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高職院校常微分方程教與學(xué)論文
高職院校常微分方程教與學(xué)論文【1】
摘 要：常微分方程是高職院校理工科專業(yè)開設(shè)的高等數(shù)學(xué)課程中重要的知識(shí)內(nèi)容之一。
文章針對(duì)高職院校的學(xué)生特性和常微分方程知識(shí)點(diǎn)的特性， 分析教學(xué)內(nèi)容及方法，引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，從繁到簡(jiǎn)如何學(xué)好常微分方程相關(guān)內(nèi)容。
關(guān)鍵詞：常微分方程;教與學(xué)
常微分方程是高職院校高等數(shù)學(xué)的一個(gè)組成部分，，在高等數(shù)學(xué)中占據(jù)著重要位置，在理工科的專業(yè)課程中涉及廣泛。
常微分方程不同于一般的方程，一般方程反應(yīng)的是變量之間的函數(shù)關(guān)系式，而常微分方程是反應(yīng)待求函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式，在建立微分方程后，找出滿足該方程的未知函數(shù)的過程，就是解微分方程。
常微分方程對(duì)解決實(shí)際問題具有重要的意義。
常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等。
這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題。
應(yīng)該說，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要，還有待于進(jìn)一步的發(fā)展，使這門學(xué)科的理論更加完善。
高職院校在高等數(shù)學(xué)課程中講解常微分方程，主要是為各專業(yè)課程服務(wù)，使學(xué)生在后續(xù)的專業(yè)課程學(xué)習(xí)和工作中能夠理解分析并運(yùn)用常微分方程，分析處理相關(guān)問題。
一、教學(xué)分析
(一)學(xué)生特性。
目前，高職院校的生源都是高等本科院校錄取后的生源，其來源主要有三類：一是通過普通高考招收普通高中生，二是通過對(duì)口考試招收的職業(yè)高中生，三是3+2、2+3考試招收的中專、職中生。
(二)教學(xué)內(nèi)容特性。
可分離變量的微分方程;一階線性微分方程及其應(yīng)用;二階常系數(shù)齊次線性微分方程和二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。
這些內(nèi)容只是常微分方程領(lǐng)域里的冰山一角，但對(duì)于高職院校學(xué)生來說具有一定的難度。
如何引導(dǎo)學(xué)生掌握相關(guān)的知識(shí)，并將所學(xué)內(nèi)容運(yùn)用到平時(shí)的工作和生活中，最終達(dá)到提高分析和解決問題能力的素質(zhì)目標(biāo)。
是承擔(dān)常微分方程內(nèi)容教學(xué)面臨的一個(gè)具體而現(xiàn)實(shí)的問題。
二、教學(xué)思路
(一)把握學(xué)科特性。
數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，簡(jiǎn)單說來，就是定義、公式、性質(zhì)、定理等的理解與運(yùn)用。
常微分方程作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，學(xué)習(xí)的過程中同樣具有這些特性。
所以我們?cè)趯W(xué)習(xí)定義、公式、性質(zhì)、定理等知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候特別強(qiáng)調(diào)理解的重要性，在學(xué)習(xí)例題和做練習(xí)題時(shí)則強(qiáng)調(diào)能活運(yùn)用的重要性。
(二)把握知識(shí)點(diǎn)特性。
(1)微分方程的基本概念。
從微分方程的定義我們可以知道，一個(gè)方程中只要含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)，就可判斷為微分方程。
所以我們?cè)诶斫饣靖拍畹臅r(shí)候要抓住主要特性。
(2)可分離變量的微分方程。
該微分方程的特點(diǎn)是等式右邊可以分解成兩個(gè)函數(shù)之積，其中一個(gè)僅是x的函數(shù)，另一個(gè)僅是y的函數(shù)，即f(x)，g(x)分別是變量x，y的已知連續(xù)函數(shù).可分離變量的微分方程的 求解方法，一般有如下兩步：
第一步：分離變量g(y)dy=f(x)dx，
第二步：兩邊積分
第三步：計(jì)算上述不定積分，得通解。
因此，求解可分離變量的微分方程，只需兩步：第一步，分析化簡(jiǎn)為可分離變量的微分方程;第二步，兩邊積分求得其通解。
(3)一階線性微分方程及其應(yīng)用。
1)先求出非齊次線性方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解;
2)根據(jù)所求出的齊次方程的通解設(shè)出非齊次線性方程的解(將所求出的齊次方程的通解中的任意常數(shù)C改為待定函數(shù))即可。
3)將所設(shè)解代入非齊次線性方程，解出，并寫出非齊次線性方程的通解。
一階線性微分方程的學(xué)習(xí)最后濃縮成兩個(gè)公式，一是齊次線性方程通解的表達(dá)式;而是非齊次線性方程通解的表達(dá)式。
一階線性微分方程的應(yīng)用實(shí)際上是這兩個(gè)公式運(yùn)用于實(shí)際的過程，或者說運(yùn)用這兩個(gè)公式解決實(shí)際問題的一個(gè)過程。
(4)二階常系數(shù)齊次線性微分方程。
首先應(yīng)會(huì)判斷什么是二階常系數(shù)齊次線性微分方程，然后理解二階常系數(shù)齊次線性微分方程通解的形式。
求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解的步驟為：
第一步，寫出微分方程的特征方程;
第二步，求出特征根;
第三步，根據(jù)特征根的情況按下表寫出所給微分方程的通解。
兩個(gè)不等實(shí)根
兩個(gè)相等實(shí)根
一對(duì)共軛復(fù)根
所以，求解二階常系數(shù)齊次線性微分方程，掌握這三種情況，直接套用公式就能游刃而解。
(5)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。
