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材料力學(xué)與彈性力學(xué)的研究差異
材料力學(xué)與彈性力學(xué)的研究差異
摘要：材料力學(xué)與彈性力學(xué)作為力學(xué)的重要分支學(xué)科，盡管在研究內(nèi)容和目的等方面相似，但其研究方法卻有明顯差異，本文將就兩者的差異進(jìn)行綜述。
關(guān)鍵詞：材料力學(xué);彈性力學(xué);研究方法
概述
力學(xué)作為一門研究物質(zhì)機械運動規(guī)律的科學(xué)，其在建筑、機械、航天、航海等關(guān)系國計民生、國家安全等重大項目上發(fā)揮著重要作用。
材料力學(xué)(Mechanics of materials)和彈性力學(xué)(Theory of elasticity)都是力學(xué)的重要分支學(xué)科，盡管他們都是研究和分析各種結(jié)構(gòu)物在彈性階段的應(yīng)力和位移，但在研究對象和方法上仍然具有很大的差異。材料力學(xué)主要研究物體受理后發(fā)生的變形、由于變形而產(chǎn)生的內(nèi)力以及物體由此而產(chǎn)生的失效和控制失效準(zhǔn)則[1]。
其主要的研究對象是桿狀構(gòu)件，即長度遠(yuǎn)大于高度和寬度的構(gòu)件及其在拉壓、剪切、彎曲、扭轉(zhuǎn)作用下的應(yīng)力和位移。
材料力學(xué)除了從靜力學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)三方面進(jìn)行分析之外，通過試驗現(xiàn)象的觀察和分析，忽略次要因素，保留主要因素，引用一些關(guān)于構(gòu)件的形變狀態(tài)或應(yīng)力分布的假定，大大簡化了數(shù)學(xué)推演。雖然解答只是近似的，但是可以滿足工程上的精度要求。
彈性力學(xué)作為固體力學(xué)的一個分支，研究可變性固體在外部因素如力、溫度變化、約束變動等作用下產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移[2]。其研究對象既可是非桿狀結(jié)構(gòu)，如板和殼以及擋土墻、堤壩、地基等實體結(jié)構(gòu)，亦可是桿狀構(gòu)件，并且其不引用任何假定，解答較材料力學(xué)更為精確，常常用來校核材料力學(xué)里得出的近似解答。
材料力學(xué)與彈性力學(xué)同樣作為變形體力學(xué)的分支，在解決具體問題使，需要將實際工程構(gòu)件的研究對象抽象為理想模型。作為理想模型，在建立其已知量和未知量的推導(dǎo)關(guān)系時，要滿足如下基本假設(shè)：連續(xù)性假設(shè)、均勻性假設(shè)、各向同性假設(shè)、小變形假設(shè)、完全彈性假設(shè)。下面本文將就在一下具體問題的解決中，探討材料力學(xué)和彈性力學(xué)在研究方法上的差異。
1.直梁在橫向荷載作用下的彎曲研究
1)在純彎曲梁中，對于平截面假定的驗證
材料力學(xué)在研究梁的彎曲應(yīng)力時，采用純彎曲段分析。通過觀察對比梁變形前后表面橫向線和縱向線的幾何變形，推測梁內(nèi)部橫截面在變形后仍為平面。在彈性力學(xué)中，證明了其橫截面是否為平面的過程如下：
假定平面應(yīng)力情況，已通過多項式解答取φ=ay3，求得純彎曲矩形梁的應(yīng)力分量，將應(yīng)力分量代入物理方程、幾何方程，并積分變換得位移分量的表達(dá)式：u=MEIxy+f1(y)ν=-μM2EIy2+f2(x)
通過數(shù)學(xué)變換求得位移分量為：
u=MEIxy-ωy+u0
ν=-μM2EIy2-M2EIx2+ωy+ν0
其中ω、u0、ν0為剛體位移
由上式可得，鉛直線段的轉(zhuǎn)角為：
β=uy=MEIx-ω
在同一個截面上，x是常量，因而β也是常量�？梢�，同一橫截面上的各鉛直線段轉(zhuǎn)角相等，即橫截面保持平面。
2)對于截面彎曲應(yīng)力的修正與分析
在材料力學(xué)中，根據(jù)平面假設(shè)和單向受力狀態(tài)導(dǎo)出了應(yīng)力公式。但此公式僅限于純彎曲梁，當(dāng)梁受橫向外力作用時，梁發(fā)生橫力彎曲，此時變形后已不再是平面，單向受力狀態(tài)也不成立。針對此問題，材料力學(xué)一般做簡化處理。對于跨長與橫截面高度之比大于5的梁，用純彎曲正應(yīng)力公式σ=MIy進(jìn)行計算，結(jié)果雖然有誤差，但足以滿足工程上的精度要求，近似用該公式得到的結(jié)果作為橫力彎曲的正應(yīng)力計算公式。
而在彈性力學(xué)中，采用半逆解法嚴(yán)密的推導(dǎo)了各應(yīng)力分量。以均布荷載下的簡支梁為例，假設(shè)應(yīng)力分量形式σy=f(y)，由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系導(dǎo)出應(yīng)力函數(shù)，并代入相容方程得到各應(yīng)力分量的表達(dá)式�？紤]主要邊界與小邊界后，得截面上的應(yīng)力分量為：
σx=MIy+qyh(4y2h2-35)
σy=-q2(1+yh)(1-2yh)2
τxy=FSbI
