構(gòu)造性數(shù)學(xué)及其哲學(xué)意義論文

時(shí)間：2022-10-12 13:53:24 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文我要投稿

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　　摘要：本文在介紹了構(gòu)造性數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)闡述了它的數(shù)學(xué)原則和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，表明了可構(gòu)造性的數(shù)學(xué)底蘊(yùn)。最后通過(guò)對(duì)構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的原因和其所要達(dá)到的目的的分析，論述了構(gòu)造性數(shù)學(xué)的重大意義，同時(shí)評(píng)析了我國(guó)學(xué)術(shù)界對(duì)它的一些認(rèn)識(shí)。

構(gòu)造性數(shù)學(xué)及其哲學(xué)意義論文

　　關(guān)鍵詞： 構(gòu)造性數(shù)學(xué) 遞歸函數(shù) 可靠性

　　一，構(gòu)造性數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展

　　構(gòu)造性數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要領(lǐng)域。它的根本特征就是對(duì)可構(gòu)造性的強(qiáng)調(diào)。所謂可構(gòu)造性是指能具體地給出某一對(duì)象或者能給出某一對(duì)象的計(jì)算方法。即當(dāng)我們把能證實(shí)“存在一個(gè)Ｘ滿足性質(zhì)Ａ”的證明稱為構(gòu)造性的，是指能從這個(gè)證明中具體地給出滿足性質(zhì)Ａ的一個(gè)ｘ；或者能從此證明中得到一個(gè)機(jī)械的方法，使其經(jīng)有限步驟后即能確定滿足性質(zhì)Ａ的這個(gè)ｘ來(lái)。反之，經(jīng)典數(shù)學(xué)（非構(gòu)造性數(shù)學(xué)）中的純存在性證明被稱之為非構(gòu)造的。非構(gòu)造性證明主要是通過(guò)使用反證法來(lái)實(shí)現(xiàn)的。人們一般把這種強(qiáng)調(diào)可構(gòu)造性的數(shù)學(xué)稱為構(gòu)造性數(shù)學(xué)。

　　構(gòu)造性數(shù)學(xué)最早起源于一種構(gòu)造性哲學(xué)思想，這種思想可以追溯到康德那里�？档抡J(rèn)為，數(shù)學(xué)的最終真理性在于數(shù)學(xué)概念可以通過(guò)人的智慧構(gòu)造出來(lái)。他說(shuō)：“數(shù)學(xué)必須根據(jù)純粹直觀，在純直觀里它才能夠具體地，然而卻是先天地把它的一切概念提供出來(lái)，或者像人們所說(shuō)的那樣，把這些概念構(gòu)造出來(lái)”。又說(shuō)“數(shù)學(xué)知識(shí)是從概念的構(gòu)造得出來(lái)的理性知識(shí)。構(gòu)造一個(gè)概念，意即先天地提供出來(lái)與概念相對(duì)應(yīng)的直觀�！保ā玻薄常冢常鬼�(yè)）后來(lái)，１９世紀(jì)德國(guó)的克羅內(nèi)克進(jìn)一步指出：“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余都是人做的工作�！敝鲝堊匀粩�(shù)與數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)最根本的和直觀上最可信的出發(fā)點(diǎn)，其它一切數(shù)學(xué)對(duì)象都必須能在有限步驟內(nèi)從自然數(shù)中構(gòu)造出來(lái)，否則就不能作為數(shù)學(xué)對(duì)象。由此克羅內(nèi)克把許多數(shù)學(xué)成果劃到不合法的行列里，如無(wú)限集合、純存在性證明等。但由于他批判的多建設(shè)的少，故其思想在當(dāng)時(shí)并未產(chǎn)生很大影響。另外，彭加勒、勒貝格等大數(shù)學(xué)家也都是倡導(dǎo)構(gòu)造性數(shù)學(xué)研究的有名人物。但是，所有這些人提倡的大都只是一種數(shù)學(xué)哲學(xué)的思想，他們實(shí)際的數(shù)學(xué)工作并未嚴(yán)格地遵循自己的哲學(xué)思想。因此，現(xiàn)代意義的構(gòu)造性數(shù)學(xué)應(yīng)以布勞威爾的直覺(jué)主義數(shù)學(xué)為開(kāi)端，迄今，在構(gòu)造性數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域里，由于宗旨、觀點(diǎn)和方法的不同，已經(jīng)形成了一些不同的學(xué)派。最著名的除了布勞威爾的直覺(jué)主義數(shù)學(xué)以外，還有希爾伯特的元數(shù)學(xué)、畢曉普等人的構(gòu)造性數(shù)學(xué)以及馬爾科夫的算法論等。布勞威爾的直覺(jué)主義數(shù)學(xué)和希爾伯特的元數(shù)學(xué)，我國(guó)數(shù)學(xué)哲學(xué)界普遍比較熟悉，故本文不再表述。這里我們僅就后來(lái)發(fā)展起來(lái)的畢曉普、馬爾科夫的構(gòu)造性數(shù)學(xué)作些簡(jiǎn)述。（〔２〕、〔３〕第１０１—１０９頁(yè)）

