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土木工程畢業(yè)論文

材料力學(xué)與彈性力學(xué)的研究差異

時間:2022-10-05 17:15:27 土木工程畢業(yè)論文 我要投稿
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材料力學(xué)與彈性力學(xué)的研究差異

  材料力學(xué)與彈性力學(xué)的研究差異

材料力學(xué)與彈性力學(xué)的研究差異

  摘要:材料力學(xué)與彈性力學(xué)作為力學(xué)的重要分支學(xué)科,盡管在研究內(nèi)容和目的等方面相似,但其研究方法卻有明顯差異,本文將就兩者的差異進(jìn)行綜述。

  關(guān)鍵詞:材料力學(xué);彈性力學(xué);研究方法

  概述

  力學(xué)作為一門研究物質(zhì)機械運動規(guī)律的科學(xué),其在建筑、機械、航天、航海等關(guān)系國計民生、國家安全等重大項目上發(fā)揮著重要作用。

  材料力學(xué)(Mechanics of materials)和彈性力學(xué)(Theory of elasticity)都是力學(xué)的重要分支學(xué)科,盡管他們都是研究和分析各種結(jié)構(gòu)物在彈性階段的應(yīng)力和位移,但在研究對象和方法上仍然具有很大的差異。材料力學(xué)主要研究物體受理后發(fā)生的變形、由于變形而產(chǎn)生的內(nèi)力以及物體由此而產(chǎn)生的失效和控制失效準(zhǔn)則[1]。

  其主要的研究對象是桿狀構(gòu)件,即長度遠(yuǎn)大于高度和寬度的構(gòu)件及其在拉壓、剪切、彎曲、扭轉(zhuǎn)作用下的應(yīng)力和位移。

  材料力學(xué)除了從靜力學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)三方面進(jìn)行分析之外,通過試驗現(xiàn)象的觀察和分析,忽略次要因素,保留主要因素,引用一些關(guān)于構(gòu)件的形變狀態(tài)或應(yīng)力分布的假定,大大簡化了數(shù)學(xué)推演。雖然解答只是近似的,但是可以滿足工程上的精度要求。

  彈性力學(xué)作為固體力學(xué)的一個分支,研究可變性固體在外部因素如力、溫度變化、約束變動等作用下產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移[2]。其研究對象既可是非桿狀結(jié)構(gòu),如板和殼以及擋土墻、堤壩、地基等實體結(jié)構(gòu),亦可是桿狀構(gòu)件,并且其不引用任何假定,解答較材料力學(xué)更為精確,常常用來校核材料力學(xué)里得出的近似解答。

  材料力學(xué)與彈性力學(xué)同樣作為變形體力學(xué)的分支,在解決具體問題使,需要將實際工程構(gòu)件的研究對象抽象為理想模型。作為理想模型,在建立其已知量和未知量的推導(dǎo)關(guān)系時,要滿足如下基本假設(shè):連續(xù)性假設(shè)、均勻性假設(shè)、各向同性假設(shè)、小變形假設(shè)、完全彈性假設(shè)。下面本文將就在一下具體問題的解決中,探討材料力學(xué)和彈性力學(xué)在研究方法上的差異。

  1.直梁在橫向荷載作用下的彎曲研究

  1)在純彎曲梁中,對于平截面假定的驗證

  材料力學(xué)在研究梁的彎曲應(yīng)力時,采用純彎曲段分析。通過觀察對比梁變形前后表面橫向線和縱向線的幾何變形,推測梁內(nèi)部橫截面在變形后仍為平面。在彈性力學(xué)中,證明了其橫截面是否為平面的過程如下:

  假定平面應(yīng)力情況,已通過多項式解答取φ=ay3,求得純彎曲矩形梁的應(yīng)力分量,將應(yīng)力分量代入物理方程、幾何方程,并積分變換得位移分量的表達(dá)式:u=MEIxy+f1(y)ν=-μM2EIy2+f2(x)

