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建構(gòu)微積分新教學(xué)體系
以下是小編為大家準(zhǔn)備的建構(gòu)微積分新教學(xué)體系的論文，歡迎各位數(shù)學(xué)畢業(yè)的同學(xué)閱讀!
摘 要 本文首先指出了微積分教學(xué)中的困難并對知識體系安排的重要性進(jìn)行了分析，然后結(jié)合自身的體會提出以人為本的現(xiàn)代教育理念，讓學(xué)生在圍繞問題組織的教學(xué)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，注重體現(xiàn)學(xué)生的主體性的發(fā)揮，為學(xué)生構(gòu)建了微積分新的教學(xué)體系，以改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生提出并解決問題的探究精神，從而提高教育質(zhì)量。
關(guān)鍵詞 知識體系 微積分 探索
微積分(Calculus)是研究函數(shù)的微分、積分以及應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，是高等數(shù)學(xué)中的核心知識，它的發(fā)展是和解決實際問題有著密切的聯(lián)系，它為定義和計算不規(guī)則圖形面積、體積等提供了方法。從十七世紀(jì)微積分學(xué)創(chuàng)立起，伴隨著廣泛的應(yīng)用，經(jīng)過三百多年的發(fā)展，這門課的基本內(nèi)容已經(jīng)定型。
在西藏從事高等數(shù)學(xué)尤其是微積分教學(xué)，有很多現(xiàn)實的困難要面對。由于種種原因西藏數(shù)學(xué)教育內(nèi)部存在一些問題，如藏族學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)存在雙重語言障礙、小學(xué)數(shù)學(xué)教育基礎(chǔ)薄弱等，造成學(xué)生中學(xué)數(shù)學(xué)知識儲備不足，這給大學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)銜接形成很多障礙，加之近幾年高校課時又不斷壓縮，造成高等數(shù)學(xué)學(xué)時緊張。這些困難可能導(dǎo)致有的教師上課不得不趕進(jìn)度，為了學(xué)生考核而教學(xué)，對概念的內(nèi)涵和外延不夠重視，追究不深，造成學(xué)生考分很高卻對微積分的核心思想掌握并不透徹的尷尬，耗費時間、精力卻達(dá)不到目的，只見樹木，不見森林。因此，在西藏地區(qū)有必要針對現(xiàn)實情況對微積分教學(xué)加以改革，建構(gòu)傳授微積分知識的良好體系，更好地化解學(xué)生基礎(chǔ)知識欠缺和課時少的雙重壓力，把微積分的數(shù)學(xué)本質(zhì)教給學(xué)生。
1 知識體系安排的重要性
華南理工大學(xué)校長李元元在回答偉大科學(xué)家錢學(xué)森先生的“為什么我們的學(xué)�？偸桥囵B(yǎng)不出杰出人才?”的中國教育之問時說，培養(yǎng)創(chuàng)新人才需要創(chuàng)新模式，應(yīng)該從解放思想、轉(zhuǎn)變觀念開始。傳統(tǒng)的教育觀念片面強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識的傳授和知識面的鋪陳，這樣的教學(xué)有時甚至阻礙了學(xué)術(shù)“天才”、尖子生開展學(xué)術(shù)探究的激情和個性張揚。我們嘗試著用“帶著問題打基礎(chǔ)”的學(xué)習(xí)觀念，開展以解決前沿科學(xué)問題或解決重大工程技術(shù)問題為導(dǎo)向的探究式學(xué)習(xí)，將內(nèi)容組織的主要形式變?yōu)椋簭膯栴}情境到學(xué)生活動到意義建構(gòu)到數(shù)學(xué)理論到數(shù)學(xué)運用最后到回顧反思。這中間需要對知識體系進(jìn)行科學(xué)的調(diào)整和安排。過去，西藏農(nóng)牧學(xué)院在分級教學(xué)的高層次班級中使用同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編的《高等數(shù)學(xué)》教材時，通過研究，總把常微分方程一章提前安排在一元函數(shù)微積分后教學(xué)，雖然教材使用不便，但有利于學(xué)生對知識的學(xué)習(xí)與掌握。此教材在新版(第六版)中，終于對深廣度進(jìn)行了修訂和調(diào)整，其中微分方程一章調(diào)整在上冊第七章。這一變化體現(xiàn)的是教育實事求是和創(chuàng)新精神，著實令人欣慰，體現(xiàn)出教材服務(wù)于教學(xué)的精神。