　　以畢曉普、邁希爾等人為代表的構(gòu)造性數(shù)學(xué)是一個(gè)與早先直覺(jué)主義數(shù)學(xué)齊名但又不同于它的新的構(gòu)造性數(shù)學(xué)。他們的構(gòu)造性數(shù)學(xué)研究是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，用普通邏輯于可編碼的對(duì)象和遞歸函數(shù)。他們所關(guān)心的不是數(shù)學(xué)的奠基問(wèn)題，而是要用構(gòu)造性方法來(lái)研究數(shù)學(xué)。他們把構(gòu)造性數(shù)學(xué)看成古典數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，在這個(gè)分支中所討論的對(duì)象都要求是可計(jì)算的。以畢曉普的工作為例，他認(rèn)為只證明一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象在邏輯上必然存在是不夠的，還必須擬定一種有限而機(jī)械的辦法把這個(gè)對(duì)象構(gòu)造出來(lái)。他不用非直觀的概念來(lái)重建數(shù)學(xué)，而是從標(biāo)準(zhǔn)的算術(shù)規(guī)則和有理數(shù)出發(fā)，通過(guò)避開(kāi)“理想”觀念并不斷地檢驗(yàn)從直觀生成的對(duì)象和定理，逐步地進(jìn)行構(gòu)造，以求得數(shù)學(xué)的可信性。他與布勞威爾不同，他不去全盤地否定康托的集合論，而是把它加以改造，使之具有構(gòu)造的合理性。如確定一個(gè)集合，原來(lái)康托的樸素定義只要求給出一個(gè)判別集合中元素的規(guī)則即可，而畢曉普認(rèn)為還應(yīng)要求擬定出一個(gè)辦法來(lái)真正構(gòu)造集合的一個(gè)元素并證明集合中兩個(gè)元素是不同的。這樣，則可使康托集合論中的一條最有爭(zhēng)議的公理——選擇公理成為完全可以接受的了。他們把經(jīng)典數(shù)學(xué)的基本概念算法化，并從而考慮哪些定理在構(gòu)造意義下仍然成立，哪些定理不能成立以及如何改造等，由此發(fā)展出相當(dāng)大的一部分有價(jià)值的數(shù)學(xué)。１９６７年畢曉普的《構(gòu)造性分析》的出版，標(biāo)志著這一新的構(gòu)造性數(shù)學(xué)的建立，而隨后《構(gòu)造性泛函分析》的問(wèn)世，則表明了這一領(lǐng)域的新進(jìn)展。

　　構(gòu)造性數(shù)學(xué)的另一個(gè)新體系是由馬爾科夫、沙寧創(chuàng)建的。他們的構(gòu)造性數(shù)學(xué)研究是以算法概念為基礎(chǔ)的，即把其它一切概念都?xì)w約到算法之上。在馬爾科夫那里，所有的定義都用日常語(yǔ)言表達(dá)，所有引用實(shí)無(wú)窮的話都嚴(yán)格地避免，并采用了直覺(jué)主義邏輯。他們對(duì)構(gòu)造分析學(xué)作了相當(dāng)深入的研究，對(duì)于許多數(shù)學(xué)分支的算法化以及制定構(gòu)造邏輯的語(yǔ)義學(xué)都作了很可觀的工作。如他把實(shí)數(shù)定義成一種逐次逼近的算法，實(shí)函數(shù)也就等同于一個(gè)算法。他的正規(guī)算法就是目前少數(shù)幾個(gè)力量最強(qiáng)的精確化的算法概念。

　　以畢曉普、馬爾科夫等人為代表的構(gòu)造性數(shù)學(xué)，是對(duì)早先直覺(jué)主義數(shù)學(xué)的發(fā)展、揚(yáng)棄。它一方面承繼了直覺(jué)主義的基本主張，強(qiáng)調(diào)在構(gòu)造數(shù)學(xué)內(nèi)部要求“證明存在一個(gè)具有性質(zhì)Ｐ的ｘ，必須指出一個(gè)有限的方法來(lái)構(gòu)造ｘ，以及找出一個(gè)有限的方法來(lái)證明ｘ具有性質(zhì)Ｐ”。但另一方面，它又不同于直覺(jué)主義數(shù)學(xué)，它不象直覺(jué)主義數(shù)學(xué)那樣極端地要把全部數(shù)學(xué)都“構(gòu)造化”，他們只是想從構(gòu)造性的角度建立一門有別于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的新學(xué)數(shù)學(xué)，因?yàn)樵谒麄兛磥?lái)，從構(gòu)造的觀點(diǎn)來(lái)研究，對(duì)許多老問(wèn)題都會(huì)有新的見(jiàn)解。他們認(rèn)為構(gòu)造性數(shù)學(xué)和非構(gòu)造性數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大傾向，是可以并行發(fā)展和相互促進(jìn)的。

　　二構(gòu)造性數(shù)學(xué)的原則與基礎(chǔ)

　　如前所述，對(duì)可構(gòu)造性的強(qiáng)調(diào)是構(gòu)造性數(shù)學(xué)的根本特征，其實(shí)也可以說(shuō)，這就是構(gòu)造性數(shù)學(xué)的基本數(shù)學(xué)原則。它要求一個(gè)關(guān)于“存在一個(gè)具有性質(zhì)Ｐ的ｘ的證明”，必須解釋ｘ的構(gòu)造是怎樣實(shí)行的。這與通�！凹兇獯嬖谛宰C明”的做法不一樣，在那里，一個(gè)具有性質(zhì)Ｐ的ｘ的存在性是通過(guò)采用指出假設(shè)“ｘ不存在”就會(huì)導(dǎo)致矛盾的辦法來(lái)證明的。從構(gòu)造性的觀點(diǎn)看，后一證明只是表明“ｘ不可能不存在”，但是它并未給出尋找ｘ的辦法。此外，甚至有了這樣一種辦法，構(gòu)造主義者還必須采取一些附加的構(gòu)造性辦法來(lái)證明ｘ具有性質(zhì)Ｐ。因此，僅僅證明如果ｘ不具有性質(zhì)Ｐ就會(huì)導(dǎo)致矛盾是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。為了充分認(rèn)識(shí)構(gòu)造性數(shù)學(xué)與非構(gòu)造數(shù)學(xué)之間的這種戲劇性差別，我們有必要用一個(gè)例子給予說(shuō)明。如代數(shù)基本定理：

　　任何復(fù)系數(shù)的非常數(shù)多項(xiàng)式ｆ至少有一個(gè)復(fù)根。（Ⅰ）

　　對(duì)于（Ⅰ）最著名的非構(gòu)造性證明是，假設(shè)ｆ不取零值，把劉維爾定理用于ｆ的倒數(shù)，得出１／ｆ是常數(shù)，于是ｆ是常數(shù)，矛盾，證明完成。從構(gòu)造的觀點(diǎn)看，這里證明的并不是代數(shù)基本定理，而是較弱的命題：

