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二次函數(shù)解題方法總結(jié)
二次函數(shù)是初中重要的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，本文就來分享一篇二次函數(shù)解題方法總結(jié)，希望對大家能有所幫助！
1.求證“兩線段相等”的問題：
2.“平行于y軸的動線段長度的最大值”的問題：
由于平行于y軸的線段上各個點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等(常設(shè)為t)，借助于兩個端點(diǎn)所在的函數(shù)圖象解析式，把兩個端點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別用含有字母t的代數(shù)式表示出來，再由兩個端點(diǎn)的高低情況，運(yùn)用平行于y軸的線段長度計算公式，把動線段的長度就表示成為一個自變量為t，且開口向下的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得動線段長度的最大值及端點(diǎn)坐標(biāo)。
3.求一個已知點(diǎn)關(guān)于一條已知直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)問題：
先用點(diǎn)斜式(或稱K點(diǎn)法)求出過已知點(diǎn)，且與已知直線垂直的直線解析式，再求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，最后用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可。
4.“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的距離最大”的問題：
(方法1)先求出定直線的斜率，由此可設(shè)出與定直線平行且與拋物線相切的直線的解析式(注意該直線與定直線的斜率相等，因?yàn)槠叫兄本�斜率(k)相等)，再由該直線與拋物線的解析式組成方程組，用代入法把字母y消掉，得到一個關(guān)于x的的一元二次方程，由題有△=-4ac=0(因?yàn)樵撝本�與拋物線相切，只有一個交點(diǎn)，所以-4ac=0)從而就可求出該切線的解析式，再把該切線解析式與拋物線的解析式組成方程組，求出x、y的值，即為切點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用點(diǎn)到直線的距離公式，計算該切點(diǎn)到定直線的距離，即為最大距離。
(方法2)該問題等價于相應(yīng)動三角形的面積最大問題，從而可先求出該三角形取得最大面積時，動點(diǎn)的坐標(biāo)，再用點(diǎn)到直線的距離公式，求出其最大距離。
(方法3)先把拋物線的方程對自變量求導(dǎo)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，當(dāng)該導(dǎo)數(shù)等于定直線的斜率時，求出的點(diǎn)的坐標(biāo)即為符合題意的點(diǎn)，其最大距離運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可以輕松求出。
5.常數(shù)問題：
(1)點(diǎn)到直線的距離中的常數(shù)問題：
“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的距離等于一個固定常數(shù)”的問題：
先借助于拋物線的解析式，把動點(diǎn)坐標(biāo)用一個字母表示出來，再利用點(diǎn)到直線的距離公式建立一個方程，解此方程，即可求出動點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而利用拋物線解析式，求出動點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而拋物線上的動點(diǎn)坐標(biāo)就求出來了。
(2)三角形面積中的常數(shù)問題：
“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之與定線段構(gòu)成的動三角形的面積等于一個定常數(shù)”的問題：
先求出定線段的長度，再表示出動點(diǎn)(其坐標(biāo)需用一個字母表示)到定直線的距離，再運(yùn)用三角形的面積公式建立方程，解此方程，即可求出動點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用拋物線的解析式，可求出動點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而拋物線上的動點(diǎn)坐標(biāo)就求出來了。
6.“在定直線(常為拋物線的對稱軸，或x軸或y軸或其它的定直線)上是否存在一點(diǎn)，使之到兩定點(diǎn)的距離之和最小”的問題：
