高二解析幾何教案

　　解析幾何是利用代數(shù)方法來研究幾何圖形性質(zhì)的一門學(xué)科，它包括平面解析幾何和空間解析幾何兩部分。它的主要研究對象時(shí)直線和平面、二次曲線和二次曲面。高中階段主要研究二元二次方程所表示道的曲線，比如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等。以下是高二解析幾何教案，歡迎閱讀。

　　數(shù)學(xué)分析

　　1.解析幾何是17世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要成果之一，其本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

　　“解析幾何思想”代表了研究曲線和曲面的一般方法和手段，即用代數(shù)為工具解決幾何問題。用解析幾何的思想方法來研究幾何問題，思維過程可以表示為以下步驟:第一，用代數(shù)的語言來描述幾何圖形，例如“點(diǎn)”可以用“數(shù)對”表示，“曲線”可以用方程表示等;第二，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，例如，“兩直線平行”可以轉(zhuǎn)化為“兩直線方程組成的方程組無解”等;第三，實(shí)施代數(shù)運(yùn)算，求解代數(shù)問題;第四，將代數(shù)解轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。隨著數(shù)學(xué)本身的發(fā)展，出現(xiàn) 了代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何等數(shù)學(xué)新的分支，而拓?fù)鋵W(xué)、泛函等代數(shù)工具都可以作為研究新的曲線和曲面的工具，這些都是“解析幾何思想”的發(fā)展與推廣。

　　2.圓錐曲線是我們生活中最基本的圖形。①圓錐曲線(面)可以幫助我們刻畫一些基本的運(yùn)動(dòng)。例如，太陽系中，八大行星的運(yùn)動(dòng)軌跡都是橢圓。②光學(xué)性質(zhì)和圓錐曲線是密不可分的，基本的光學(xué)性質(zhì)都是由圓錐曲線體現(xiàn)出來的。例如，探照燈就是利用拋物面的光學(xué)性質(zhì)制作而成的，它可以將點(diǎn)光源發(fā)出的光折射成平行光，照射到足夠遠(yuǎn)的地方。幾乎所有的光學(xué)儀器都是依照圓錐曲線(面)的性質(zhì)制作的。③研究圓錐曲線(面)的性質(zhì)是體現(xiàn)解析幾何本質(zhì)的最好載體，即便是在大學(xué)數(shù)學(xué)系的學(xué)習(xí)中，如何利用方程的系數(shù)確定二次曲線的形狀，揭示其規(guī)律也是數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容。

　　3.“坐標(biāo)法”是解析幾何思想的主要組成部分，因?yàn)榻�立了坐�?biāo)系，就能把曲線和曲面的性質(zhì)用代數(shù)來表示，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決。適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)系可以大大簡化對圖形性質(zhì)的研究，但圖形的性質(zhì)不會隨著坐標(biāo)系的變化而改變。我們要研究的正是那些和坐標(biāo)系的選擇無關(guān)的性質(zhì);或者說建立坐標(biāo)系正是為了擺脫圖形對坐標(biāo)系的依賴，這在代數(shù)上就表現(xiàn)為在某個(gè)線性變換群下的不變量和不變關(guān)系。

　　4.運(yùn)算思想是數(shù)學(xué)中重要的思想之一。解析幾何的運(yùn)算，往往有較強(qiáng)的綜合性，涉及相應(yīng)的代數(shù)方程知識(包括消元思想、整體代換、函數(shù)思想、同解原理、韋達(dá)定理、方程組的解、構(gòu)造不等式、參變量代換、求解不等式)等內(nèi)容，對計(jì)算能力要求較高。在解決解析幾何問題時(shí)，要注重“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一，在計(jì)算時(shí)，要結(jié)合圖形自身的特點(diǎn)，充分挖掘圖形的幾何結(jié)論，這往往是解決問題的突破口和簡化解題過程的有效方法。解析幾何獨(dú)有的特點(diǎn)，對培養(yǎng)運(yùn)算能力能起到獨(dú)特的作用。

　　目標(biāo)分析

　　掌握直線和圓，及其之間的關(guān)系，讓學(xué)生把握用代數(shù)方法解決幾何問題的基本步驟，初步形成用代數(shù)方法去解決幾何問題的能力，幫助學(xué)生理解解析幾何的基本思想;了解圓錐曲線與二次方程的關(guān)系，掌握圓錐曲線的基本幾何性質(zhì)，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用;結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程實(shí)例，了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步體會數(shù)行結(jié)合的思想。

　　具體目標(biāo)如下：

　　(1)直線與方程

　�、僭谄矫嬷苯亲鴺�(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素;

　�、诶斫庵本�的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式;

　　③能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直;

　�、芨鶕�(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系;

　　⑤能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo);

　�、尢剿鞑⒄莆諆牲c(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。

　　(2)圓與方程

　�、倩仡櫞_定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程;

　�、谀芨鶕�(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系;

　　③能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。

　　(3)在平面“解析幾何初步”的學(xué)習(xí)過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。

　　(4)圓錐曲線

　�、倭私鈭A錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用;

　�、诮�(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單性質(zhì);

　　③掌握雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì);

　�、苣苡米鴺�(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題(直線與圓錐曲線的位置關(guān)系)和實(shí)際問題;

　　⑤通過圓錐曲線的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)行結(jié)合的思想。

　　(5)曲線與方程

　　結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程實(shí)例，了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步感受數(shù)行結(jié)合的基本思想。

　　課時(shí)安排

　　直線與直線的方程 8課時(shí)

　　圓與圓的方程 5課時(shí)

　　橢圓 4課時(shí)

　　拋物線 3課時(shí)

　　雙曲線 3課時(shí)

　　曲線與方程 4課時(shí)