　　不取零值的復(fù)數(shù)上多項(xiàng)式是常項(xiàng)。（Ⅱ）

　　因?yàn)樯鲜鲎C明不能幫助你計(jì)算１００階多項(xiàng)式的根，它沒(méi)有給出多項(xiàng)式求根的方法。但是布勞威爾卻對(duì)于首項(xiàng)系數(shù)為１的多項(xiàng)式的代數(shù)基本定理給出了一個(gè)構(gòu)造性的證明（證明的大體思路可參見(jiàn)文〔４〕）。有了這個(gè)證明，就可以求任意階（如１００階）多項(xiàng)式的根了。

　　應(yīng)該指出，每一個(gè)構(gòu)造性證明也是同一命題的一個(gè)經(jīng)典證明。布勞威爾的證明也是代數(shù)基本定理的一個(gè)經(jīng)典證明。盡管布勞威爾的證明確實(shí)比用劉維爾定理的證明更長(zhǎng)，但它也告訴了我們更多的信息。代數(shù)基本定理在構(gòu)造性數(shù)學(xué)中被布勞威爾解釋成：有一個(gè)適用于任何復(fù)系數(shù)的非常數(shù)多項(xiàng)式ｆ的有限方法，我們能夠用以計(jì)算ｆ的根。

　　以上只是我們例舉的一個(gè)例子，其實(shí)每一個(gè)經(jīng)典定理都是向構(gòu)造性數(shù)學(xué)提出的一個(gè)挑戰(zhàn)：找出一個(gè)構(gòu)造性的說(shuō)法，并給它以一個(gè)構(gòu)造性的證明。然而在多數(shù)情況下，找出經(jīng)典定理所對(duì)應(yīng)的構(gòu)造性內(nèi)容絕非易事。許多經(jīng)典的定理至今也看不出將其進(jìn)行構(gòu)造性改造的途徑，如佐恩引理等。故在構(gòu)造性數(shù)學(xué)內(nèi)部不得不暫時(shí)將這些有意義的經(jīng)典數(shù)學(xué)內(nèi)容排斥在外。但應(yīng)指出，這種排斥并非邏輯的、必然的排斥。

　　另一個(gè)重點(diǎn)問(wèn)題是構(gòu)造性數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題。這是一個(gè)涉及構(gòu)造性數(shù)學(xué)的可靠性，以及可構(gòu)造性何以能夠得以實(shí)現(xiàn)的重要問(wèn)題。對(duì)此我們分兩部分來(lái)談。

　　首先，我們來(lái)看直覺(jué)主義數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。眾所周知，直覺(jué)主義數(shù)學(xué)是以自然數(shù)理論為其數(shù)學(xué)上的出發(fā)點(diǎn)。因此對(duì)于直覺(jué)主義數(shù)學(xué)的建構(gòu)來(lái)說(shuō)，首要的問(wèn)題就是如何依據(jù)構(gòu)造的標(biāo)準(zhǔn)在自然數(shù)的基礎(chǔ)上建立起它的實(shí)數(shù)理論，因?yàn)閷?shí)數(shù)理論是整個(gè)分析學(xué)的基礎(chǔ)。有理數(shù)的構(gòu)建是容易的，只要把有理數(shù)作為整數(shù)對(duì)引進(jìn)即可。關(guān)鍵是如何在構(gòu)造意義下給出實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的概念。為了構(gòu)造實(shí)數(shù)概念，布勞威爾首先獨(dú)創(chuàng)了“屬種”的概念以取代康托集合概念。所謂屬種就是按照構(gòu)造性的標(biāo)準(zhǔn)重新定義的一種集合：它等同于已構(gòu)成的數(shù)學(xué)對(duì)象所可能具有的一種性質(zhì)，依據(jù)這一性質(zhì)，我們可以有效地去確定這些對(duì)象是否屬于這一“屬種”。進(jìn)一步布勞威爾引進(jìn)了“選擇序列”的概念：“在任何時(shí)刻，一個(gè)選擇序列ａ系由一個(gè)有窮的節(jié)連同對(duì)它的延伸的若干限制組成”。如此，布勞威爾便以“有理數(shù)選擇序列”取代了經(jīng)典分析中的有理數(shù)柯西序列概念，并稱之為“實(shí)數(shù)生成子”。于是構(gòu)造意義下的單個(gè)實(shí)數(shù)就被定義為實(shí)數(shù)生成子的一個(gè)等價(jià)屬種。實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的概念建構(gòu)的比較晚，直到１９１９年，布勞威爾才利用“展形”概念巧妙地建構(gòu)了符合構(gòu)造性要求的連續(xù)統(tǒng)概念（具體的建構(gòu)方法可參見(jiàn)〔５〕第１６８—１７０頁(yè)）。在那里，每個(gè)可能的選擇序列就是一個(gè)可構(gòu)造意義下的單個(gè)實(shí)數(shù)，而整個(gè)展形就是可構(gòu)造意義下的實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)，兩者是同時(shí)構(gòu)造出來(lái)的。所謂展形，實(shí)際上也就是一種“自由選擇序列”——其中沒(méi)有對(duì)元素的生成作任何限制，而只是要求這種延伸能按照自然數(shù)的次序進(jìn)行下去。這樣，作為這種自由選擇的結(jié)果就不只是某個(gè)特殊的序列，而是各種可能的序列。實(shí)數(shù)理論的重構(gòu)，為直覺(jué)主義數(shù)學(xué)的展開(kāi)奠定了基礎(chǔ)。