先求出兩個定點(diǎn)中的任一個定點(diǎn)關(guān)于定直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再把該對稱點(diǎn)和另一個定點(diǎn)連結(jié)得到一條線段，該線段的長度〈應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式計算〉即為符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點(diǎn)就是符合距離之和最小的點(diǎn)，其坐標(biāo)很易求出(利用求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法)。
7.三角形周長的“最值(最大值或最小值)”問題：
“在定直線上是否存在一點(diǎn)，使之和兩個定點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長最小”的問題(簡稱“一邊固定兩邊動的問題)：
由于有兩個定點(diǎn)，所以該三角形有一定邊(其長度可利用兩點(diǎn)間距離公式計算)，只需另兩邊的和最小即可。
8.三角形面積的最大值問題：
①“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之和一條定線段構(gòu)成的三角形面積最大”的問題(簡稱“一邊固定兩邊動的問題”)：
(方法1)先利用兩點(diǎn)間的距離公式求出定線段的長度;然后再利用上面3的方法，求出拋物線上的動點(diǎn)到該定直線的最大距離。最后利用三角形的面積公式底·高1/2。即可求出該三角形面積的最大值，同時在求解過程中，切點(diǎn)即為符合題意要求的點(diǎn)。
(方法2)過動點(diǎn)向y軸作平行線找到與定線段(或所在直線)的交點(diǎn)，從而把動三角形分割成兩個基本模型的三角形，動點(diǎn)坐標(biāo)一母示后，
進(jìn)一步可得到，轉(zhuǎn)化為一個開口向下的二次函數(shù)問題來求出最大值。
②“三邊均動的動三角形面積最大”的問題(簡稱“三邊均動”的問題)：
先把動三角形分割成兩個基本模型的三角形(有一邊在x軸或y軸上的三角形，或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形，稱為基本模型的三角形)面積之差，設(shè)出動點(diǎn)在x軸或y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，而此類題型，題中一定含有一組平行線，從而可以得出分割后的一個三角形與圖中另一個三角形相似(常為圖中最大的那一個三角形)。利用相似三角形的性質(zhì)(對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比)可表示出分割后的一個三角形的高。從而可以表示出動三角形的面積的一個開口向下的二次函數(shù)關(guān)系式，相應(yīng)問題也就輕松解決了。
9.“一拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之和另外三個定點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積最大的問題”：
由于該四邊形有三個定點(diǎn)，從而可把動四邊形分割成一個動三角形與一個定三角形(連結(jié)兩個定點(diǎn)，即可得到一個定三角形)的面積之和，所以只需動三角形的面積最大，就會使動四邊形的面積最大，而動三角形面積最大值的求法及拋物線上動點(diǎn)坐標(biāo)求法與7相同。
10、“定四邊形面積的求解”問題：
有兩種常見解決的方案：
方案(一)：連接一條對角線，分成兩個三角形面積之和;
方案(二)：過不在x軸或y軸上的四邊形的一個頂點(diǎn)，向x軸(或y軸)作垂線，或者把該點(diǎn)與原點(diǎn)連結(jié)起來，分割成一個梯形(常為直角梯形)和一些三角形的面積之和(或差)，或幾個基本模型的三角形面積的和(差)
11.“兩個三角形相似”的問題：
12.“某函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另兩個定點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形”的問題：
首先弄清題中是否規(guī)定了哪個點(diǎn)為等腰三角形的頂點(diǎn)。(若某邊底，則只有一種情況;若某邊為腰，有兩種情況;若只說該三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，則有三種情況)。先借助于動點(diǎn)所在圖象的解析式，表示出動點(diǎn)的坐標(biāo)(一母示)，按分類的情況，分別利用相應(yīng)類別下兩腰相等，使用兩點(diǎn)間的距離公式，建立方程。解出此方程，即可求出動點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再借助動點(diǎn)所在圖象的函數(shù)關(guān)系式，可求出動點(diǎn)縱坐標(biāo)，注意去掉不合題意的點(diǎn)(就是不能構(gòu)成三角形這個題意)。
13、“某圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另外三個點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形”問題：
