分式期中復習教學教案

時間：2022-10-07 20:00:30 教案我要投稿

相關推薦

分式期中復習教學教案

　　第八章分式

分式期中復習教學教案

　　【知識要點】

　　1.分式：

　　一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有，那么代數(shù)式叫做分式.

　　分式的有意義、無意義和值為零：

　�。�1）若分式有意義，則必須滿足條件：

　�。�2）若分式無意義，則必須滿足條件：

　�。�3）若分式值為零，則必須滿足條件：

　　2.分式的基本性質：

　　分式的分子和分母都乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值 .

　　即：，

　　（其中M是不等于0的整式）

　　3.分式的運算：

　�。�1）加減運算：

　　例如：計算： .

　　解：原式=

　　→對各個分母進行因式分解！

　　→找到最簡公分母是：

　　然后通分！

　　→把各個分子進行合并！然后看分子、分母能不能約分！

　　→約分，得到結果！

　�。�2）乘除運算：

　　例如：計算：

　　解：原式=

　　→對各個分子、分母進行因式分解！

　　→約分，得到結果！

　　4.分式方程的解法：

　　解方程： .

　　解：方程兩邊同時乘以 ,得:

　　-→方程兩邊同時乘以最簡公分母,目的是約去分母，化為整式方程.

　　解之得，

　　-→解這個整式方程,求出方程的根

　　檢驗：把 =3代入中， ≠0.

　　-→一定要有“檢驗”這一步!檢驗方法：把求出的根代入最簡公分母中，若分母為零，則是增根；若分母不為零，則是方程的根.

　　所以原分式方程的解為： .

　　分式方程的增根同時滿足的兩個條件：

　�、僭龈牵ㄓ煞质椒匠袒傻模┱椒匠痰母�

　�、谠龈棺詈喒帜笧榱�.

　　例如：若方程有增根，求的值.

　　解：把原方程化為整式方程，得

　　∵方程有增根

　　∴ 理由：②增根使最簡公分母為零.

　　把代入整式方程中，得

　　理由：①增根是（由分式方程化成

　　的）整式方程的根.

　　5.分式方程的應用：

　　略

　　【基礎訓練】

　　1.（10湖南株洲）若分式有意義，則的取值范圍是 .

　　2.（10湖北荊州）分式的值為０，則x= .

　　3.把分式中的分子、分母的、同時擴大2倍，那么分式的值

　　A.擴大2倍 B.縮小2倍

　　C.改變原來的 D.不改變

　　4.分式與下列分式相等的是

　　A. B. C. D.

　　5. 的正確運算順序是

　　A. B. C. D.

　　6.計算的結果是

　　A. B. C. D.

　　7.分式運算：，其最簡公分母是

　　A. B.

　　C. D.

　　8.（09湖北荊門）計算的結果是 .

　　9.（09山東淄博）化簡的結果為

　　A. B. C. D.

　　10.（10河北）化簡的結果是

　　A. B. C. D.1

　　11.（10四川內(nèi)江）化簡： _________.

　　12.（10江蘇蘇州）化簡的結果是

　　A. B. C. D.

　　13.（10云南昆明）化簡： .

　　14.（07江蘇連云港）當時，分式的值是 .

　　15.（09浙江溫州）某單位全體員工在植樹節(jié)義務植樹240棵．原計劃每小時植樹棵。實際每小時植樹的棵數(shù)是原計劃的1.2倍，那么實際比原計劃提前了小時完成任務(用含的代數(shù)式表示)．

　　16.（10山東東營）分式方程的解是

　　A.－3B.2 C.3 D.－2

　　17.把分式方程的兩邊同時乘以約去分母得

　　A. B.

　　C. D.

　　18.（10山東青島）化簡： .

　　19.（10江蘇無錫）計算：

　　20.（10江蘇連云港）化簡：(a－2)?a2－4a2－4a＋4

　　21.（10江蘇鹽城）計算： ( )÷(1 )

　　22.（10江蘇南京）計算(1a － 1b )÷a2－b2ab

　　23.（10湖北武漢）先化簡，再求值：

　　，其中 .

　　24.（10江蘇宿遷）解方程： .