　　至此，或許有人會(huì)認(rèn)為直覺(jué)主義數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)已經(jīng)得到圓滿的重構(gòu)和解釋，其實(shí)不然，因?yàn)橹庇X(jué)主義者對(duì)其一直強(qiáng)調(diào)的“可構(gòu)造性”始終沒(méi)有給出一個(gè)明確的解釋。直覺(jué)主義者外爾就曾認(rèn)為：“反唯象論的構(gòu)造方法的成功是不可否認(rèn)的。然而它所依據(jù)的最終基礎(chǔ)仍是一個(gè)謎，甚至在數(shù)學(xué)中也是如此。”（〔６〕，第１１２頁(yè)）人們對(duì)于什么是“直覺(jué)上可構(gòu)造的”這一根本性概念有著不同的理解。如有的構(gòu)造主義者認(rèn)為，真正的數(shù)學(xué)是不應(yīng)包含“否定”概念的，因?yàn)槿魏畏穸ㄐ缘拿}（按布勞威爾、海丁的解釋，命題一ｐ就意味著“我們給出了這樣一種構(gòu)造。由證明ｐ的構(gòu)造出發(fā)就會(huì)得出矛盾”），都假設(shè)了一個(gè)不可能實(shí)現(xiàn)的構(gòu)造（證明ｐ的構(gòu)造）。另外，也有的直覺(jué)主義者對(duì)前面提到的“自由選擇序列”（展形）提出了懷疑，但不借助這一概念直覺(jué)主義的實(shí)數(shù)理論就無(wú)法得到重建。之所以人們對(duì)什么是直覺(jué)上“可構(gòu)造的”沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，其原因就在于“可構(gòu)造的”只是一個(gè)不精確的日常用語(yǔ)，因而會(huì)被不同的人作不同的理解。盡管在直覺(jué)主義者看來(lái)，這一概念是無(wú)需解釋的，也是不可解釋的，但在非直覺(jué)主義者看來(lái)，卻有著進(jìn)一步解釋的必要。這里我們僅簡(jiǎn)單地介紹克林的解釋。如所周知，直覺(jué)主義概念全部都被歸約為一個(gè)基本概念，這就是“構(gòu)造”。然而直覺(jué)主義者只是隱蔽地使用了這個(gè)概念，克林等人的解釋就是要把這種隱蔽的歸約公開(kāi)化。由于整個(gè)解釋過(guò)程繁長(zhǎng)，故只給出其結(jié)論（詳見(jiàn)〔３〕第９７—９８頁(yè)，〔７〕第５４５—５５１頁(yè)）。克林的結(jié)論是：直覺(jué)主義的構(gòu)造等同于部分可計(jì)算函數(shù)。進(jìn)一步，按他的解釋，布勞威爾的“自由選擇序列”不過(guò)是任意的序列；布勞威爾的函數(shù)則是部分可計(jì)算函數(shù)�？肆种赋觯挥写嬖谙鄳�(yīng)遞歸函數(shù)的公式才能在直覺(jué)主義系統(tǒng)內(nèi)證明。由此，直覺(jué)主義數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)就被克林歸約到相遞歸函數(shù)或可計(jì)算函數(shù)之上了。另外，哥德?tīng)枌?duì)構(gòu)造性也作了類似于克林的解釋，不過(guò)哥德?tīng)柨扇菰S構(gòu)造的類要寬得多，他不是把構(gòu)造等同于可計(jì)算函數(shù)，而是等同于可計(jì)算泛函（〔３〕第９９—１００頁(yè)）。

　　下面我們?cè)賮?lái)看看后期構(gòu)造數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。直覺(jué)主義數(shù)學(xué)之后的構(gòu)造性數(shù)學(xué)表現(xiàn)出多元的傾向，它們?nèi)菰S的數(shù)學(xué)對(duì)象也更寬，采取的構(gòu)造性方案也各有特點(diǎn)。這里我們無(wú)意對(duì)它們的細(xì)節(jié)進(jìn)行考察，只是想簡(jiǎn)要地分析一下各自的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。斯派克是直覺(jué)主義數(shù)學(xué)之后較早表現(xiàn)出構(gòu)造性傾向的數(shù)學(xué)家之一，他在１９４９年就考察了一類較窄的實(shí)數(shù)，他稱之為原始遞歸實(shí)數(shù)。它以（１／２）［ｎ］的精度來(lái)逼近：

　　其中ｆ′、ｆ″、ｇ均是原始遞歸函數(shù)。他還考慮了其它各種類型的逼近，如用級(jí)數(shù)ｆ［，（ｎ）］／ｇ［ｎ］部分和來(lái)逼近。羅賓遜（１９５１年）、里斯（１９５４年）等后來(lái)又給出了更廣一類的實(shí)數(shù)，稱為可計(jì)算實(shí)數(shù)，也是利用遞歸函數(shù)進(jìn)行逼近而得出的。不過(guò)為了建立構(gòu)造性分析學(xué)，更主要的是要給出構(gòu)造意義下的函數(shù)乃至泛函的概念。巴拿赫和馬祖爾在１９５９年給出了一個(gè)叫可計(jì)算實(shí)變函數(shù)的概念（〔３〕第１０３頁(yè)）�？肆忠部紤]了一類部分可計(jì)算泛涵，這些泛函使每個(gè)函數(shù)ｆ都與一相對(duì)于ｆ可計(jì)算的部分函數(shù)相關(guān)聯(lián)。到了６０年代，構(gòu)造性數(shù)學(xué)有了一個(gè)大的發(fā)展。首先邁希爾與德克創(chuàng)立和發(fā)展了一種整數(shù)集的遞歸等價(jià)物的理論，這個(gè)理論的特點(diǎn)是用整數(shù)集換任意集，用部分遞歸映射換任意映射。１９６７年畢曉普出版《構(gòu)造性分析》，開(kāi)創(chuàng)了構(gòu)造性數(shù)學(xué)的新時(shí)期，而他的構(gòu)造性數(shù)學(xué)的根本特征就是把一切數(shù)學(xué)對(duì)象都化歸為可編碼的對(duì)象和遞歸函數(shù)。后期構(gòu)造性數(shù)學(xué)中另一個(gè)體系是馬爾科夫、沙寧創(chuàng)建的算法概念為基礎(chǔ)的理論。他們采納的也是構(gòu)造性邏輯，但他們把一切概念都?xì)w約為算法這個(gè)概念。馬爾科夫提出的正規(guī)算法就是目前知道的最有力量的少數(shù)幾個(gè)算法之一�，F(xiàn)已證明，正規(guī)算法與前面提到的遞歸函數(shù)或可計(jì)算函數(shù)都是等價(jià)的。這樣一來(lái)，我們便就可以不作區(qū)分地講，構(gòu)造性數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是遞歸函數(shù)或算法。

