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初等數(shù)論教學(xué)中類比法的應(yīng)用
初等數(shù)論教學(xué)中類比法的應(yīng)用
摘 要：本文以初等數(shù)論課程教學(xué)活動的開展為研究對象，著眼于對類比法教學(xué)方式的應(yīng)用，結(jié)合初等數(shù)論教學(xué)案例，分析了類比法這一教學(xué)手段在教學(xué)實(shí)踐中的開展情況及其特殊優(yōu)勢，旨在為類比法進(jìn)一步應(yīng)用于初等數(shù)論教學(xué)過程，提供一定的參考與幫助。
關(guān)鍵詞：初等數(shù)論 教學(xué) 類比法 應(yīng)用 分析
類比法作為一種有效的教學(xué)方法，其最為突出的優(yōu)勢在于，能夠引導(dǎo)學(xué)生將不同的對象聯(lián)系起來，從而達(dá)到加深學(xué)生對相關(guān)知識點(diǎn)認(rèn)知與理解程度的目的。將其應(yīng)用于初等數(shù)論教學(xué)中，不但有助于提高學(xué)生對相關(guān)知識點(diǎn)的掌握程度，同時還有助于形成良好的數(shù)學(xué)思維。本文試結(jié)合教學(xué)實(shí)踐案例，對其做詳細(xì)分析。
1 類比法應(yīng)用于最大公因數(shù)教學(xué)
教師首先需要針對此項(xiàng)教學(xué)內(nèi)容的課時進(jìn)行細(xì)致安排，確保學(xué)生能夠充分認(rèn)識到有關(guān)“最大公因數(shù)”知識點(diǎn)的基本內(nèi)容。在此基礎(chǔ)之上，從基本概念、性質(zhì)、計算方式以及特征等多個方面入手，以類比法為主要手段，引導(dǎo)學(xué)生自主認(rèn)識到有關(guān)“最小公倍數(shù)”知識點(diǎn)的基本內(nèi)容。
教師應(yīng)用類比法分析“最大公因數(shù)”知識點(diǎn)的過程中，可按照如下方式實(shí)施：
第一步：分析“最大公因數(shù)”基本定義：即對于整數(shù)a1，a2，…，an而言，與之相對應(yīng)的公共因數(shù)可以定義為a1，a2，…，an的公因數(shù)。與此同時，對于不全為零的整數(shù)b1，b2，…，bn而言，其所有公因數(shù)當(dāng)中，數(shù)值最大的公因數(shù)可定義為整數(shù)中的最大公因數(shù)。
其具體的表達(dá)方式應(yīng)當(dāng)為：(b1，b2，…，bn)。同時，對于非零整數(shù)而言，與之相對應(yīng)的因數(shù)個數(shù)是有限集。因此可以證實(shí)：最大公因數(shù)(b1，b2，…，bn)是實(shí)際存在，且為正整數(shù)。
第二步：研究“最大公因數(shù)”基本定理：即對于任何整數(shù)集a1，a2，…，an而言，滿足如下等式：(1)：(a1，a2，…，an)=(|a1|，|a2|，…，|an|);同時也滿足(2)：(a，1)=1;(a，0)=(a，a)=|a|。同時，(a，b)=(b，a)。
在此基礎(chǔ)之上，若定義x，y，z當(dāng)中，x為整數(shù)，y為素數(shù)，那么對于(y，x)而言，合理的取值結(jié)果可以分為兩種情況：(1)是(y，x)=1;(2)是(y，x)=y|x。在此基礎(chǔ)之上，若進(jìn)一步應(yīng)用類比法，定義a取值為(by+z)，那么可以推斷得出：(a，b)=(b，z)。
第三步：引導(dǎo)學(xué)生自主展開對“最大公因數(shù)”相關(guān)數(shù)值的求解：教師需要在教導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識如何應(yīng)用類比法推斷公式的基礎(chǔ)之上，引導(dǎo)學(xué)生自主展開對相關(guān)知識點(diǎn)的求解。例如，在上一步驟教師所進(jìn)行的教學(xué)過程當(dāng)中，已得出了兩個有關(guān)“最大公因數(shù)”的基本定義：
(1)(a，1)=1;(a，0)=(a，a)=|a|;(2)定義a取值為(by+z)，則有(a，b)=(b，z)。在上述兩項(xiàng)“最大公因數(shù)”基本性質(zhì)定理的基礎(chǔ)之上，學(xué)生可以利用輾轉(zhuǎn)相除法計算得出，在任意n個非零整數(shù)中的最大公因數(shù)數(shù)值。
