函數(shù)教學(xué)教案

時(shí)間：2022-10-08 02:48:53 教案我要投稿

函數(shù)教學(xué)教案

　　1、函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。判斷函數(shù)的奇偶性有時(shí)可以用定義的等價(jià)形式: , 。

函數(shù)教學(xué)教案

　　2、若函數(shù) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),則恒等于零,這樣的函數(shù)有無數(shù)個(gè)。

　　3、如果點(diǎn) 是原函數(shù)圖象上的點(diǎn),那么點(diǎn) 就是其反函數(shù)圖象上的點(diǎn)。

　　4、反函數(shù)的相關(guān)性質(zhì):

　　(1)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的的單調(diào)性,單調(diào)區(qū)間不一定相同;

　　(2)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù);(函數(shù)單調(diào)只能作為存在反函數(shù)的充分條件)

　　只有從定義域到值域上一一映射所確定的函數(shù)才有反函數(shù)。(存在反函數(shù)的充要條件)

　　(3)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)。偶函數(shù)不存在反函數(shù)(定義域?yàn)閱卧丶呐己瘮?shù)除外);

　　(4)周期函數(shù)不存在反函數(shù);

　　(5)若是連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù),則" 與的圖象有公共點(diǎn)" " 的圖象與直線有公共點(diǎn)" "方程有解";

　　(6)若為增函數(shù),則與的圖象的交點(diǎn)必在直線上;

　　(7)函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;

　　(8)函數(shù) 與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。

　　5、兩個(gè)函數(shù)相同,當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則分別相同。

　　6、對(duì) 恒成立或其中。

　　7、二次函數(shù)的三種表現(xiàn)形式:

　　(1)一般式 ;

　　(2)頂點(diǎn)式: 其中為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo);

　　(3)零點(diǎn)式: 其中、為拋物線與軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

　　8、不等式中的恒成立問題與不等式的有解問題對(duì)比:

　　(1) 在的定義域上恒成立 ;

　　(2) 在的定義域上恒成立 ;

　　(3) 在的定義域上有解 ;

　　(4) 在的定義域上有解。

　　某些恒成立問題有時(shí)通過分離變量(在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量,其中一個(gè)變量的范圍已知,另一個(gè)為所求,這時(shí)可通過恒等變形將兩個(gè)變量分置于等號(hào)或不等號(hào)兩邊)將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題,從而求解。

　　9、對(duì)于函數(shù)中的恒成立問題補(bǔ)充兩點(diǎn)說明:

　　(1)若恒成立,則M不一定為的最大值。若恒成立,則不一定為的最小值;

　　(2)若恒成立,則為的最大值,若恒成立,則為的最小值。

　　10、函數(shù) 的最小值為。

　　11、重要工具函數(shù) 的性質(zhì):不妨設(shè)

　　(1) 時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;

　　(2) 時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增。

　　12、關(guān)于函數(shù)對(duì)稱性,奇偶性與周期性的關(guān)系:

　　類型之一:線線型周期性

　　(1)若函數(shù) 在上的圖象關(guān)于直線與都對(duì)稱,則函數(shù) 是上的周期函數(shù), 是它的一個(gè)周期。

　　(2)若函數(shù) 為偶函數(shù),且圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則為周期函數(shù), 是它的一個(gè)周期。

　　類型之二:點(diǎn)線型周期性

　　(1)若函數(shù) 在上的圖象關(guān)于點(diǎn) 和直線都對(duì)稱,則函數(shù) 是上的周期函數(shù), 是函數(shù) 在上的一個(gè)周期。

　　(2)若函數(shù) 為偶函數(shù),且圖象關(guān)于點(diǎn) 成中心對(duì)稱,則函數(shù) 為周期函數(shù), 是它的一個(gè)周期。

　　(3)若函數(shù) 為奇函數(shù),且圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則為周期函數(shù), 是它的一個(gè)周期。

　　類型之三:點(diǎn)點(diǎn)型周期性

　　(1)若函數(shù) 在上的圖象關(guān)于相異兩點(diǎn) 、都對(duì)稱,則函數(shù) 是上的周期函數(shù), 是它的一個(gè)周期。

　　(2)若函數(shù) 為奇函數(shù),且圖象關(guān)于點(diǎn) 成中心對(duì)稱,則函數(shù) 為周期函數(shù), 是它的一個(gè)周期。

　　13、由函數(shù)方程推導(dǎo)函數(shù)周期的常見類型:

　　(1)若函數(shù) 滿足 ,則 ,則是上的周期函數(shù),且是它的一個(gè)周期。

　　(2)若函數(shù) 滿足 ,則是上的周期函數(shù),且是它的一個(gè)周期。

　　(3)若對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù) ,都有 ,則是上的周期函數(shù),且是它的一個(gè)周期。

　　(4)若對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù) ,都有 ,則是上的周期函數(shù),且是它的一個(gè)周期。

　　(5)定義在上的函數(shù) ,若存在非零正實(shí)數(shù) ,對(duì)于一切 ,都有 ,則是以為周期的函數(shù)。

　　(6)定義在上的函數(shù) ,若存在非零正實(shí)數(shù) ,對(duì)于一切 ,都有 ,則是以為周期的函數(shù)。

　　(7)定義在上的函數(shù) 對(duì)于都有 ,則是以6為周期的函數(shù)。

　　(8)定義在上的函數(shù) 對(duì)于都有 ,則是以6為周期的函數(shù)。

　　(9)若是函數(shù) 的任意一個(gè)周期,則的相反數(shù) 也是的周期; 也是的周期;若都是的周期,且 ,則也是的周期。

　　說明:對(duì)于(1)~(5),其代換函數(shù),有如下特點(diǎn):原函數(shù)與反函數(shù)相同,代換兩次能夠還原。如: 都是原函數(shù)與反函數(shù)相同的函數(shù),即 �？梢姳菊�-24。