　　綜合上述，我們認(rèn)為，構(gòu)造性數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)歸根到底是遞歸論。或者說(shuō)，所謂構(gòu)造性、可構(gòu)造的與遞歸性、可遞歸的是相互等價(jià)的。這就是我們對(duì)構(gòu)造性的理解。有了這樣一種解釋，我們也就基本了解了“構(gòu)造性”的真實(shí)涵義。盡管從哲學(xué)上講，它可能還具有更深刻更豐富的內(nèi)涵，但從實(shí)踐、操作的角度講，它就是遞歸性，進(jìn)而也就是能行性。

　　三、構(gòu)造性數(shù)學(xué)的意義及其它

　　在對(duì)構(gòu)造性數(shù)學(xué)的意義作出評(píng)述之前，有必要先弄清楚以下兩個(gè)問(wèn)題：１．構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的原因是什么？２．構(gòu)造性數(shù)學(xué)所要解決的問(wèn)題和所要達(dá)到的目的是什么？

　　在經(jīng)典數(shù)學(xué)如此成功的情況下，為什么還會(huì)出現(xiàn)構(gòu)造性數(shù)學(xué)？構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的原因是什么？這確實(shí)是對(duì)構(gòu)造性數(shù)學(xué)進(jìn)行哲學(xué)研究所必須回答的一個(gè)問(wèn)題。我們認(rèn)為，原因主要有以下四個(gè)方面：一、為了解決由于集合悖論的出現(xiàn)而引發(fā)的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。這是布勞威爾直覺(jué)主義數(shù)學(xué)產(chǎn)生的直接原因。對(duì)此，大家已比較熟悉，無(wú)須多言。然而這只是一個(gè)表層的原因，事實(shí)上還有以下更深刻的哲學(xué)原因。二、為了解決數(shù)學(xué)概念和方法的可靠性問(wèn)題。由于集合悖論的出現(xiàn)，使得直覺(jué)主義者的注意力一下子集中到什么是可靠的或可信的數(shù)學(xué)這個(gè)問(wèn)題上。他們認(rèn)為“存在必須被構(gòu)造”。因此，只有經(jīng)過(guò)構(gòu)造性檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)才是可靠的。這樣一種認(rèn)識(shí)論主張，是構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的根本原因。三、純存在性證明的局限性是構(gòu)造性數(shù)學(xué)、尤其是后期構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的重要原因。大家知道，純存在性證明只能讓人知道某個(gè)方程的根是存在的，但如何求解以至能不能求出這個(gè)根均是未知的。構(gòu)造性數(shù)學(xué)就是針對(duì)純存在性證明的這個(gè)缺陷，提出要證明一個(gè)方程的根是存在的，就必須給出求解它的有效方法。四、從構(gòu)造性數(shù)學(xué)的角度看經(jīng)典數(shù)學(xué)，會(huì)產(chǎn)生許多新的見(jiàn)解、新的方法，這不僅可以獲得對(duì)數(shù)學(xué)更深刻的認(rèn)識(shí)，而且可以促進(jìn)兩類數(shù)學(xué)的共同發(fā)展，這是后期構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的又一原因。以上這些原因概括起來(lái)也就是兩點(diǎn)：一、經(jīng)典數(shù)學(xué)本身的不足；二、“存在必須被構(gòu)造”的認(rèn)識(shí)論信念。我們認(rèn)為，正是這兩個(gè)根本原因，引發(fā)了在本世紀(jì)產(chǎn)生的構(gòu)造性數(shù)學(xué)。

　　從對(duì)構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生原因的以上認(rèn)識(shí)，不難看到，早期構(gòu)造性數(shù)學(xué)所要解決的就是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題，所要達(dá)到的目的就是確立數(shù)學(xué)的可靠性。后期構(gòu)造性數(shù)學(xué)的目的沒(méi)有這么強(qiáng)，它們不再去解決數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問(wèn)題，而只是用構(gòu)造性方法來(lái)研究數(shù)學(xué)，建立一門與經(jīng)典數(shù)學(xué)平行的構(gòu)造性數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)可靠性問(wèn)題上，盡管后期構(gòu)造主義者并不完全贊同布勞威爾的哲學(xué)主張，尤其是“原始直覺(jué)”觀念，但他們還是吸取了“存在必須被構(gòu)造”的可靠性觀念。因此，確立數(shù)學(xué)的可靠性依然是后期構(gòu)造性數(shù)學(xué)的目的之一。那么構(gòu)造性數(shù)學(xué)是不是解決了它想要解決的問(wèn)題呢？通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的回答，可以看到構(gòu)造性數(shù)學(xué)的重大意義和特殊價(jià)值。我們先來(lái)看看早期構(gòu)造性數(shù)學(xué)是不是解決了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問(wèn)題。或許有人會(huì)對(duì)此問(wèn)題的提出感到奇怪，不是早就說(shuō)直覺(jué)主義同邏輯主義和形式主義一樣都已失敗了嗎？其實(shí)問(wèn)題并非如此簡(jiǎn)單。盡管在人們?yōu)閿?shù)學(xué)大廈尋找基礎(chǔ)的一個(gè)世紀(jì)以來(lái)，直覺(jué)主義已遭到世界數(shù)學(xué)界多數(shù)人的反對(duì)，但它的“失敗”不同于與其齊名的邏輯主義、形式主義的失敗。后兩者的失敗是邏輯地注定了的失敗，而直覺(jué)主義的“失敗”僅僅是因?yàn)槠洹斑^(guò)于謹(jǐn)慎而一時(shí)”地拒斥了許多被認(rèn)為很有意義的經(jīng)典數(shù)學(xué)，它在邏輯上并沒(méi)有被宣告失敗�，F(xiàn)在完全追隨布勞威爾的人幾乎沒(méi)有了，但新的構(gòu)造性數(shù)學(xué)的發(fā)展正方興未艾。如果這類構(gòu)造性數(shù)學(xué)能夠取得全面的突破性的大進(jìn)展，誰(shuí)又能保證直覺(jué)主義數(shù)學(xué)不會(huì)“卷土重來(lái)”？事實(shí)上，相信構(gòu)造性數(shù)學(xué)可能會(huì)獲得成功的人是始終存在的，且不說(shuō)構(gòu)造主義者本身，非構(gòu)造主義者，如克林也相信：直覺(jué)主義地重建經(jīng)典數(shù)學(xué)的可能性還是存在的（〔７〕第５５，５５１頁(yè)）。由此我們認(rèn)為，構(gòu)造性數(shù)學(xué)依然是重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一個(gè)可能的途徑。那種認(rèn)為直覺(jué)主義計(jì)劃已徹底破產(chǎn)的認(rèn)識(shí)是過(guò)于武斷的。