　　25.（10福建南平）解方程：xx+1 + 2x -1 =1.

　　26.（10山東菏澤）解分式方程： .

　　27.（10江西南昌）解方程: .

　　28.（10四川達州）對于代數(shù)式和，你能找到一個合適的值，使它們的值相等嗎？寫出你的解題過程.

　　【能力提高】

　　29.請你給選擇一個合適的值，使方程成立，你選擇的 =_______.

　　30.（10黑龍江大興安嶺）已知關于x的分式方程的解是非正數(shù)，則的取值范圍是 .

　　31.（2009牡丹江）若關于的分式方程無解，則 .

　　32.在解方程時，你認為下面哪一個步驟最有可能導致增根的產(chǎn)生？

　　A.去分母 B.去括號 C.移項 D.合并同類項

　　33.分式方程，下列說法正確的是

　�、俜匠痰母鶠� ；②方程無解；

　�、鄯匠逃性龈� ；④方程的根為 .

　　A. ①② B.①③ C .②③ D. ②④

　　34.觀察給定的分式：，猜想并探索規(guī)律，第10個分式是，第個分式是 .

　　35.（08西寧）寫出一個含有字母的分式（要求：不論取任何實數(shù)，該分式都有意義） .

　　36.若分式和滿足：，其中，則 = .

　　37.若，則，

　　38.（10廣西桂林）已知，則代數(shù)式的值為___ ______.

　　39.（10湖北黃岡）已知，， .則式子 .

　　40.（08蕪湖）已知，則代數(shù)式

　　的值為 .

　　41.（10甘肅9市）觀察：

　　則 ( =1，2，3，…).

　　42.正數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算規(guī)則為，根據(jù)這個規(guī)則，求方程的解.

　　43.（10山東濟寧）觀察下面的變形規(guī)律：

　　解答下面的問題：

　　（1）若n為正整數(shù)，請你猜想 = ；

　�。�2）證明你猜想的結論；

　�。�3）求和： + + +…+ .

　　44.（10江蘇鹽城）某校九年級兩個班各為玉樹地震災區(qū)捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人數(shù)比1班的人數(shù)少10%．請你根據(jù)上述信息，就這兩個班級的“人數(shù)”或“人均捐款”提出一個用分式方程解決的問題，并寫出解題過程.

　　線段、角的對稱性

　　1.4 線段、角的對稱性（二）

　　學習目標：

　　1、能用角的平分線的性質解決一些實際問題。

　　2、記住角的平分線是具有特殊性質的點的集合。

　　學習重點與難點：

　　重點：掌握角平分線的性質。

　　難點：理解角的平分線是具有特殊性質的點的集合。

　　學習過程：

　　一、知識梳理

　　1、角的軸對稱性

　　角(填“是”或“不是”)軸對稱圖形，對稱軸是。

　　2、角平分線的性質與判斷

　�。�1）如圖1，OE平分 ,P是OE上的一點，PC ,PD ，垂足分別為點C、D,根據(jù)角平分線的性質填空：

　　OE平分 , PC ,PD ,

　�。ǎ玻┤鐖D２，已知，先作出、的平分線，相交于點Ｏ，過點Ｏ作ＯＤ，ＯＥ，ＯＦ，垂足分別為Ｄ、Ｅ、Ｆ，再填空：

　�。拢掀椒� ，ＯＤ，ＯＥ，

　　ＯＤ＝ＯＥ（）

　�。茫掀� 分，ＯＥ，ＯＦ，

　　即三角形的角平分線的交點到三邊的距離相等。

　�。希模剑希�，ＯＤＯＦ（），

　　點在的平分線上（）

　�。场⒔瞧椒志€作圖的簡單應用

　　“西氣東輸”是造福子孫后代的創(chuàng)世工程，現(xiàn)有兩條高速公路ｌ、ｌ和兩個城鎮(zhèn)Ａ、Ｂ（如圖３），準備建一個燃氣控制中心站Ｐ，使中心站到兩條公路的距離相等，并且到兩個城市的距離相等，請你畫出中心站的位置。（保留畫圖痕跡，不寫作法）

　　例1 如圖，AD是的角平分線，DE、DF分別是、的高。試說明AD垂直平分EF.