二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解方法，由非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)定理可知，求非齊次方程的通解，可先求出其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，再設(shè)法求出非齊次線性方程的某個(gè)特解，二者之和就是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程之通解。
三、教學(xué)結(jié)論
常微分方程這一模塊，涉及到微分方程的基本概念;可分離變量的微分方程;一階線性微分方程及其應(yīng)用;二階常系數(shù)齊次線性微分方程和二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。
在具體的學(xué)習(xí)過程中，首先會(huì)判斷屬于那種形式的微分方程，如果是可分離變量的微分方程，直接分離變量再積分就可。
如果是一階線性微分方程，根據(jù)齊次和非齊次而套用不同的通解公式即可求出通解。
如果是二階常系數(shù)齊次線性微分方程或者二階常系數(shù)非齊次線性微分方程則根據(jù)實(shí)際情況套用相關(guān)公式，再計(jì)算化簡(jiǎn)涉就能求得通解。
所以，在解常微分方程的過程中，先看微分方程符合哪類，然后再根據(jù)具體情況運(yùn)用公式求通解。
求解常微分方程簡(jiǎn)單而言就是套用公式的過程。
高職院校學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，只看到了常微分方程復(fù)雜的表面，實(shí)際上如果稍微深入研究就會(huì)明白，在常微分方程類型確定后，只是一個(gè)套用公式由繁化簡(jiǎn)的過程。
什么類型就套用什么公式，然后計(jì)算化簡(jiǎn)求通解。
綜上所述，我們?cè)诔Ｎ⒎址匠痰膶W(xué)習(xí)中要透過繁雜的表面看簡(jiǎn)單的本質(zhì)，透過繁瑣的文字說明看體現(xiàn)本質(zhì)的核心內(nèi)容。
這樣就能由繁到簡(jiǎn)的學(xué)好常微分方程。
參考文獻(xiàn)：
[1] 王高雄，周之銘.常微分方程[M].2 版.北京：高等教育出版社，1983
[2] 李宏平.廖仲春.應(yīng)用數(shù)學(xué)[M].湖南大學(xué)出版社，2010
高職數(shù)學(xué)常微分方程教學(xué)論文【2】
摘 要： 本文對(duì)常微分方程的案例教學(xué)進(jìn)行了探索，分析了如何在課程教學(xué)中引入適當(dāng)?shù)陌咐{(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
關(guān)鍵詞： 常微分方程 教學(xué)案例 高職數(shù)學(xué)教學(xué)
微分方程是研究自然現(xiàn)象及現(xiàn)實(shí)生活中很多問題的強(qiáng)有力工具，一般涉及“改變”、“衰變”、“邊際”、“運(yùn)動(dòng)”、“逃跑”等等詞語(yǔ)的確定性問題往往是微分方程模型，因而應(yīng)用極其廣泛。
然而，常微分方程這門課理論性很強(qiáng)，其概念、解法、定理等均較為抽象，最后導(dǎo)致學(xué)生只會(huì)求解方程，卻不知道有什么用，更有不少學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)心理，這與我們的教育目標(biāo)是背道而馳的。
歸結(jié)起來，原因有三：一是教師主導(dǎo)，學(xué)生被動(dòng)接受，學(xué)生的主觀能動(dòng)性不能正常發(fā)揮;二是強(qiáng)調(diào)理論，忽視實(shí)踐;三是教學(xué)手段單一，沒有充分使用信息化的工具。
為了彌補(bǔ)以上不足，以一階微分方程中的可分離變量類型的講解為例，我進(jìn)行了改進(jìn)，選取簡(jiǎn)單且學(xué)生感興趣的案例引入相應(yīng)的內(nèi)容。
例1(動(dòng)力學(xué)問題：跳傘運(yùn)動(dòng)員為什么能安全著地)：降落傘打開后，運(yùn)動(dòng)員下落時(shí)的阻力驟增，使下落速度的增加減緩，從而保障了跳傘運(yùn)動(dòng)員的安全。
在速度不太大的情況下，空氣阻力可以看做與速度v成正比，下面我們用微分方程的相關(guān)知識(shí)研究這個(gè)問題。
這里，不妨假設(shè)運(yùn)動(dòng)員一開始就打開了降落傘，并且初始速度為零(事實(shí)上，這一假設(shè)并不影響最后的結(jié)果)。
由牛頓第二定律，建立運(yùn)動(dòng)員下落的運(yùn)動(dòng)方程：
以上列舉了三個(gè)例題，當(dāng)然在實(shí)際過程中可舉一例作為引入，其他作為練習(xí)。
在實(shí)際授課過程中，可以先拋出問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。
待學(xué)習(xí)相關(guān)解法后，鼓勵(lì)學(xué)生自己求解，同時(shí)利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件如mathematiaca\matlab等進(jìn)行驗(yàn)證。
整個(gè)過程充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，實(shí)現(xiàn)了理論和實(shí)踐的結(jié)合，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力收到了較好的效果。
在常微分方程教學(xué)中結(jié)合學(xué)生感興趣的案例教學(xué)，將理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，一方面可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，另一方面可以使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。
在此過程中還可以逐步培養(yǎng)他們對(duì)數(shù)學(xué)建模的興趣，提高他們分析問題、解決問題的能力。
參考文獻(xiàn)：
[1]王高雄等.常微分方程(第三版).高等教育出版社.北京，2006.
[2]陽(yáng)明盛，林建華.mathematica基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)軟件.大連理工出版社.大連，2003.