　　后期構(gòu)造主義者試圖建立一門與經(jīng)典數(shù)學(xué)平行的構(gòu)造性數(shù)學(xué)，我們認(rèn)為這一計(jì)劃正在實(shí)現(xiàn)的過(guò)程中，近來(lái)構(gòu)造性數(shù)學(xué)成果的不斷涌現(xiàn)就是證明。構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的意義，不僅在于出現(xiàn)了一門新的理論、開(kāi)創(chuàng)了一種新的研究方向，并獲得了許多新穎、深刻的成果，同時(shí)也在于構(gòu)造性的成果更便于應(yīng)用。提供解法畢竟比單純的存在性證明要有意義得多。由此可以說(shuō)，構(gòu)造性數(shù)學(xué)彌補(bǔ)了經(jīng)典數(shù)學(xué)的不少缺陷。聯(lián)系到計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，這種構(gòu)造性數(shù)學(xué)的研究就更有其深遠(yuǎn)意義了。無(wú)怪胡世華教授說(shuō)：“在非構(gòu)造性數(shù)學(xué)的研究中，構(gòu)造性成分越多的部分往往對(duì)自身的發(fā)展也越有意義”。（〔８〕第２６８頁(yè)）

　　進(jìn)一步，構(gòu)造性數(shù)學(xué)是否達(dá)到了它最初的確立數(shù)學(xué)可靠性的根本目的呢？由于數(shù)學(xué)的可靠性問(wèn)題已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是一個(gè)單純的數(shù)學(xué)技術(shù)問(wèn)題，更主要的是一個(gè)哲學(xué)問(wèn)題，因此對(duì)這個(gè)問(wèn)題的回答不可能有一個(gè)終極答案，對(duì)構(gòu)造主義者的回答人們也會(huì)仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智。故這里我們只是給出自己對(duì)這一問(wèn)題的一些看法。我們認(rèn)為，在哲學(xué)上，構(gòu)造性數(shù)學(xué)的產(chǎn)生提出了一個(gè)新的“可靠性”觀念。直覺(jué)主義者認(rèn)為，一切非構(gòu)造的存在，都是“超出一切人類的真實(shí)可行的‘絕對(duì)’，”正是因?yàn)橄嘈帕诉@樣一種“絕對(duì)”，經(jīng)典數(shù)學(xué)才“遠(yuǎn)遠(yuǎn)地不再是有真實(shí)意義的陳述句以及不再是建基于明證之上的真理了。”（〔７〕第５０頁(yè)）為此，直覺(jué)主義者強(qiáng)調(diào)：存在必須是被構(gòu)造。認(rèn)為只有一步一步（有限的）構(gòu)造出來(lái)的東西才是真實(shí)的、有意義的、可靠的。他們把經(jīng)典數(shù)學(xué)中的“純存在”視為一種無(wú)異于形而上學(xué)的東西。黑丁就曾明確指出：“如果‘存在’不是意味著‘被構(gòu)造’，那就一定包含某種形而上學(xué)的意義�！保ā玻埂车冢玻矗表�(yè)）在黑丁看來(lái)，對(duì)這種具有形而上意義的存在去討論，或判定它是否可以接受，這不是數(shù)學(xué)的任務(wù)，認(rèn)為應(yīng)該“把數(shù)學(xué)當(dāng)作某種比形而上學(xué)簡(jiǎn)單得多、直接得多的東西來(lái)研究”。為此，直覺(jué)主義才突出地強(qiáng)調(diào)應(yīng)從非構(gòu)造性向構(gòu)造性化歸。我們認(rèn)為，這是在從數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論上提出了一種新的可靠性標(biāo)準(zhǔn)或觀念。這種標(biāo)準(zhǔn)或觀念從實(shí)用或操作的意義上講，是頗具合理性的，是應(yīng)該得到采納的，它對(duì)“信息時(shí)代的數(shù)學(xué)”（胡世華語(yǔ)）的發(fā)展是很有意義的。當(dāng)然，這也并不妨在經(jīng)典數(shù)學(xué)中人們有時(shí)（即不得已時(shí)）可以采用更靈活的可靠性標(biāo)準(zhǔn)。但我們認(rèn)為，可構(gòu)造性是一個(gè)更可靠的可靠性標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家評(píng)判數(shù)學(xué)可靠性的第一標(biāo)準(zhǔn)或最高標(biāo)準(zhǔn)。至于第二、第三等更靈活、更弱的標(biāo)準(zhǔn)，不同的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家可能會(huì)有不同的選擇。那么何以見(jiàn)得可構(gòu)造性就是更強(qiáng)的可靠性標(biāo)準(zhǔn)呢？構(gòu)造性數(shù)學(xué)就真的比經(jīng)典數(shù)學(xué)更為可靠、更具可接受性嗎？我們認(rèn)為，答案應(yīng)該是肯定的。道理很簡(jiǎn)單，就是因?yàn)闃?gòu)造性數(shù)學(xué)的原則遠(yuǎn)較非構(gòu)造性數(shù)學(xué)嚴(yán)格，構(gòu)造性數(shù)學(xué)成立的每一定理對(duì)于非構(gòu)造性數(shù)學(xué)也成立；反之，非構(gòu)造性數(shù)學(xué)中成立的定理卻不一定在構(gòu)造性數(shù)學(xué)中成立。因此，構(gòu)造性數(shù)學(xué)實(shí)際上成了非構(gòu)造性數(shù)學(xué)的一個(gè)真子集。另外，從邏輯基礎(chǔ)的角度講，直覺(jué)主義邏輯的公理和定理在經(jīng)典邏輯中都成立，反之卻不然。因此，直覺(jué)主義邏輯是經(jīng)典邏輯的一個(gè)真部分。我們認(rèn)為，這些理由完全可以表明，以構(gòu)造性為可靠性標(biāo)準(zhǔn)而建立的定理比經(jīng)典數(shù)學(xué)中的定理更可靠。