　　三、嘗試練習

　　1、到三角形三邊距離相等的點是（）

　　A 三條高的交點 B 三條中線的交點

　　C 三條垂直平分線的交點 D三條內(nèi)角平分線的交點

　　2、如圖，在中， ,AD平分 ,CD=5,則點D到AB的距離為

　　四、小結

　　三角形全等的判定教學案

　　【學習目標】：

　　1.通過探究兩個三角形具備三個條兩邊及其夾角對應相等，得到三角形全等的另一判定方法。

　　2.能初步應用“邊角邊”條判定兩個三角形全等.

　　【學習重難點】：

　　1.重點：SAS結論及其運用.

　　2.難點：領會SAS結論.

　　【前自學、中交流】

　　一、想一想

　　通過上節(jié)的學習，我們已經(jīng)知道把兩根木條的一端用螺栓固定在一起，連結另

　　兩個端點所成的三角形不能唯一確定。例如，圖中ΔABC與ΔAB'C不是全等三角形。

　　但如果把另兩個端點也用螺栓固定在第三根木條上，那么構成的三角形的形狀、

　　大小就完全確定。

　　現(xiàn)在我們考慮這樣的問題：如果將兩木條之間的夾角（即∠BAC）大小固定，那么ΔABC能唯一確定嗎？

　　二、動一動

　　讓我們動手做一做：用量角器和刻度尺畫ΔABC，使AB=4cm，BC=6cm，∠ABC=60.將你畫出的三角形和其他同學畫的三角形進行比較，它們能互相重合嗎？由此你得到了什么結論？

　　一般地，有兩邊和這兩邊的夾角對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。

　　如圖，若∠ABC=∠A'B'C'，AB= A'B'，BC=B'C'，則ΔABC≌ΔA'B'C'。

　　例1：如圖，為了測出池塘兩端A，B的距離，小紅在地面上選擇了點O，D，C，使OA=OC，OB=OD，且點A，O，C和點B，O，D都在一條直線上。小紅認為只要量出DC的距離，就能知道AB的距離。你認為正確嗎？請說明理由。

　　證明：在ΔAOB和ΔCOD中，

　　∴ΔAOB≌ΔCOD(SAS)

　　∴ AB=CD

　　當堂訓練】

　　1、如圖，把兩根鋼條AA'，BB'的中點連在一起，可以做成一個測量工內(nèi)槽寬的卡鉗，在圖中，要測量工內(nèi)槽寬AB，只要測量什么？為什么？

　　2、如圖，點D，E分別在AC，AB上 . 已知AB=AC，AD=AE，則BD= CE.請說明理由（填空）。

　　證明：在ΔABD和中，

　　∴BD=CE（）

　　3、如圖，已知AC=BD，∠CAB=∠DBA.請說明下列結論成立的理由：

　�。�1）ΔABC ≌ ΔBAD；（2）BC=AD，∠C=∠D.

　　4、如圖，點E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求證:∠A=∠D.

　　證明：

　　∵BE=CF

　　∴BE+EF＝CF+

　　即 =

　　在△ABF和△D CE中，

　　∴△ABF≌△DCE（）.

　　5. 如圖，已知：AD∥BC，AD＝CB，AF＝CE.求證：△AFD≌△CEB.

　　證明：∵ AD∥BC，

　　∴∠A＝∠___（兩直線平行，相等）

　　在△ 和△ 中，

　　∴△ _≌△ （______）.

　　1．如圖，已知：AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF.求證：∠D＝∠B.

　　【后作業(yè)】

　　【后反思】通過本節(jié)的學習，我的收獲和困惑是：

　　線段、角的軸對稱性(2)學案

　　課型：新課

　　學習目標（學習重點）：

　　1．通過折疊的方式認識角的軸對稱性．

　　2．探索并掌握角平分線的性質，解決一些簡單的問題．

　　3. 會尺規(guī)作圖作角平分線

　　補充例題：

　　例1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．

　　（1）若BC=8，BD=5，求點D到AB的距離．

　�。�2）若BD∶DC=3∶2，點D到AB的距離為6，求BC的長．

　　例2．如圖所示，A、B是兩個工廠，m、n是兩條公路，現(xiàn)要在這一地區(qū)建一加油站，要求這個加油站到A、B兩個工廠的路程相等、到兩條公路m、n的距離也相等，是否存在同時滿足這兩個要求的地點？怎樣找出這個地點？

　　例3．如圖所示，OC平分∠AOB，P是OC上一點，D是OA是上一點，E是OB上一點，且PD＝PE，試說明：∠PDO＋∠PEO＝180°.

