除法
例5求函數(shù)y=（3x+2）/（x+1）的值域。
點撥：將原分式函數(shù)，利用長除法轉(zhuǎn)化為一個整式與一個分式之和。
解：y=（3x+2）/（x+1）=3—1/（x+1）。
∵1/（x+1）≠0，故y≠3。
∴函數(shù)y的值域為y≠3的一切實數(shù)。
點評：對于形如y=（ax+b）/（cx+d）的形式的函數(shù)均可利用這種方法。
練習(xí)：求函數(shù)y=（x2—1）/（x—1）（x≠1）的值域。（答案：y≠2）
十二、不等式法
例6求函數(shù)Y=3x/（3x+1）的值域。
點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，根據(jù)自變量的取值范圍，構(gòu)造不等式。
解：易求得原函數(shù)的反函數(shù)為y=log3[x/（1—x）]，
由對數(shù)函數(shù)的定義知 x/（1—x）>0
1—x≠0
解得，0
∴函數(shù)的值域（0，1）。
點評：考查函數(shù)自變量的取值范圍構(gòu)造不等式（組）或構(gòu)造重要不等式，求出函數(shù)定義域，進而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應(yīng)用非常廣泛。是數(shù)學(xué)解題的方法之一。
以下供練習(xí)選用：求下列函數(shù)的值域
1、Y=√（15—4x）+2x—5；（{y|y≤3｝）
2、Y=2x/（2x—1）。 （y>1或y<0）
高一數(shù)學(xué)求值域方法2
1、確定函數(shù)定義域的主要依據(jù)：
（1）當f（x）是整式時，定義域為R；
�。�2）當f（x）是分式時，定義域是使分母不等于0的x取值的集合；
（3）當f（x）是偶次根式時，定義域是使被開方式取非負值的x取值的集合；
�。�4）當f（x）是零指數(shù)冪或負數(shù)指數(shù)冪時，定義域是使冪的底數(shù)非零或大于0的x取值范圍；
�。�5）當f（x）是對數(shù)式時，定義域是使真數(shù)大于0的x取值的集合；
�。�6）正切函數(shù)的定義域是{ }；余切函數(shù)的定義域是{x|x≠kπ，k∈Z}；
（7）當f（x）表示實際問題中的函數(shù)關(guān)系時還應(yīng)考慮在此實際問題中x取值的實際意義。
2、求函數(shù)值域常用的方法有配方、換元、不等式、判別式、圖像法等等。
題型示例 點津歸納
【例1】 求下列函數(shù)的定義域：
（1）y= ；
（2）y= ；
（3）y= ；
�。�4）y=log2004（tanx）。
【解前點津】 使整個解析式有意義的x取值集合即為所求。
【規(guī)范解答】 （1）由 。
�。�2）令1—2sinx≥0，則sinx≤ 利用單位圓可求得定義域為[2kπ— π，2kπ+ ]，k∈Z。
�。�3）由 知x是第一象限角或角x的終邊在x軸正向或y軸正向上，故其定義域為
[2kπ，2kπ+ ]，k∈Z。
�。�4）由tanx>0知x是一、三象限角，故為：（kπ+ ，kπ+π），k∈Z。
【解后歸納】 求函數(shù)定義域常常要解不等式（或不等式組），理解并掌握集合的“交”“并”運算是一項基本功。含三角式的不等式求解，要么利用單位圓，要么利用函數(shù)的圖像及周期性。
【例2】 當a取何實數(shù)時，函數(shù)y=lg（—x2+ax+2）的定義域為（—1，2）？
【解前點津】 可轉(zhuǎn)化為：確定a值，使關(guān)于x的不等式—x2+ax+2>0的解集為（—1，2）。
【規(guī)范解答】 —x2+ax+2>0 x2—ax—2<0，故由根與系數(shù)的關(guān)系知a=（—1）+2=1即為所求。
【解后歸納】 解一元二次不等式，常聯(lián)系一元二次方程的根或二次函數(shù)的圖像。
【例3】 已知函數(shù)f（2x）的定義域是[—1，2]，求f（log2x）的定義域。
【解前點津】 在同一法則f下，表達式2x與log2x的值應(yīng)屬于“同一范圍”。
【規(guī)范解答】 ∵—1≤x≤2，∴ ≤2x≤4故 ≤log2x≤4即
log2 ≤log2x≤log216 ≤x≤16。
【解后歸納】 已知F（g（x））的定義域為A，求F（h（x））的定義域，關(guān)鍵是求出既滿足g（x）∈B，又滿足h（x）∈B的x取值集合，在此例中，A=[—1，2]，B=[ ，4]。
高一數(shù)學(xué)求值域方法3
函數(shù)值域的求法：
�、倥浞椒ǎ�
轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型如：y=ax^2+bx+c 的形式；
②逆求法（反求法）：
通過反解，用 x=f`（y）來表示 ，再由x 的取值范圍，通過解不等式，得出y 的取值范圍；常用來解，型如：對數(shù)型的，y=ax^2+bx+e/cx^2+fx+g；
④換元法：
通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；
�、萑怯薪绶ǎ�
轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；
�、藁静坏仁椒ǎ�
轉(zhuǎn)化成型如：利用平均值不等式公式來求值域；
�、邌握{(diào)性法：
函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。
�、鄶�(shù)形結(jié)合：
根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。高一數(shù)學(xué)，主要是二次函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)其中二次函數(shù)考察最多，也最重要。冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)要熟記圖像。主要掌握它的基本性質(zhì)，要運用數(shù)形結(jié)合，分類討論的數(shù)學(xué)思想。這個需要在做題時注意總結(jié)，自己獨立思考。求值域是一個比較大的范圍，并非一兩句話可以講得很清楚，題目是活的，需要積累。
高一數(shù)學(xué)
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