　　我國(guó)數(shù)學(xué)哲學(xué)界對(duì)構(gòu)造性數(shù)學(xué)及其哲學(xué)主張?jiān)u價(jià)普遍較低，其原由不外乎這么幾點(diǎn)：１．直覺(jué)主義數(shù)學(xué)排斥了一大部分具有應(yīng)用價(jià)值的經(jīng)典數(shù)學(xué)。２．排斥了實(shí)無(wú)窮和經(jīng)典邏輯。３．與經(jīng)典數(shù)學(xué)相比，構(gòu)造性數(shù)學(xué)顯得繁瑣和復(fù)雜，對(duì)經(jīng)典數(shù)學(xué)的構(gòu)造性改造極為緩慢，難以成功（甚至認(rèn)為是不可能的）。我們認(rèn)為，這些并不構(gòu)成對(duì)構(gòu)造性數(shù)學(xué)及其哲學(xué)主張的否定。對(duì)此可以簡(jiǎn)要地分析如下：首先，構(gòu)造性數(shù)學(xué)是一門全新的數(shù)學(xué)理論，它的邏輯基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)原則和哲學(xué)主張不可能完全等同于經(jīng)典數(shù)學(xué)。因此，我們必須正視構(gòu)造性數(shù)學(xué)的獨(dú)特性。有什么理由說(shuō)，選擇實(shí)無(wú)窮就是對(duì)的，而選擇潛無(wú)窮就是錯(cuò)的？又有什么理由說(shuō)，選擇經(jīng)典邏輯就是科學(xué)的，選擇構(gòu)造性邏輯就是不科學(xué)的？我們沒(méi)有超越實(shí)無(wú)窮和潛無(wú)窮的“絕對(duì)無(wú)窮觀”，也沒(méi)有超越經(jīng)典邏輯和構(gòu)造邏輯的“絕對(duì)邏輯”，我們沒(méi)有終極的絕對(duì)的參照系。實(shí)際上，反對(duì)潛無(wú)窮只能是站在實(shí)無(wú)窮的立場(chǎng)上，反對(duì)構(gòu)造性邏輯也只能是站在經(jīng)典邏輯的立場(chǎng)上。但反過(guò)來(lái)也是可以的。因此，我們最后判別是非的立足點(diǎn)只能是實(shí)踐——數(shù)學(xué)的內(nèi)部實(shí)踐和外部實(shí)踐。不管是實(shí)無(wú)窮、潛無(wú)窮，也不管是經(jīng)典邏輯、構(gòu)造邏輯，只要以它們?yōu)榛A(chǔ)能夠建立起自相容的理論，并能夠得到有效的應(yīng)用，那么我們就要承認(rèn)它們。說(shuō)構(gòu)造性數(shù)學(xué)顯得繁瑣和復(fù)雜，這也不是絕對(duì)的，如復(fù)分析中對(duì)畢卡大定理的構(gòu)造性證明就顯得更為直觀，它的非構(gòu)造性證明雖然較短，但卻利用了一種稱為橢圓模函數(shù)的較高深的數(shù)學(xué)工具，后來(lái)雖然也有了幾種淺顯的證明方法，可又都非常繁復(fù)，而相應(yīng)的構(gòu)造性證明卻要更加自然，只用到了解析函數(shù)的基本性質(zhì)。說(shuō)構(gòu)造性數(shù)學(xué)進(jìn)展緩慢、難以成功，這并不意味著構(gòu)造性數(shù)學(xué)不能成功。何況它在內(nèi)容上的復(fù)雜和進(jìn)展上的緩慢是有原因的：每一個(gè)構(gòu)造性證明都比純存在性證明為我們提供了更多更實(shí)用的信息。因此我們把構(gòu)造性數(shù)學(xué)的復(fù)雜和緩慢看作是為了獲得更多更實(shí)用的信息所必須付出的代價(jià)。應(yīng)該承認(rèn)，這種代價(jià)的付出是值得的。至于說(shuō)到直覺(jué)主義數(shù)學(xué)排斥了一部分有價(jià)值的經(jīng)典數(shù)學(xué)，我們說(shuō)這并非直覺(jué)主義數(shù)學(xué)的過(guò)錯(cuò)，因?yàn)閷?duì)部分經(jīng)典數(shù)學(xué)的排斥并非邏輯地注定了的，誰(shuí)又能保證這不是由于對(duì)經(jīng)典數(shù)學(xué)的構(gòu)造性改造太慢而造成的呢？如果是這樣，今天被排斥的東西到明天就不會(huì)再排斥。如果排斥是必然的，則正說(shuō)明構(gòu)造性數(shù)學(xué)的獨(dú)特性，說(shuō)明數(shù)學(xué)具有構(gòu)造性和非構(gòu)造性兩個(gè)不同側(cè)面，說(shuō)明這兩種數(shù)學(xué)確實(shí)存在不可化歸的關(guān)系。