好的知識體系能夠使得學(xué)生在建立知識的內(nèi)在聯(lián)系過程中領(lǐng)悟本質(zhì)。我們要試圖讓一位優(yōu)秀的教師本身成為一本好的軟教材，怎么教，講什么，他心中有數(shù)，他會依賴于心而不是依賴于書。具體在微積分教學(xué)安排上，應(yīng)該將基礎(chǔ)教育和高等教育貫通起來，以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，逐步改變學(xué)生中學(xué)中形成的學(xué)數(shù)學(xué)就是為了做題和考試的思維模式，盡量采用“歸納法”，既講邏輯又講思想，引導(dǎo)學(xué)生通過類比、推廣的思維活動,養(yǎng)成根據(jù)研究的問題探究和學(xué)習(xí)新知識的良好習(xí)慣。
2 圍繞問題組織的教學(xué)
縱觀微積分，吳文俊說“龔教授以其敏銳的目光指出了微積分的核心是單變量的Newton――Leibniz微積分基本定理以及多變量的Stokes公式，可謂切中要害，并使高等院校的初學(xué)者得以輕松地登堂入室。” 正是這一“定理”和“公式”把微積分串聯(lián)了起來，給微積分該怎樣組織教學(xué)以啟迪。
2.1 曲邊梯形的面積從何而來
數(shù)學(xué)來源于生活，因此，微積分教學(xué)要還原問題情境，引導(dǎo)學(xué)生主動參于學(xué)習(xí)過程。曲邊梯形面積的計算就是很好的實際問題，也是開啟微積分教學(xué)大門的鑰匙，通過層層設(shè)問，步步逼近來實現(xiàn)教學(xué)過程。
2.1.1 為什么要求無窮小之和
生活中，不規(guī)則的，變化的事物太多。很多時候我們需要求平均值，但談何容易。通過對曲邊梯形面積的分析構(gòu)造出一個特殊形式的和S = Si≈f ( i) xi，然后試圖求出其極限值。這種無窮小之和是微積分思想的起源，歷史上很多數(shù)學(xué)家進(jìn)行過研究，如阿基米德、費馬、柯西等人。阿基米德這位數(shù)學(xué)史上最早明確指出誤差限度的 值的數(shù)學(xué)家，在解決這類面積時用的就是級數(shù)的有限項之和所成序列的近似法，這就是定積分J = f (x)dx。在積分中值定理
f (x)dx = f ( )(b - a)中f ( )正可謂f (x)在[a,b]上的平均值。
2.1.2 什么是極限及其作用
蘊含在上述問題中的基本思想是通過有限逼近無限，顯然極限研究不可缺少。此時才是引入極限的好時機(jī)。定積分定義比較完整地概括了積分思想，也比較深刻地揭示了極限和定積分概念的實質(zhì)。根限將高等數(shù)學(xué)中不同的內(nèi)容統(tǒng)一到了一起，有非常重要的作用。極限方法是研究數(shù)學(xué)分析的主要方法，是微積分的基礎(chǔ)，也正是由于極限，使得高等數(shù)學(xué)處處充滿變化，有些變化沒完沒了，讓高等數(shù)學(xué)成為研究動態(tài)的數(shù)學(xué)，這正是高等數(shù)學(xué)區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的地方之一。但是關(guān)于極限學(xué)習(xí)，不在于領(lǐng)悟極限的 , 定義，而是通過極限學(xué)習(xí)，培養(yǎng)和樹立學(xué)生的辯證唯物主義思想觀念。
2.2 怎么計算引出的話題
然而利用極限定義的積分，除去個別較為特殊的例子外很難計算。通常的辦法是先計算被積函數(shù)的原函數(shù)，就像加法與減法，乘法與除法是互逆運算一樣，積分和微分也是一對互逆的運算。牛頓和萊布尼茨為我們建立了溝通二者內(nèi)在聯(lián)系的“定理”：f (x)dx =F(b)F(a)。該公式簡單有效，充分表達(dá)了定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，把本來毫不相關(guān)的兩個事物緊密地聯(lián)系起來，使得問題大大簡化，可見其在微積分學(xué)乃至整個高等數(shù)學(xué)上的重要地位，因此，牛頓―萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。那什么是原函數(shù)和不定積分，什么又是微分呢?
