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分?jǐn)?shù)階統(tǒng)計(jì)分布與金融投資分析論文
摘要：在金融投資領(lǐng)域，常會(huì)遇到根據(jù)歷史行情對(duì)未來(lái)行情走勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)的問(wèn)題，對(duì)此本文通過(guò)樣本總體分布判斷，建立Lévy穩(wěn)定分布決策模型擬合數(shù)據(jù)，求解分布統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)分布統(tǒng)計(jì)量求解金融投資的兩大重要參數(shù)，最終得到企業(yè)金融投資決策問(wèn)題的一類優(yōu)選方法。
關(guān)鍵詞：Lévy穩(wěn)定分布；置信區(qū)間；金融投資；正態(tài)分布
1、分?jǐn)?shù)階統(tǒng)計(jì)分布簡(jiǎn)介
分?jǐn)?shù)階統(tǒng)計(jì)分布及其隨機(jī)過(guò)程是一類廣泛應(yīng)用于描述非高斯變量和非馬爾科夫過(guò)程的統(tǒng)計(jì)方法。Lévy穩(wěn)定分布是一種具有冪律特征的分?jǐn)?shù)階統(tǒng)計(jì)分布，其概率密度或累計(jì)分布曲線表現(xiàn)為尖峰拖尾特征，尾部為冪律衰減，對(duì)應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程可以描述長(zhǎng)程相關(guān)性和突發(fā)性。1963年Mandelbrot首次將其用于金融領(lǐng)域。
2、問(wèn)題引入
金融市場(chǎng)與一般商品市場(chǎng)的根本區(qū)別在于它的收益的不確定性，在日趨復(fù)雜的市場(chǎng)條件下，想要在變幻莫測(cè)的金融市場(chǎng)中作出合理的、科學(xué)的決策，采用合理的數(shù)學(xué)方法，從經(jīng)驗(yàn)投資向科學(xué)投資發(fā)展至關(guān)重要�，F(xiàn)有一公司欲拿出1000萬(wàn)元流動(dòng)資金進(jìn)行股票投資，該公司在過(guò)去的255個(gè)股票交易日中的日收益額（如表1所示）。該公司打算根據(jù)上述歷史行情進(jìn)行決策，其中日均十萬(wàn)元損失率與置信度95%的日均損失額為兩個(gè)重要的參考指標(biāo)。本文使用分?jǐn)?shù)階統(tǒng)計(jì)分布方法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行求解。3模型假設(shè)(1)假定表1中的數(shù)據(jù)為每天結(jié)算一次且保持每天在市場(chǎng)上的投資額為1000萬(wàn)元。(2)由于市場(chǎng)受眾多隨機(jī)因素影響，因此認(rèn)為每天公司收益額數(shù)據(jù)之間相關(guān)性極弱，近似認(rèn)為相互獨(dú)立。(3)所給數(shù)據(jù)具有真實(shí)性、代表性、可靠性。即忽略統(tǒng)計(jì)誤差，排除人為因素，認(rèn)為此數(shù)據(jù)是正常市場(chǎng)投資的結(jié)果。
4、模型的求解
4.1基于分?jǐn)?shù)階統(tǒng)計(jì)分布的投資決策模型
Lévy穩(wěn)定分布是一類分?jǐn)?shù)階統(tǒng)計(jì)分布，該分布的概率密度函數(shù)具有尖峰、非對(duì)稱、拖尾特征�？坍�(huà)此類分布需要四個(gè)參數(shù)，分別是穩(wěn)定系數(shù)α、傾斜指數(shù)β、尺度參數(shù)γ和位置參數(shù)δ，參數(shù)的取值范圍分別為：0≤α≤2,-1≤β≤1,γ>0,δ∈R。正態(tài)分布和柯西分布是其穩(wěn)定指數(shù)等于2和1時(shí)的特殊情形。Lévy穩(wěn)定分布傾斜指數(shù)能夠刻畫(huà)收益額統(tǒng)計(jì)分布的拖尾特征，為研究金融投資收益額的統(tǒng)計(jì)分布提供了一種更為優(yōu)良的方法。此外，由于Lévy穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)均沒(méi)有統(tǒng)一的解析表達(dá)式，因此，采用合適的軟件工具十分必要，本文利用一種Lévy穩(wěn)定分布軟件工具包及相關(guān)程序?qū)崿F(xiàn)分布統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算。
4.2Lévy穩(wěn)定分布參數(shù)計(jì)算
為了刻畫(huà)Lévy穩(wěn)定分布,首先需要計(jì)算Lévy穩(wěn)定分布的四個(gè)參數(shù)，利用經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)法估計(jì)收益額樣本對(duì)應(yīng)的Lévy穩(wěn)定分布參數(shù)(如表2所示)。對(duì)得到的標(biāo)準(zhǔn)Lévy模型做進(jìn)一步分析，對(duì)樣本數(shù)據(jù)與Lévy隨機(jī)數(shù)做K-S檢驗(yàn)，得到顯著性水平值為0.3921（置信水平為0.05），接受原假設(shè)H0，即樣本數(shù)據(jù)滿足Lévy總體分布。對(duì)比正態(tài)總體的K-S檢驗(yàn)水平0.028，易知Lévy穩(wěn)定分布相比高斯分布更適合該投資決策模型。類似的，利用經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)法，結(jié)合CMS生成的Lévy隨機(jī)數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)模型求出對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。值得說(shuō)明的是，一般有兩種方法可以求解分布函數(shù)：經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)法與百分位法,后者具有更高的計(jì)算效率，但誤差稍大，因此本模型中均選取經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)法計(jì)算分布函數(shù)。表3是兩種方法求得的Lévy穩(wěn)定分布統(tǒng)計(jì)量與標(biāo)準(zhǔn)Lévy分布的對(duì)比。圖1是樣本累積分布函數(shù)與Lévy累積分布函數(shù)圖，樣本擬合得到的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)Lévy曲線基本重合，可見(jiàn)用Lévy穩(wěn)定分布來(lái)模擬金融投資行為是較為可靠的。
4.3模型求解
通過(guò)MATLAB使用多項(xiàng)式函數(shù)擬合樣條曲線，可以得到9次擬合多項(xiàng)式約為（由于matlab只能得到各系數(shù)取值的置信區(qū)間，本文中多項(xiàng)式各系數(shù)為置信區(qū)間中值）：則下一交易日的日均十萬(wàn)元損失率為：P(x<-10)=F(-10)=0.03944，故而下一周期損失超過(guò)十萬(wàn)元的概率為3.944%。置信度95%的日均損失額為F-1（0.05）=8.8185，故而在95%置信度下?lián)p失不超過(guò)8.8185萬(wàn)元。
5、模型分析與推廣
本文通過(guò)Lévy穩(wěn)定分布模型對(duì)金融投資中的重要參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，由于本問(wèn)題的日收益樣本概率密度函數(shù)具有尖峰拖尾特征，故從理論上分析，采用Lévy穩(wěn)定分布可以得到較高斯分布更為優(yōu)化的結(jié)果。本文中通過(guò)對(duì)Lévy穩(wěn)定分布進(jìn)行K-S檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)Lévy穩(wěn)定分布的顯著性水平低于正態(tài)分布，證明了Lévy穩(wěn)定分布在金融投資問(wèn)題解決中的優(yōu)越性。除了金融投資之外，Lévy穩(wěn)定分布模型還廣泛應(yīng)用于反常擴(kuò)散，信號(hào)處理等領(lǐng)域。
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