這類問題，在題中的四個點(diǎn)中，至少有兩個定點(diǎn)，用動點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”分別設(shè)出余下所有動點(diǎn)的坐標(biāo)(若有兩個動點(diǎn)，顯然每個動點(diǎn)應(yīng)各選用一個參數(shù)字母來“一母示”出動點(diǎn)坐標(biāo))，任選一個已知點(diǎn)作為對角線的起點(diǎn)，列出所有可能的對角線(顯然最多有3條)，此時與之對應(yīng)的另一條對角線也就確定了，然后運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出每一種情況兩條對角線的中點(diǎn)坐標(biāo)，由平行四邊形的判定定理可知，兩中點(diǎn)重合，其坐標(biāo)對應(yīng)相等，列出兩個方程，求解即可。
進(jìn)一步有：
�、偃羰欠翊嬖谶@樣的動點(diǎn)構(gòu)成矩形呢?先讓動點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，再驗(yàn)證兩條對角線相等否?若相等，則所求動點(diǎn)能構(gòu)成矩形，否則這樣的動點(diǎn)不存在。
�、谌羰欠翊嬖谶@樣的動點(diǎn)構(gòu)成棱形呢?先讓動點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，再驗(yàn)證任意一組鄰邊相等否?若相等，則所求動點(diǎn)能構(gòu)成棱形，否則這樣的動點(diǎn)不存在。
�、廴羰欠翊嬖谶@樣的動點(diǎn)構(gòu)成正方形呢?先讓動點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，再驗(yàn)證任意一組鄰邊是否相等?和兩條對角線是否相等?若都相等，則所求動點(diǎn)能構(gòu)成正方形，否則這樣的動點(diǎn)不存在。
14.“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使兩個圖形的面積之間存在和差倍分關(guān)系”的問題：(此為“單動問題”〈即定解析式和動圖形相結(jié)合的問題〉，后面的19實(shí)為本類型的特殊情形。)
先用動點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”的方法設(shè)出直接動點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示(如果圖形是動圖形就只能表示出其面積)或計算(如果圖形是定圖形就計算出它的具體面積)，然后由題意建立兩個圖形面積關(guān)系的一個方程，解之即可。(注意去掉不合題意的點(diǎn))，如果問題中求的是間接動點(diǎn)坐標(biāo)，那么在求出直接動點(diǎn)坐標(biāo)后，再往下繼續(xù)求解即可。
15.“某圖形〈直線或拋物線〉上是否存在一點(diǎn)，使之與另兩定點(diǎn)構(gòu)成直角三角形”的問題：
若夾直角的兩邊與y軸都不平行：先設(shè)出動點(diǎn)坐標(biāo)(一母示)，視題目分類的情況，分別用斜率公式算出夾直角的兩邊的斜率，再運(yùn)用兩直線(沒有與y軸平行的直線)垂直的斜率結(jié)論(兩直線的斜率相乘等于-1)，得到一個方程，解之即可。
若夾直角的兩邊中有一邊與y軸平行，此時不能使用斜率公式。補(bǔ)救措施是：過余下的那一個點(diǎn)(沒在平行于y軸的那條直線上的點(diǎn))直接向平行于y的直線作垂線或過直角點(diǎn)作平行于y軸的直線的垂線與另一相關(guān)圖象相交，則相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)可輕松搞定。
16.“某圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另兩定點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形”的問題。
①若定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，先用k點(diǎn)法求出另一直角邊所在直線的解析式(如斜率不存在，根據(jù)定直角點(diǎn)，可以直接寫出另一直角邊所在直線的方程)，利用該解析式與所求點(diǎn)所在的圖象的解析式組成方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式計算出兩條直角邊等否?若等，該交點(diǎn)合題，反之不合題，舍去。
�、谌魟狱c(diǎn)為直角頂點(diǎn)：先利用k點(diǎn)法求出定線段的中垂線的解析式，再把該解析式與所求點(diǎn)所在圖象的解析式組成方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再分別計算出該點(diǎn)與兩定點(diǎn)所在的兩條直線的斜率，把這兩個斜率相乘，看其結(jié)果是否為-1?若為-1，則就說明所求交點(diǎn)合題;反之，舍去。
17.“題中含有兩角相等，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或線段長度”等的問題：
題中含有兩角相等，則意味著應(yīng)該運(yùn)用三角形相似來解決，此時尋找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是關(guān)鍵和突破口。
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