　　也許會(huì)有許多人說(shuō)，他們反對(duì)的只是直覺(jué)主義的哲學(xué)主張。在我們看來(lái)，直覺(jué)主義哲學(xué)除了它所主張的潛無(wú)窮觀和構(gòu)造性邏輯外，就是這么兩點(diǎn)：一、存在必須被構(gòu)造；二、原始直覺(jué)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。關(guān)于潛無(wú)窮觀和構(gòu)造性邏輯前面剛剛談過(guò)，不再重復(fù)。一些人對(duì)直覺(jué)主義者把可構(gòu)造性作為數(shù)學(xué)理論可靠性的標(biāo)準(zhǔn)表示反對(duì)，前面我們也進(jìn)行了反駁，并指出了可構(gòu)造性是更強(qiáng)、更可靠的可靠性標(biāo)準(zhǔn)。至于提到“原始直覺(jué)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)”這一哲學(xué)主張，我們認(rèn)為首先應(yīng)該區(qū)別它的兩種不同涵義：一是從數(shù)學(xué)發(fā)生學(xué)的角度講，數(shù)學(xué)是產(chǎn)生于人類的原始直覺(jué)，原始直覺(jué)是產(chǎn)生數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。二是從數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論的角度講，數(shù)學(xué)的可靠性根源于人類的原始直覺(jué)，原始直覺(jué)是保證數(shù)學(xué)可靠性的基礎(chǔ)。我們認(rèn)為，直覺(jué)主義者在講“原如直覺(jué)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)”時(shí)，包括了上述兩層意思。不過(guò)我們認(rèn)為，上述兩層意思中，前者是可接受的（對(duì)此我們將另文專論），后者是錯(cuò)誤的。原因正如波普爾所說(shuō)：相信知識(shí)在發(fā)生學(xué)或心理學(xué)上是先驗(yàn)的，這是對(duì)的；但認(rèn)為知識(shí)都能先驗(yàn)地正確，就大錯(cuò)特錯(cuò)了。源于人的直覺(jué)的數(shù)學(xué)，如果沒(méi)有被邏輯地構(gòu)造與證明，它就沒(méi)有獲得必要的可靠性。但聯(lián)想到直覺(jué)主義者隨時(shí)都在強(qiáng)調(diào)可構(gòu)造性，因此他們?cè)谡軐W(xué)上的一些錯(cuò)誤并不會(huì)影響到其數(shù)學(xué)的可靠性。說(shuō)直覺(jué)主義哲學(xué)大體上是可接受的，還有一個(gè)有力的理由，即在這種哲學(xué)主張的基礎(chǔ)上而建立起的直覺(jué)主義數(shù)學(xué)，并未象經(jīng)典數(shù)學(xué)那樣一再地發(fā)生危機(jī)——出現(xiàn)悖論，它是自相容的。

　　美籍華人王浩先生曾認(rèn)為，構(gòu)造性數(shù)學(xué)是做的數(shù)學(xué)，非構(gòu)造性數(shù)學(xué)是在的數(shù)學(xué)。對(duì)此，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家胡世華先生給予了如下的解釋和進(jìn)一步的發(fā)揮：“數(shù)學(xué)的在是信息模式和結(jié)構(gòu)的在；數(shù)學(xué)的做是信息加工。構(gòu)造性數(shù)學(xué)的傾向是用數(shù)學(xué)取得的結(jié)果把結(jié)果構(gòu)造出來(lái)，側(cè)重于思維的構(gòu)造性實(shí)踐，非構(gòu)造性數(shù)學(xué)的傾向是數(shù)學(xué)地理解問(wèn)題和規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，形成數(shù)學(xué)理論體系，追求科學(xué)思想”。（〔８〕第２６７頁(yè)）我們認(rèn)為，這些看法是比較客觀的。但應(yīng)進(jìn)一步指明的是，構(gòu)造性數(shù)學(xué)并非像許多人認(rèn)為的那樣，總是直接因襲標(biāo)準(zhǔn)的非構(gòu)造性數(shù)學(xué)。事實(shí)上，構(gòu)造性數(shù)學(xué)不是命中注定永遠(yuǎn)要靠坐吃經(jīng)典數(shù)學(xué)這個(gè)老板來(lái)發(fā)展。這兩類數(shù)學(xué)的關(guān)系是共生性，而非寄生性的。構(gòu)造性數(shù)學(xué)的發(fā)展還不足百年，相信它在未來(lái)的發(fā)展中，會(huì)有一個(gè)又一個(gè)的重大突破。當(dāng)然這已是后話了。

　　參考文獻(xiàn)

　　〔１〕康德：《未來(lái)形而上學(xué)導(dǎo)論》，商務(wù)印書(shū)館１９７８年。

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　　〔５〕徐利治：《數(shù)學(xué)方法論選講》，華中工學(xué)院出版社，１９８３年。

　　〔６〕外爾：“半個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)”載《數(shù)學(xué)史譯文集》（續(xù)集），上�？萍汲霭嫔纾保梗福的�。

　　〔７〕克林：《元數(shù)學(xué)導(dǎo)論》上、下冊(cè)，科學(xué)出版社１９８５年。

　　〔８〕胡世華：“信息時(shí)代的數(shù)學(xué)”載《數(shù)學(xué)與文化》，北京大學(xué)出版社，１９９０年。

　　〔９〕引自夏基松、鄭毓信：《西方數(shù)學(xué)哲學(xué)》，人民出版社，１９８６年。

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