基于上述分析不難看出：在初等數(shù)論的教學(xué)過程當(dāng)中，整數(shù)的整除理論可以說是教學(xué)的基礎(chǔ)與根本所在。以類比法為手段，組織有關(guān)最大公因數(shù)的教學(xué)內(nèi)容，能夠在提高教學(xué)質(zhì)量的同時，加深學(xué)生的理解。
2 類比法應(yīng)用于同余式教學(xué)
在有關(guān)同余式性質(zhì)以及等式基本性質(zhì)知識點(diǎn)的研究過程當(dāng)中，同樣可借助于對類比法的合理應(yīng)用，加深學(xué)生對于此項(xiàng)知識點(diǎn)的認(rèn)知。在此過程當(dāng)中，教師應(yīng)用類比法方式展開教學(xué)的最主要目的：在于既體現(xiàn)同余式性質(zhì)與等式基本性質(zhì)聯(lián)系的同時，比較上述兩者之間存在的異同點(diǎn)。具體而言，可按照如下方式實(shí)施：
第一步：引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到固定模所對應(yīng)同余式與常規(guī)等式之間的相同點(diǎn)。具體來說，對于固定模a而言，a自身所對應(yīng)的同余式在如下幾個方面與等式有著多處相同點(diǎn)。具體如下所示：
(1)首先，xy(mod a)所需要滿足的最基本的充要條件為：x=y+at(且t∈Z)換句話來說，該充要條件還可進(jìn)一步拓展成為：a|x-y;其次，對于存在同余關(guān)系的等式而言，有以下幾個方面的算律是必須遵循的：同余關(guān)系從本質(zhì)上來說屬于一種特殊的等價關(guān)系。
(2)在對同余式進(jìn)行加/減操作的過程當(dāng)中，若定義xy(mod a)，且滿足zu(mod a)。聯(lián)立上述同余式，則可以推斷得出存在于x、y、z、u之間的對應(yīng)關(guān)系：如x±zy±u(mod a);在對同余式進(jìn)行相乘操作的過程當(dāng)中，若同樣定義xy(mod a)，且滿足zu(mod a)。
聯(lián)立上述同余式，則可以推斷得出存在于x、y、z、u之間的對應(yīng)關(guān)系：如xzyu(mod a)。
第二步：教師可以在得出上述基本算律的基礎(chǔ)之上，就上述有關(guān)同余式進(jìn)行加/減操作以及乘法操作過程當(dāng)中所表現(xiàn)出的基本特點(diǎn)，建立相應(yīng)的運(yùn)算公式。但需要注意的是：對于同余式而言，消去律在常規(guī)意義上來說是不成立的。
這也就是說：在基于xzyz(mod a)的基礎(chǔ)之上，并無法準(zhǔn)確的推斷得出：xy(mod a)。教師需要在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到上述問題的基礎(chǔ)之上，采取類比方式，引導(dǎo)學(xué)生推斷得出以下結(jié)果：即對于同余式“xzyz(mod a)”而言，可以判定的是：
xy(mod a/(a，z))
換句話來說，若在該同余式當(dāng)中的(z，a)取值為1，那么上述等式可以直接簡化成為“xy(mod a)”。這一過程當(dāng)中所涉及到的基本定理就在于：當(dāng)出現(xiàn)同余式兩邊公因數(shù)z與模a存在互素關(guān)系的情況下，則可以在該同余式兩邊直接約去公因數(shù)“z”，達(dá)到簡化同余式的目的。
基于上述分析不難發(fā)現(xiàn)：在將類比法應(yīng)用于該知識點(diǎn)教學(xué)的過程當(dāng)中，能夠盡量避免同余式運(yùn)算過程的抽象性，提高學(xué)生對于整個計算過程中以及數(shù)論知識的理解程度，同時加深記憶。
3 結(jié)語
類比法最為突出的優(yōu)勢在于，能夠引導(dǎo)學(xué)生將不同的對象聯(lián)系起來，達(dá)到加深學(xué)生對相關(guān)知識點(diǎn)認(rèn)知與理解。這與初等數(shù)論教學(xué)的目的相吻合。本文結(jié)合相關(guān)教學(xué)案例，研究類比法在教學(xué)過程中的應(yīng)用。
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