　　14、函數(shù)圖象的自身對(duì)稱問題:

　　(1)偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱;(軸對(duì)稱)

　　(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;(中心對(duì)稱)

　　(3)定義在上的函數(shù) ,若滿足 ,則函數(shù) 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;( ,即:"取平均值",與的值無關(guān))

　　(4)定義在上的函數(shù) ,若滿足 ,則函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱;

　　(5)定義在上的函數(shù) ,若滿足 (或 ),則函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱。

　　15、兩函數(shù)圖象間的對(duì)稱問題:

　　(1)定義在上的函數(shù) 與函數(shù) 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;(其對(duì)稱軸方程由解得,與的值有關(guān))

　　(2)定義在上的函數(shù) 與函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱;

　　(3)定義在上的函數(shù) 與函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱;

　　(4)特別地：

　�、俸瘮�(shù) 關(guān)于x軸對(duì)稱的函數(shù)為:

　　②函數(shù) 關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為:

　�、酆瘮�(shù) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為:

　�、芎瘮�(shù) 關(guān)于對(duì)稱的函數(shù)為:

　�、莺瘮�(shù) 關(guān)于對(duì)稱的函數(shù)為:

　�、藓瘮�(shù) 關(guān)于直線軸對(duì)稱的函數(shù)為: ;

　　⑦函數(shù) 關(guān)于直線軸對(duì)稱的函數(shù)為: ;

　�、嗪瘮�(shù) 關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱的函數(shù)為: 。

　　16、若函數(shù) 為奇函數(shù),且定義域?yàn)?,則必有。若函數(shù) 是偶函數(shù),那么。

　　17、基本的函數(shù)圖象變換:

　　(1)要作的圖象,只須將的圖象向上( 時(shí))或向下( 時(shí))平移個(gè)單位;

　　(2)要作的圖象,只須將的圖象向右( 時(shí))或向左( 時(shí))平移個(gè)單位;

　　(3)要作的圖象,可先作函數(shù) 的圖象,然后將軸上方部分保持不變, 軸下方部分沿軸對(duì)稱上翻即可;

　　(4)要作的圖象,只需保留在軸右邊的圖象(擦去軸左邊的圖解),然后將軸右邊部分對(duì)稱地翻折到左側(cè)即可。(注意是偶函數(shù))。

　　(5)要作的圖象,只須將的圖象作關(guān)于直線對(duì)稱,也可以將的圖象先作關(guān)于軸對(duì)稱,再向右( 時(shí))或向左( 時(shí))平移個(gè)單位;

　　18、對(duì)稱軸的斜率為時(shí)的對(duì)稱變換:

　　(1)曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線為 ;

　　(2)曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線為 ;

　　(3)點(diǎn) 關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為 ;

　　(4)點(diǎn) 關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為。

　　19、函數(shù) 按向量平移后的函數(shù)表達(dá)式為: ;

　　20、判斷符號(hào)可以1為分界點(diǎn),當(dāng) 在1的同側(cè)( 或 )時(shí), ;當(dāng) 在1的兩側(cè)時(shí), �？梢愿爬�:"同向?yàn)檎?異向?yàn)樨?fù)"

　　21、關(guān)于函數(shù) 的定義域?yàn)?或值域?yàn)?的問題:

　　(1)若其定義域?yàn)?,則須在上恒成立,問題等價(jià)為:或其中 ;或其中。

　　22、當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),函數(shù) 與函數(shù) 的圖象相切于直線上的點(diǎn) 。

　　23、一次分式函數(shù) 的相關(guān)性質(zhì):

　　(1)定義域: ;

　　(2)值域: ;

　　(3)圖像:雙曲線線;

　　(4)漸近線: ;

　　(5)對(duì)稱中心: ;

　　(6)單調(diào)性:①當(dāng) , 單調(diào)遞減, 單調(diào)遞減;

　�、诋�(dāng) , 單調(diào)遞增, 單調(diào)遞增;

　　特別地:當(dāng) ,即時(shí),函數(shù) 和其反函數(shù) 為同一函數(shù)。也即函數(shù) 的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。

　　24、用函數(shù)方程法求函數(shù)解析式應(yīng)注意的問題

　　一般地,形如: ,其中已知,要求的解析式,通常的做法為:用去替代原式中所有的 ,得到 ,若此式中的 ,則可以得到: ,再將此式與原式聯(lián)立,消掉 ,就可以求出 ,故能用此法求解的關(guān)鍵在于: ,此式說明必滿足,原函數(shù)與反函數(shù)為同一函數(shù)。例如: , , 等。

　　25、抽象函數(shù)中的相關(guān)問題

　　(1)奇偶性的判斷

　�、偃� ( ),則為奇函數(shù);

　�、谌� ( ),則為奇函數(shù);

　�、廴� ( ),則為偶函數(shù);

　�、苋� ( ),則為奇函數(shù);

　　⑤若 ,則為偶函數(shù)。

　　(2)單調(diào)性的判斷

　　① ;(作差比較函數(shù)值)

　�、� 。(作差比較函數(shù)值)

　　26、求函數(shù)值域的類型與方法歸類

　　(1)直接法,直接觀察,根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征得出值域。