　　拓展提高

　　1. 已知點P是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線的交點．試說明： AP平分∠BAC．

　　2 如圖，直線a、b、c表示三條相互交叉的公路，

　　現(xiàn)要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，

　　可供選擇的地址有幾處？如何選？

　　3．已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分線上一點，E、F分別在AB、AC上，且DE=DF．試判斷∠BED與∠BFD的關系，并說明理由．

　　課后作業(yè)：

　　自我檢測題（“體檢題”）

　　一、填空題（每空7分，共49分）

　　1．角平分線上的點到__________________________的距離相等．

　　2．角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點，在________________________________.

　　3．如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=__________cm．

　　4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，點D到AB的距離為5cm，則CD=_____cm．

　　5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，AC＝15cm，且CD∶AD＝2∶3，則點D到AB的距離為_________．

　　第3題第4題第5題

　　6．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，

　　則下列結論：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB

　　；④BE+AC=AB，其中正確的有（）

　　A．2個 B．3個 C．4個 D．1個

　　7．如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B．

　　下列結論中不一定成立的是（）

　　A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP

　　二、解答題：

　　8．（17分）已知：如圖，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分線交于點P，

　　試說明：點P到AB、CD的距離相等.

　�。ㄓ亚樘嵝眩簯仍趫D中作出點P到AB、CD的距離再進行下一步的解題）

　　9．（17分）已知∠BAC等于60°，點E、F分別位于∠BAC

　　的兩邊上．試在∠BAC的內(nèi)部尋找一點O，使點O到點E、F

　　的距離相等，且到∠BAC的兩邊距離相等．

　　10．（17分）如圖，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，

　　S△ABC ＝36，AB＝18，BC＝12，求DE的長.

　　等腰梯形的對稱性學案

　　學習目標:

　　1、知道等腰梯形的概念，等腰梯形的軸對稱性極其相關性質；

　　2、能利用等腰梯形的性質進行有條理的說理。

　　重點、難點：能利用等腰梯形的性質進行有條理的說理

　　學習過程

　　一.【預學提綱】初步感知、激發(fā)興趣

　　1、什么叫梯形？什么叫等腰梯形？

　　2、等腰梯形的對稱軸是什么？

　　二.【預學練習】初步運用、生成問題

　　1、已知，如圖△ABC中，AB=AC，過AB上一點D作

　　DE∥BC交AC于點E，BD=CE嗎？為什么？

　　2、在梯形ABCD中，BC∥AD,DE∥AB,DE＝DC,

　　∠A＝100°則∠B＝____,∠C＝____,

　　∠ADC＝____,∠EDC＝____.

　　3、等腰梯形是軸對稱圖形，的直線是對稱軸。

　　三.【新知探究】師生互動、揭示通法

　　問題1：試說明：等腰梯形在同一底上的兩個角相等。

　　已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC

　　試說明：∠B=∠C。

　　分析：本題可以從軸對稱圖形的特征來說明；

　　也可從以下的二個角度著手證明（附二種方法的圖形）。

　　解法一：

　　解法二：

　　問題 2：試說明：等腰梯形的兩條對角線相等。

　　已知：在梯形中，，，

　　AC與BD相等嗎？請說明理由。

　　四. 【解疑助學】生生互動、突出重點

　　問題 3：（1）按要求對下列梯形分割（分割線用虛線）

　　分割成一個平行四邊形和一個三角形；

　　②分割成一個長方形和兩個直角三角形；

　�。�2）你還有其他分割的方法嗎？畫出來，并指出分割后得到哪些圖形？

　　（3）如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝900，AB＝4cm，BC＝8cm，∠C＝450，請