  通過數(shù)學(xué)變換求得位移分量為:

  u=MEIxy-ωy+u0

  ν=-μM2EIy2-M2EIx2+ωy+ν0

  其中ω、u0、ν0為剛體位移

  由上式可得,鉛直線段的轉(zhuǎn)角為:

  β=uy=MEIx-ω

  在同一個截面上,x是常量,因而β也是常量?梢,同一橫截面上的各鉛直線段轉(zhuǎn)角相等,即橫截面保持平面。

  2)對于截面彎曲應(yīng)力的修正與分析

  在材料力學(xué)中,根據(jù)平面假設(shè)和單向受力狀態(tài)導(dǎo)出了應(yīng)力公式。但此公式僅限于純彎曲梁,當(dāng)梁受橫向外力作用時,梁發(fā)生橫力彎曲,此時變形后已不再是平面,單向受力狀態(tài)也不成立。針對此問題,材料力學(xué)一般做簡化處理。對于跨長與橫截面高度之比大于5的梁,用純彎曲正應(yīng)力公式σ=MIy進(jìn)行計算,結(jié)果雖然有誤差,但足以滿足工程上的精度要求,近似用該公式得到的結(jié)果作為橫力彎曲的正應(yīng)力計算公式。

  而在彈性力學(xué)中,采用半逆解法嚴(yán)密的推導(dǎo)了各應(yīng)力分量。以均布荷載下的簡支梁為例,假設(shè)應(yīng)力分量形式σy=f(y),由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系導(dǎo)出應(yīng)力函數(shù),并代入相容方程得到各應(yīng)力分量的表達(dá)式?紤]主要邊界與小邊界后,得截面上的應(yīng)力分量為:

  σx=MIy+qyh(4y2h2-35)

  σy=-q2(1+yh)(1-2yh)2

  τxy=FSbI

  由上式可見,在彎應(yīng)力σx的表達(dá)式中,第一項是主要項,和材料力學(xué)中的解答相同,第二項是彈性力學(xué)提出的修正項。對于通常的淺梁(跨高比大于5),修正項很小,可以忽略不計,對于較深的梁,則必須考慮修正項。

  應(yīng)力分量σy是梁各層纖維之間的擠壓應(yīng)力,它的最大絕對值是q,發(fā)生在梁頂。在材料力學(xué)中,由于單向應(yīng)力假設(shè),認(rèn)為縱向線之間互不擠壓,一般不考慮該應(yīng)力分量。

  切應(yīng)力τxy的表達(dá)式和材料力學(xué)完全一樣。

  從表達(dá)式中可以看到,當(dāng)l>>h時,σx最大,τxy次之,σy最小,且σx中的qyh(4y2h2-35)是高階小量。因此進(jìn)一步說明了,材料力學(xué)的公式可以近似滿足工程梁的計算精度,而彈性力學(xué)推導(dǎo)相對復(fù)雜因此材料力學(xué)具有較強的實用性。

  2.切應(yīng)力互等定理

  在材料力學(xué)中,以圓桿的扭轉(zhuǎn)為背景,考慮了一個特殊的簡單應(yīng)力狀態(tài),并加以推理得到了切應(yīng)力互等定理。在沿桿軸線方向取微段dx,垂直于徑向的平面截出一無限小的單元體,則很容易得出內(nèi)外表面無應(yīng)力,只在左右兩個面上有切應(yīng)力τ。則該單元體將會轉(zhuǎn)動不能平衡,所以推定在上下兩個縱截面上必定存在著τ'。由于面積很小,近似認(rèn)為切應(yīng)力在各面上均勻分布。

  由平衡方程ΣM=0得到

  (τdydz)dx=(τ'dxdz)dy

  從而得到:τ=τ'

  而在彈性力學(xué)中,則從最普遍的情況出發(fā),不作任何假設(shè)。取微小的平行六面體,根據(jù)平衡條件導(dǎo)出應(yīng)力分量之間的關(guān)系。由對中心點的力矩平衡方程,得到:

  (τxy+τxyxdx)dy×1×dx2+τyxdy×1×dx2-(τxy+τxyydy)dx×1×dy2+τyxdx×1×dy2=0

  將上式兩邊同除dxdy,合并同類項,并命dx dy趨于零,得到τxy=τyx   從而驗證了切應(yīng)力互等定理。

  從切應(yīng)力互等定理的導(dǎo)出我們可以發(fā)現(xiàn),材料力學(xué)在推導(dǎo)過程中運用了一些推理和假設(shè),而彈性力學(xué)的推導(dǎo)過程是比較嚴(yán)密和精確的。

  總結(jié)

  彈性力學(xué)與材料力學(xué)同樣作為力學(xué)的分支,基本假定和理論體系是相同的。在力學(xué)史上,首先出現(xiàn)了研究變形體力學(xué)的理論,屬于彈性力學(xué)的研究范疇,但由于當(dāng)時相應(yīng)的數(shù)學(xué)水平得不到相應(yīng)問題的解析解,才在求解過程中引入一些關(guān)于變形和應(yīng)力分布的假設(shè),形成材料力學(xué)這門學(xué)科。

  在研究對象方面,材料力學(xué)的研究對象是桿狀構(gòu)件,而彈性力學(xué)的研究對象則有桿、梁、柱、板等結(jié)構(gòu)。因此彈性力學(xué)有更廣的適用性,而材料力學(xué)具有一定的局限性。

  在解決具體問題是,材料力學(xué)常采用截面法,即假想將物體剖開,取截面一邊的部分物體作為截離體,利用靜力平衡條件,列出單一變量的常微分方程,以求得截面上的應(yīng)力,在數(shù)學(xué)上較易求解。彈性力學(xué)解決問題的方法與材料力學(xué)的方法是不相同的。

  在彈性力學(xué)中,假想物體內(nèi)部為無數(shù)個單元平行六面體和表面為無數(shù)個單元四面體所組成。考慮這些單元體的平衡,可寫出一組平衡微分方程,但未知應(yīng)力數(shù)總是超出微分方程數(shù),因此,彈性力學(xué)問題總是超靜定的,必須考慮變形條件。

  由于物體在變形之后仍保持連續(xù),所以單元體之間的變形必須是協(xié)調(diào)的。因此,可得出一組表示形變連續(xù)性的微分方程。

  另外,在物體表面上還必須考慮物體內(nèi)部應(yīng)力與外荷載之間的平衡,這樣就有足夠的微分方程數(shù)以求解未知的應(yīng)力、應(yīng)變與位移,所以在解決彈性理論問題時,必須考慮靜力學(xué)、幾何方程、物理方程以及邊界等方面的條件。

  因此需要研究人員具備較扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。由于數(shù)學(xué)上的困難,彈性理論問題不是總能直接從求解偏微分方程組中得到答案的。

  在計算精度方面,材料力學(xué)在計算過程中引入一些假設(shè)以簡化計算,得到的計算結(jié)果雖然精度偏低,但已經(jīng)能夠滿足工程上的精度需要,并且受力模型簡單,能夠很快的得到應(yīng)力分布,實用性較強。而彈性力學(xué)通過嚴(yán)密的推導(dǎo),雖然計算過程繁瑣但精度高。

  綜上,材料力學(xué)和彈性力學(xué)兩門力學(xué)分支學(xué)科關(guān)系密切,適用范圍互補,研究方法及精度各有長處,將他們綜合應(yīng)用,才能在我們的學(xué)習(xí)和科研中取得更好的效果。

  [參考文獻(xiàn)]

  [1]劉德華, 黃超. 材料力學(xué), 重慶大學(xué)出版社, 2011.

  [2]李兆霞, 郭力. 工程彈性力學(xué), 東南大學(xué)出版社, 2009.

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