　　課題學(xué)習(xí) 1課時(shí)

　　重難點(diǎn)分析

　　重點(diǎn)：

　　1.確定直線和圓的幾何要素(包括直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系得幾何要素以及直線與圓的方程中各參數(shù)的幾何意義

　　);

　　2.把幾何要素代數(shù)化，用代數(shù)方程刻畫直線與圓及其位置關(guān)系;

　　3.橢圓、拋物線、雙曲線的有關(guān)概念及利用它們的方程研究它們的簡單性質(zhì);

　　4.了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，體驗(yàn)坐標(biāo)法及數(shù)形結(jié)合在解決有關(guān)問題時(shí)的應(yīng)用。

　　難點(diǎn)：

　　對解析幾何思想的理解;體會數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想、坐標(biāo)法在解決問題中的應(yīng)用。

　　教學(xué)建議

　　1.解析幾何是研究圖形的學(xué)科，“圖”在解析幾何研究中，發(fā)揮著和重要的作用。教師應(yīng)在解析幾何的教學(xué)中，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，促進(jìn)“數(shù)形結(jié)合”思想的逐步形成。

　　2.解析幾何的教學(xué)，要注重知識的發(fā)生與發(fā)展的過程，首先將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何元素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;處理代數(shù)問題;分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題。同時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)借助幾何直觀理解代數(shù)關(guān)系的意義，即對代數(shù)關(guān)系得幾何意義的解釋。讓學(xué)生在這樣的過程中，不斷地體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。

　　3.在解析幾何的教學(xué)中，數(shù)與形是不可分離地結(jié)合在一起的，這是直觀與抽象、感知與思維的結(jié)合。這部分內(nèi)容，既需要從“數(shù)”的角度去理解，又需要從“形”的角度去理解它們;不僅要學(xué)會用它的“形”特征去理解它的“數(shù)”特征，還要學(xué)會用它的“數(shù)”特征去理解它的“形”。

　　4.加強(qiáng)學(xué)生對圖形的認(rèn)識理解和感悟能力的培養(yǎng)。學(xué)生對圖形的把握是指可以直觀地從圖形中提取有價(jià)值的信息，并對它們進(jìn)行合情推理。

　　5.“平面解析幾何的產(chǎn)生”也可以作為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的主題。圍繞“平面解析幾何的產(chǎn)生”讓學(xué)生去思考這樣幾個(gè)問題;平面解析幾何產(chǎn)生之前的數(shù)學(xué)有什么特點(diǎn)?平面解析幾何的主要內(nèi)容是什么?笛卡爾的主要貢獻(xiàn)是什么?“平面解析幾何的產(chǎn)生”對數(shù)學(xué)的發(fā)展了怎樣的影響?可以分四個(gè)小組對這四個(gè)問題進(jìn)行思考，通過小組合作查資料、討論，然后形成相應(yīng)的研究報(bào)告進(jìn)行班級展示，從而使得學(xué)生能對解析幾何及解析幾何的思想有更加深入的認(rèn)識。

　　6.通過豐富的實(shí)例讓學(xué)生了解圓錐曲線的背景，體現(xiàn)展開教學(xué)過程的理念，同時(shí)使學(xué)生體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，使他們感受到數(shù)學(xué)離自己很近，明確學(xué)習(xí)圓錐曲線的必要性。

　　7.圓錐曲線在日常生活和社會生產(chǎn)中有非常廣泛的應(yīng)用，也是數(shù)學(xué)上一個(gè)非常重要的模型。在解決實(shí)際問題中，我們更多的時(shí)候會用二次曲線來刻畫實(shí)際問題，因?yàn)樗�是比較簡單的模型。隨著人們對圓錐曲線的進(jìn)一步認(rèn)識，圓錐曲線的應(yīng)用越來越廣泛。所以，學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)，應(yīng)提高學(xué)生樹立模型觀念意識并運(yùn)用這些模型解決實(shí)際問題。

　　8.對于有條件的學(xué)校應(yīng)充分發(fā)揮現(xiàn)代教育技術(shù)的作用，通過一些軟件讓學(xué)生了解二次曲線形成的過程以及參數(shù)的變化引起方程所表示曲線的變化。這樣做可以使學(xué)生直觀地了解曲線形成的過程，將會有助于學(xué)生加強(qiáng)對該部分?jǐn)?shù)學(xué)知識的理解。當(dāng)然要避免一些利用技術(shù)代替學(xué)生能夠從事的實(shí)踐活動(dòng)，代替學(xué)生進(jìn)行思考和想象的做法。

　　學(xué)法指導(dǎo)

　　1.在學(xué)習(xí)過程中，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注用解析幾何解決問題的基本步驟：(1)將幾何問題用代數(shù)語言表達(dá);(2)處理數(shù)量關(guān)系;(3)分析計(jì)算結(jié)果，得到幾何結(jié)論。在學(xué)習(xí)中，邊體會、邊小結(jié)、邊理解。

　　2.養(yǎng)成畫圖習(xí)慣，對每一個(gè)問題，邊審題、邊畫圖。切忌單純地列方程、解方程。

　　3.帶著如下問題閱讀課本，“什么事解析幾何的基本思想”和“笛卡爾對解析幾何的貢獻(xiàn)”;又如“描述直線的關(guān)鍵因素是什么”“確定一條直線的準(zhǔn)確位置最少需要幾個(gè)條件”。

　　4.在小結(jié)階段，繪制“知識內(nèi)容表格”，學(xué)生間交流并討論“不同的表格有什么特點(diǎn)”。通過這種方式，引導(dǎo)學(xué)生從書中自然地總結(jié)出數(shù)學(xué)基本思想和數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，獲得學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

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