　　用適當?shù)姆椒▽μ菪畏指�，利用分割后的圖形

　　求AD的長。

　　五.【變式拓展】能力提升、突破難點

　　1、如圖，梯形ABCD，AB∥CD，AD＝BC，

　　AC 和BD交于點O，試說明：OD＝OC。

　　2、如圖，梯形ABCD中，AD // BC，AC = BD 試說明：AB = DC

　　3、如圖，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB＝CD，E為CD中點，AE與

　　BC的延長線交于F。(1)判斷S△ABF和S梯形ABCD有何關系，說明理由。

　　(2)判斷S△ABE，和S梯形ABCD有何關系，并說明理由。

　　(3)上述結論對一般梯形是否成立？為什么？

　　六.【回扣目標】學有所成、悟出方法

　　1、____________相等的_______________叫做等腰梯形；

　　2、等腰梯形是對稱圖形，______________是對稱軸；

　　等腰梯形在____________的兩個底角相等；等腰梯形的對角線。

　　3、梯形常見輔助線添法：延長兩腰，平移一腰，作梯形的高，平移對角線。

　　簡單的圖案設計教案

　　第三章圖形的平移與旋轉

　　總課時：7課時使用人：

　　備課時間：第四周上課時間：第五周

　　第7課時：簡單的圖案設計

　　目標

　　一）知識與技能：

　　1．了解圖案最常見的構圖方式：軸對稱、平移、旋轉……，理解簡單圖案設計的意圖。

　　2．認識和欣賞平移，旋轉在現(xiàn)實生活中的應用，能夠靈活運用軸對稱、平移、旋轉的組合，設計出簡單的圖案。

　�。ǘ┻^程與方法

　　經(jīng)歷對生活中的典型圖案進行觀察、分析、欣賞等過程,進一步發(fā)展空間觀念、增強審美意識.

　　（三）情感、態(tài)度與價值觀

　　1．經(jīng)歷對生活中的典型圖案進行觀察、分析、欣賞等過程，進一步發(fā)展空間觀念、增強審美意識.

　　2．通過學生之間的交流、討論、培養(yǎng)學生的合作精神.

　　重點：靈活運用平移、旋轉與軸對稱的組合進行簡單的圖案設計.

　　教學難點：靈活運用平移、旋轉與軸對稱的組合進行簡單的圖案設計.

　　教學過程

　　第一環(huán)節(jié) 復習舊知，引入新課（5分鐘，學生欣賞，感受圖形變換）

　　活動內(nèi)容：復習全等變換中所學的圖案設計方法。

　　提問：

　　1．我們已經(jīng)具備了簡單圖案設計的基本知識與技能：

　　用最基本的幾何元素――點、線設計與制作圖案；

　　用最簡單的幾何圖形――三角形、矩形設計、制作圖案；割補、無縫隙拼接。

　　2．下面的圖案是怎樣設計出來的？

　　第二環(huán)節(jié) 探索新知（10分鐘，學生小組合作，解讀探究）

　　內(nèi)容：各小組充分討論教材所示圖案的形成過程，

　　在生活中，我們經(jīng)常見到一些美麗的圖案：

　　你能用平移、旋轉或軸對稱分析如圖中各個圖案的形成過程嗎？你是怎樣分析的？與同伴交流。

　　對教材給出的六個圖案通過觀察、分析進行議論交流，讓學生初步了解圖案的設計中常常運用圖形變換的思想方法，為學生自己設計圖案指明方向。其中圖（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）都可以看作是由“基本圖案”通過旋轉適合角度形成（可以讓學生自己說說每個旋轉的角度和旋轉的次數(shù)及旋轉中心的位置），另外圖（2）、（3）、（5）也可以看作是由“基本圖案”通過軸對稱變換形成（可以讓學生指出對軸對稱及對稱軸的條數(shù)），圖（2）還可以看作是由“基本圖案”通過平移形成。