2.3 微小變量的商能變成什么
生活中充滿著變化，函數(shù)刻畫變量關(guān)系。自變量改變因變量會隨之改變。自變量的增量改變時，因變量的增量也會改變，不但如此，因變量的增量與自變量的增量之商也改變。當(dāng)自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導(dǎo)數(shù)(微商)：= 。自變量在不同的起始點(即x取值不同)取得增量，研究出來的導(dǎo)數(shù)往往不同。導(dǎo)數(shù)是隨著增量起始點的變化而變化的，從函數(shù)的觀點，又確定了一個函數(shù)(導(dǎo)函數(shù))：f '(x) = ：=
函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)是兩個不同的函數(shù)。導(dǎo)函數(shù)只是反映函數(shù)在一點的局部特征, 它在解決直與曲的矛盾中發(fā)揮了很好的作用，核心思想便是以直代曲，即在微小的鄰域內(nèi)，可以用一段切線段來代替曲線以簡化計算過程。如果要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，就需要在導(dǎo)函數(shù)及函數(shù)間建立起橋梁關(guān)系，微分中值定理扮演了這樣的角色，實現(xiàn)了由局部推斷整體的思想，集中體現(xiàn)在應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)增加、減少、極值、凹凸、拐點等重要性態(tài)以及求極限的洛必達(dá)法則。
2.4 再說定積分
搞清楚了積分和微分的思想和定義，就明白了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。定積分是微分的逆運算，即知道了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，反求原函數(shù)。在應(yīng)用上，定積分作用不僅如此，它被大量應(yīng)用于求和，為了方便在各類數(shù)學(xué)模型上的有效運用，就要進(jìn)一步學(xué)習(xí)和領(lǐng)會微元法的要領(lǐng)，會分析和找“元素”，尋求被積表達(dá)式。最后再給出如平面圖形面積、旋轉(zhuǎn)體體積、變速直線運動的路程、平面曲線弧長、轉(zhuǎn)動慣量、變力作功、曲面面積、液體壓力、重心等一系列實際應(yīng)用問題。在解決問題中加深理解和總結(jié)能利用定積分計算的題目具有的特點。
2.5 方法與技巧
工欲善其事，必先利其器。定積分與不定積分在概念上有根本的區(qū)別又有密切的聯(lián)系，怎么算導(dǎo)數(shù)與不定積分，是求定積分的關(guān)鍵，而極限問題又是其中的重要工具，根據(jù)西藏高等數(shù)學(xué)教學(xué)的實際，方法針對不同的對象和課時可以靈活調(diào)整，深淺可以自由把握，技巧性的知識由學(xué)生的接受程度可多可少。
3 探索后的回顧
圍繞問題組織教學(xué)，使得整個知識體系渾然一體，有機(jī)統(tǒng)一，不再抽象難理解。這種教學(xué)體系貫徹應(yīng)用啟發(fā)式和探討式的教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生追根溯源的求問精神，可以充分地激發(fā)調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情與積極性，可以加深學(xué)生對無限項求和的量變引起質(zhì)變、導(dǎo)數(shù)定義中的無限接近等數(shù)學(xué)思想方法的掌握，通過問題解決的探究過程真正吃透數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科。整個教學(xué)中極限和微積分基本定理起到了一種不可或缺的橋梁紐帶作用，導(dǎo)數(shù)與不定積分既是知識又是方法，最終都統(tǒng)一到微分與積分的現(xiàn)實用處這一核心體系上。
4 結(jié)語
微積分又叫無窮小分析，它的產(chǎn)生革新了數(shù)學(xué)的觀念、思想和方法，是人類思維的偉大成果。其中知識是基礎(chǔ)，方法是中介，思想才是本源。要抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)并解釋這種本質(zhì)，如概念的形成過程、問題解決的途徑探索等。教學(xué)中要與新課程理念有效結(jié)合，讓知識體系中潛在的聯(lián)系與區(qū)別浮出水面，建構(gòu)出微積分新的教學(xué)體系，發(fā)揮數(shù)學(xué)教育的最大價值。
參考文獻(xiàn)
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