由上式可見，在彎應(yīng)力σx的表達(dá)式中，第一項是主要項，和材料力學(xué)中的解答相同，第二項是彈性力學(xué)提出的修正項。對于通常的淺梁(跨高比大于5)，修正項很小，可以忽略不計，對于較深的梁，則必須考慮修正項。
應(yīng)力分量σy是梁各層纖維之間的擠壓應(yīng)力，它的最大絕對值是q，發(fā)生在梁頂。在材料力學(xué)中，由于單向應(yīng)力假設(shè)，認(rèn)為縱向線之間互不擠壓，一般不考慮該應(yīng)力分量。
切應(yīng)力τxy的表達(dá)式和材料力學(xué)完全一樣。
從表達(dá)式中可以看到，當(dāng)l>>h時，σx最大，τxy次之，σy最小，且σx中的qyh(4y2h2-35)是高階小量。因此進(jìn)一步說明了，材料力學(xué)的公式可以近似滿足工程梁的計算精度，而彈性力學(xué)推導(dǎo)相對復(fù)雜因此材料力學(xué)具有較強的實用性。
2.切應(yīng)力互等定理
在材料力學(xué)中，以圓桿的扭轉(zhuǎn)為背景，考慮了一個特殊的簡單應(yīng)力狀態(tài)，并加以推理得到了切應(yīng)力互等定理。在沿桿軸線方向取微段dx，垂直于徑向的平面截出一無限小的單元體，則很容易得出內(nèi)外表面無應(yīng)力，只在左右兩個面上有切應(yīng)力τ。則該單元體將會轉(zhuǎn)動不能平衡，所以推定在上下兩個縱截面上必定存在著τ'。由于面積很小，近似認(rèn)為切應(yīng)力在各面上均勻分布。
由平衡方程ΣM=0得到
(τdydz)dx=(τ'dxdz)dy
從而得到：τ=τ'
而在彈性力學(xué)中，則從最普遍的情況出發(fā)，不作任何假設(shè)。取微小的平行六面體，根據(jù)平衡條件導(dǎo)出應(yīng)力分量之間的關(guān)系。由對中心點的力矩平衡方程，得到：
(τxy+τxyxdx)dy×1×dx2+τyxdy×1×dx2-(τxy+τxyydy)dx×1×dy2+τyxdx×1×dy2=0
將上式兩邊同除dxdy，合并同類項，并命dx dy趨于零，得到τxy=τyx 從而驗證了切應(yīng)力互等定理。
從切應(yīng)力互等定理的導(dǎo)出我們可以發(fā)現(xiàn)，材料力學(xué)在推導(dǎo)過程中運用了一些推理和假設(shè)，而彈性力學(xué)的推導(dǎo)過程是比較嚴(yán)密和精確的。
總結(jié)
彈性力學(xué)與材料力學(xué)同樣作為力學(xué)的分支，基本假定和理論體系是相同的。在力學(xué)史上，首先出現(xiàn)了研究變形體力學(xué)的理論，屬于彈性力學(xué)的研究范疇，但由于當(dāng)時相應(yīng)的數(shù)學(xué)水平得不到相應(yīng)問題的解析解，才在求解過程中引入一些關(guān)于變形和應(yīng)力分布的假設(shè)，形成材料力學(xué)這門學(xué)科。
在研究對象方面，材料力學(xué)的研究對象是桿狀構(gòu)件，而彈性力學(xué)的研究對象則有桿、梁、柱、板等結(jié)構(gòu)。因此彈性力學(xué)有更廣的適用性，而材料力學(xué)具有一定的局限性。
在解決具體問題是，材料力學(xué)常采用截面法，即假想將物體剖開，取截面一邊的部分物體作為截離體，利用靜力平衡條件，列出單一變量的常微分方程，以求得截面上的應(yīng)力，在數(shù)學(xué)上較易求解。彈性力學(xué)解決問題的方法與材料力學(xué)的方法是不相同的。
在彈性力學(xué)中，假想物體內(nèi)部為無數(shù)個單元平行六面體和表面為無數(shù)個單元四面體所組成。考慮這些單元體的平衡，可寫出一組平衡微分方程，但未知應(yīng)力數(shù)總是超出微分方程數(shù)，因此，彈性力學(xué)問題總是超靜定的，必須考慮變形條件。
由于物體在變形之后仍保持連續(xù)，所以單元體之間的變形必須是協(xié)調(diào)的。因此，可得出一組表示形變連續(xù)性的微分方程。
另外，在物體表面上還必須考慮物體內(nèi)部應(yīng)力與外荷載之間的平衡，這樣就有足夠的微分方程數(shù)以求解未知的應(yīng)力、應(yīng)變與位移，所以在解決彈性理論問題時，必須考慮靜力學(xué)、幾何方程、物理方程以及邊界等方面的條件。
因此需要研究人員具備較扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。由于數(shù)學(xué)上的困難，彈性理論問題不是總能直接從求解偏微分方程組中得到答案的。
在計算精度方面，材料力學(xué)在計算過程中引入一些假設(shè)以簡化計算，得到的計算結(jié)果雖然精度偏低，但已經(jīng)能夠滿足工程上的精度需要，并且受力模型簡單，能夠很快的得到應(yīng)力分布，實用性較強。而彈性力學(xué)通過嚴(yán)密的推導(dǎo)，雖然計算過程繁瑣但精度高。
綜上，材料力學(xué)和彈性力學(xué)兩門力學(xué)分支學(xué)科關(guān)系密切，適用范圍互補，研究方法及精度各有長處，將他們綜合應(yīng)用，才能在我們的學(xué)習(xí)和科研中取得更好的效果。
[參考文獻(xiàn)]
[1]劉德華， 黃超. 材料力學(xué)， 重慶大學(xué)出版社， 2011.
[2]李兆霞， 郭力. 工程彈性力學(xué)， 東南大學(xué)出版社， 2009.
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