　　第三環(huán)節(jié)：合作交流，解決問題（10分鐘，學生欣賞，全班交流）

　　內(nèi)容：

　　1．欣賞下圖的圖案,分析這個圖案形成的過程，仿照圖3―23中的某個標志設計一個圖案，與同伴交流，并簡述你的設計意圖。

　　2．例 1 欣賞圖 3―24 的圖案，并分析這個圖案形的過程。

　　提問：

　　1．基本圖案是什么？有幾個？

　　2．分析同色“爬蟲”、異色“爬蟲”之間的關系。

　　教師引導學生發(fā)現(xiàn)：這個圖案是由三個“基本圖案”組成的，它們分別是三種不同顏色的“ 爬蟲” （綠、白、黑），形狀、大小完全相同。

　　在圖中，同色的“爬蟲”之間是平移關系，所有同色的“爬蟲”可以通過其中一只經(jīng)過平移而得到；相鄰的不同色的“爬蟲”之間可以通過旋轉而得到，其中，旋轉角度為120°，旋轉中心為“爬蟲”頭上、腿上或腳趾上一點。

　　第四環(huán)節(jié)：練習與提高（10分鐘，學生觀察分析，全班交流）

　　內(nèi)容：

　　1．下圖是由12個全等三角形組成的，利用平移、軸對稱或旋轉分析這個圖案的形成過程。

　　這個圖形可以按照以下步驟形成的。

　�。�1）以一個三角形的一條邊為對稱軸作與它對稱的圖形。

　�。�2）將得到的這組圖形以一條邊的中點為旋轉中心旋轉180 °。

　�。�3）分別以這兩組圖形為平移的“基本圖案”，各平移兩次，即可得到最終的圖形。

　　2．欣賞：

　　第五環(huán)節(jié)：課堂小結（5分鐘，學生歸納）

　　內(nèi)容：師生互相交流總結三種圖形變換方式的特點，怎樣選擇變換方式，課前準備所學到的課外知識及切身感受等。

　　第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

　　A組（優(yōu)等生）和B組（中等生）：

　　．仿照下圖中的某個標志,每個小組設計一個圖案。你設計的圖案是如何形成的?要表現(xiàn)什么?

　　提示：可以利用平移、旋轉、軸對稱等多種方法來設計，而且設計的圖案要能表達自己的創(chuàng)作意圖，再就是圖案的設計一定要新穎，獨特，這樣才能使人過目不忘，達到標志的效果。

　　C組（后三分之一生）．課后習題。

　　教學反思：

　　代數(shù)式的化簡與求值

　　第三十三講代數(shù)式的化簡與求值

　　1．在前面幾講中我們分別學習了整式、分式以及根式的恒等變形與證明，其中也涉及到它們的化簡與求值．本講主要是把這蘭種類型的代數(shù)式綜合起來，其中求值問題是代數(shù)式運算中的非常重要的內(nèi)容．

　　2．對于代數(shù)式的化簡、求值，常用到的技巧有：

　　(1)因式分解，對所給的條件、所求的代數(shù)式實施因式分解，達到化繁為簡的目的；

　　(2)運算律，適當運用運算律，也有助于化簡；

　　(3)換元、配方、待定系數(shù)法、倒數(shù)法等；

　　(4)有時對含有根式的等式兩邊同時實施平方，也不失為一種有效的方法．

　　例題求解

　　【例1】已知，求的值．

　　思路點撥由已知得(x－4)2=3，即x2－8x+13=0．所以原式=5．

　　注本題使用了整體代換的作法．

　　【例2】已知：x+ y+x=3a(a ≠0)，求：的值．

　　思路點撥由得：

　　解設，，，∴

　　∴原式= （可將兩邊平方的得到）

　　【例3】已知，求的值．

　　思路點撥設

　　∴ ，然后對和兩種情況進行討論，原式= 和．

　　【例4】已知，，，求（1）的值：（2）的值．

　　思路點撥先由條件求出，可得，．

　　注這道題充分體現(xiàn)了三個數(shù)的平方和，三個數(shù)的立方和，及三個數(shù)四次方和的常規(guī)用法，這些常用處理方法對我們今后的學習是十分重要的．

　　【例5】 (2003年河北初中數(shù)學應用競賽題)同一價格的一種商品在三個商場都進行了兩次價格調(diào)整．甲商場：第一次提價的百分率為a，第二次提價的百分率為b；乙商場：兩次提價的百分率都是（a>0，b>0）；丙商場：第一次提價的百分率為b，第二次提價的百分率為a，則提價最多的商場是( )

