最小二乘估計(jì)教案

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1、掌握最小二乘法的思想

　　2、能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　最小二乘法的思想

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　線性回歸方程系數(shù)公式的應(yīng)用

　　教學(xué)過程

　　回顧：上節(jié)課我們討論了人的身高與右手一拃長(zhǎng)之間的線性關(guān)系，用了很多種方法來刻畫這種線性關(guān)系，但是這些方法都缺少數(shù)學(xué)思想依據(jù)。

　　問題1、用什么樣的線性關(guān)系刻畫會(huì)更好一些?

　　想法：保證這條直線與所有點(diǎn)都近(也就是距離最小)。

　　最小二乘法就是基于這種想法。

　　問題2、用什么樣的方法刻畫點(diǎn)與直線的距離會(huì)方便有效?

　　設(shè)直線方程為y=a+bx，樣本點(diǎn)A(xi，yi)

　　方法一、點(diǎn)到直線的距離公式

　　方法二、

　　顯然方法二能有效地表示點(diǎn)A與直線y=a+bx的距離，而且比方法一更方便計(jì)算，所以我們用它來表示二者之間的接近程度。

　　問題3、怎樣刻畫多個(gè)點(diǎn)與直線的接近程度?

　　例如有5個(gè)樣本點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)與直線y=a+bx的接近程度：

　　從而我們可以推廣到n個(gè)樣本點(diǎn)：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)與直線y=a+bx的接近程度：

　　使得上式達(dá)到最小值的直線y=a+bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法

　　問題4、怎樣使 達(dá)到最小值?

　　先來討論3個(gè)樣本點(diǎn)的情況

　　設(shè)有3個(gè)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，則由最小二乘法可知直線y=a+bx與這3個(gè)點(diǎn)的接近程度由下面表達(dá)式刻畫：

　�、�

　　整理成為關(guān)于a的一元二次函數(shù) ，如下所示：

　　利用配方法可得

　　從而當(dāng) 時(shí)，使得函數(shù) 達(dá)到最小值。

　　將 代入①式，整理成為關(guān)于b的一元二次函數(shù) ，

　　同樣使用配方法可以得到，當(dāng)

　　時(shí)，使得函數(shù) 達(dá)到最小值。

　　從而得到直線y=a+bx的系數(shù)a，b，且稱直線y=a+bx為這3個(gè)樣本點(diǎn)的線性回歸方程。

　　用同樣的方法我們可以推導(dǎo)出n個(gè)點(diǎn)的線性回歸方程的系數(shù)：

　　其中

　　由 我們知道線性回歸直線y=a+bx一定過 。

　　例題與練習(xí)

　　例1 在上一節(jié)練習(xí)中，從散點(diǎn)圖可以看出，某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)(y)與當(dāng)天氣溫(x)之間是線性相關(guān)的。數(shù)據(jù)如下表

　　氣溫(xi)/oC 26 18 13 10 4 -1

　　杯數(shù)(yi)/杯 20 24 34 38 50 64

　　(1) 試用最小二乘法求出線性回歸方程。

　　(2) 如果某天的氣溫是-3 oC，請(qǐng)預(yù)測(cè)可能會(huì)賣出熱茶多少杯。

　　解：(1)先畫出其散點(diǎn)圖

　　i xi yi xi2 xiyi

　　1 26 20 676 520

　　2 18 24 324 432

　　3 13 34 169 442

　　4 10 38 100 380

　　5 4 50 16 200

　　6 -1 64 1 -64

　　合計(jì) 70 230 1286 1910

　　可以求得

　　則線性回歸方程為

　　y =57.557-1.648x

　　(2)當(dāng)某天的氣溫是-3 oC時(shí)，賣出熱茶的杯數(shù)估計(jì)為：

　　練習(xí)1 已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表，則y與x的線性回歸方程y=a+bx必經(jīng)過點(diǎn) ( D )

　　x 0 1 2 3

　　y 1 3 5 7

　　(A)(2，2) (B)(1.5，0) (C)(1，2) (D)(1.5，4)

　　練習(xí)2 某連鎖經(jīng)營(yíng)公司所屬5個(gè)零售店某月的銷售額和利潤(rùn)額資料如下表：

　　商店名稱 A B C D E

　　銷售額(x)/千萬元 3 5 6 7 9

　　利潤(rùn)額(y)/百萬元 2 3 3 4 5

　　(1) 畫出銷售額和利潤(rùn)額的散點(diǎn)圖;

　　(2) 若銷售額和利潤(rùn)額具有相關(guān)關(guān)系，計(jì)算利潤(rùn)額y對(duì)銷售額x的回歸直線方程。

　　解：(1)

　　(2)數(shù)據(jù)如下表：

　　i xi yi xi2 xiyi

　　1 3 2 9 6

　　2 5 3 25 15

　　3 6 3 36 18

　　4 7 4 49 28

　　5 9 5 81 45

　　合計(jì) 30 17 200 112

　　可以求得b=0.5，a=0.4

　　線性回歸方程為：

　　小結(jié)

　　1、 最小二乘法的思想

　　2、 線性回歸方程的系數(shù)：

　　作業(yè)：P60 習(xí)題1-8 第1題

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