　　A．甲 B．乙 C．丙 D．不能確定

　　思路點撥乙商場兩次提價后，價格最高．選B

　　【例6】已知非零實數(shù) a、b、c滿足，，求的值．

　　思路點撥原條件變形為：

　　∴ 為±1或0．

　　【例7】(2001年重慶市)閱讀下面：

　　在計算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21時；我機發(fā)現(xiàn)，從第一個數(shù)開始，以后的每個數(shù)與它的前一個數(shù)的差都是一個相同的定值．具有這種規(guī)律的一列數(shù)，除了直接相加外，我們還可以用公式計算它們的和．(公式中的n表示數(shù)的個數(shù)，a表示第一個數(shù)的值，d表示這個相差的定值．)

　　那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21= ．

　　用上面的知識解決下列問題：

　　為保護長江，減少水土流失，我市某縣決定對原有的坡荒地進行退耕還林．從1995年起在坡荒地上植樹造林，以后每年又以比上一年多植相同面積的樹木改造坡荒地，由于每年因自然災害、樹木成活率、人為因素等的影響，都有相同數(shù)量的新坡荒地產(chǎn)生，下表為1995、1996、1997年的坡荒地面積和植樹的面積的統(tǒng)計數(shù)據(jù)．假設坡荒地全部種上樹后，不再有水土流失形成新的坡荒地，問到哪一年，可以將全縣所有的坡荒地全部種上樹木．

　　1995年1996年1997年

　　每年植樹的面積（畝）100014001800

　　植樹后坡荒地的實際面積(畝)252002400022400

　　思路點撥 1996年減少了25200－24000=1200，

　　1997年減少了24000－22400=1600，

　　m年減少了1200+400×(m―1996)．

　　1200+1600+…+1200+400(m―1996)=25200．

　　令n=m―1995，得，或（舍去）

　　∴ m =1995+n =2004．

　　∴ 到2004年，可以將坡荒地全部種上樹木．

　　【例8】 ( “信利杯”)某校初三兩個畢業(yè)班的學生和教師共100人一起在臺階上拍畢業(yè)照留念，攝影師要將其排列成前多后少的梯形隊陣{排數(shù)≥3)，且要求各行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù)，這樣才能使后一排的人均站在前一排兩人間的空擋處，那么，滿足上述要求的排法的方案有( )

　　A．1種 B． 2種 C．4種 D．0種

　　思路點撥設最后一排有k個人，共有n排，那么從后往前各排的人數(shù)分別為k，k+1，k+2，…，k+(n―1)，由題意可知，即n=200．因為k，n都是正整數(shù)，且n≥3，所以n<2k+(n―1)，且n與2k+(n―1)的奇偶性不同．將200分解質因數(shù)，可知n=5或n=8．當n=5時，k=l8；當n=8時，k=9．共有兩種不同方案．選B

　　【例9】 (江蘇省競賽初三)有兩道算式：

　　好+好=妙，妙×好好×真好=妙題題妙，

　　其中每個漢字表示0~9中的一個數(shù)字，相同漢字表示相同數(shù)字，不同漢字表示不同數(shù)字．那么，“妙題題妙”所表示的四位數(shù)的所有因數(shù)的個數(shù)是．

　　思路點撥從加法式得“好”<5，“妙”≠0，因此“好”=1，“妙”=2或“好”=2，“妙”=4或“好”=3，“妙”=6或“好”=4，“妙”=8．顯然，中間兩種情形不滿足乘法式，所以只能是：

　　(1)“好”=1，“妙”=2，從而乘法式變?yōu)?/p>

　　2×11×(真×10+1)=2002+題×110，

　　即真×10+1=91+題×5．

　　上式左邊≤91，右邊≥91，所以兩邊都等于91．

　　由此得“真”=，“題”=0“妙題題妙”=2002．

　　(2)“好”=4，“妙”=8，乘法式為

　　8×44×(真×10十4)=8008+題×110．

　　即704+1760×真=4004十題×55．