數(shù)學(xué)的本質(zhì)與數(shù)學(xué)對(duì)象

時(shí)間：2022-10-08 05:15:00 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文我要投稿

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　　數(shù)學(xué)的本質(zhì)與數(shù)學(xué)對(duì)象是小編為大家?guī)?lái)的論文范文，歡迎閱讀。

數(shù)學(xué)的本質(zhì)與數(shù)學(xué)對(duì)象

　　摘要：數(shù)學(xué)，這門最古老，同時(shí)在當(dāng)代仍有無(wú)限發(fā)展?jié)摿Φ膶W(xué)科的生命力正是來(lái)自于其對(duì)自身歷史的永無(wú)止境的超越中，并得益于其研究對(duì)象的豐富性與研究范圍的廣泛性，以及其研究方法的多樣性和思維方式的深刻性和創(chuàng)造性。

　　關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)本質(zhì);數(shù)學(xué)對(duì)象

　　數(shù)學(xué)的本質(zhì)及數(shù)學(xué)研究對(duì)象是一個(gè)動(dòng)態(tài)的概念體系。

　　它隨著數(shù)學(xué)在不同歷史時(shí)期的發(fā)展而被賦予逐步變化的、越來(lái)越豐富深刻的意義。

　　因此，對(duì)數(shù)學(xué)的任何定義與理解都只能是某一歷史階段的產(chǎn)物，因而都有其鮮明的時(shí)代特色和局限性。

　　數(shù)學(xué)是不可能有一個(gè)永恒、絕對(duì)、不變的本質(zhì)和對(duì)象的，否則數(shù)學(xué)將停留在本體論和認(rèn)識(shí)論的僵化教條中，而無(wú)法生機(jī)勃勃的發(fā)展。

　　數(shù)學(xué)，這門最古老，同時(shí)在當(dāng)代仍有無(wú)限發(fā)展?jié)摿Φ膶W(xué)科的生命力正是來(lái)自于其對(duì)自身歷史的永無(wú)止境的超越中，并得益于其研究對(duì)象的豐富性與研究范圍的廣泛性，以及其研究方法的多樣性和思維方式的深刻性和創(chuàng)造性。

　　麥克萊恩給數(shù)學(xué)的定義是：“數(shù)學(xué)在于對(duì)形式的不斷發(fā)現(xiàn)，而形式結(jié)構(gòu)則反映了客觀世界和人類在這個(gè)世界里的實(shí)踐活動(dòng)。

　　強(qiáng)調(diào)的是那些具有廣泛應(yīng)用和深刻反映現(xiàn)實(shí)世界某一方面的結(jié)構(gòu)。

　　詳細(xì)地講，數(shù)學(xué)的發(fā)展利用經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)的洞察力去發(fā)現(xiàn)合適的形式結(jié)構(gòu)，對(duì)這些結(jié)構(gòu)進(jìn)行演繹分析，并建立這些結(jié)構(gòu)之間的形式聯(lián)系。

　　換句話說(shuō)，數(shù)學(xué)研究相互關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)。

　　對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解的一個(gè)基點(diǎn)就是數(shù)學(xué)與客觀物質(zhì)世界的關(guān)系。

　　正如大多數(shù)數(shù)學(xué)家所承認(rèn)的那樣，數(shù)學(xué)不是一門經(jīng)驗(yàn)科學(xué)。

　　盡管數(shù)學(xué)的發(fā)展與自然科學(xué)緊密相聯(lián)，但數(shù)學(xué)卻有著迥然不同于經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的方法。

　　數(shù)學(xué)與其他任何一門學(xué)科所不同的，是它提供了現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的語(yǔ)言和工具。

　　它的思想是許多物理學(xué)說(shuō)的核心，并為其產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。

　　近代科學(xué)之所以能演變成為現(xiàn)代科學(xué)，第一個(gè)決定性的步驟是它的數(shù)學(xué)化。

　　不僅如此，在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)的作用也在日益增大。

　　數(shù)學(xué)與人類其他的文化創(chuàng)造是息息相關(guān)的統(tǒng)一整體。

　　數(shù)學(xué)所追求的是一種完全確定、完全可靠的知識(shí)。

　　例如在歐幾里得平面上三角形內(nèi)角和為。

　　這意味著，不是有些三角形的內(nèi)角和為，也不是說(shuō)在一定誤差范圍內(nèi)三角形內(nèi)角和為，而是斷定，所有三角形的內(nèi)角和不多不少恰好為。

　　從古希臘的文明中，我們就已經(jīng)看到這種基本的趨向。

　　古希臘人對(duì)數(shù)學(xué)最重要的貢獻(xiàn)是把東方的經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)升華為演繹數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)的演繹性質(zhì)是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他科學(xué)的最重要標(biāo)志，并一直主導(dǎo)著數(shù)學(xué)發(fā)展的方向。

　　柏拉圖堅(jiān)信數(shù)學(xué)對(duì)哲學(xué)和了解宇宙的重要作用，認(rèn)為沒(méi)有數(shù)學(xué)就不可能有真正的智慧。

　　柏拉圖還認(rèn)為，數(shù)學(xué)公式或規(guī)律是洞察永恒理念的一個(gè)必要階梯。

　　畢達(dá)哥拉斯學(xué)派也宣稱，數(shù)是一切事物的本質(zhì)，整個(gè)有規(guī)定的宇宙的組織就是數(shù)與數(shù)的關(guān)系的和諧系統(tǒng)。

　　古希臘人相信，數(shù)學(xué)所探討的不是稍縱即逝的知識(shí)，不是服務(wù)于某種具體物質(zhì)需要的問(wèn)題，而是某種永恒不變的東西。

　　所以，數(shù)學(xué)的對(duì)象必須有明確無(wú)誤的概念，而且其方法必須由明確無(wú)誤的命題開(kāi)始，并服從明確無(wú)誤的概念，借以達(dá)到正確的結(jié)論。

　　為了純形式地較深入地研究并把握數(shù)學(xué)中的各種關(guān)系，有必要把物的某些性質(zhì)排除在外，數(shù)學(xué)需要而且必須采用抽象的過(guò)程達(dá)到其認(rèn)識(shí)目的。

　　隨著人類對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象認(rèn)識(shí)的過(guò)程的不斷深入，數(shù)學(xué)的抽象程度也在不斷提高。

　　抽象化越來(lái)越成為數(shù)學(xué)的重要特點(diǎn)。

　　數(shù)學(xué)的抽象化作為數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的出發(fā)點(diǎn)，是一種歷史的自然過(guò)程，因此應(yīng)該視為數(shù)學(xué)成為一門科學(xué)的起點(diǎn)。

　　客觀世界中的一切對(duì)象之間都以各種方式相互聯(lián)系和相互作用者。

　　其中既有本質(zhì)的、必然的、永久的東西，也有非本質(zhì)的、偶然的、暫時(shí)的東西。

　　為了達(dá)到認(rèn)識(shí)世界的目的，有必要對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的屬性進(jìn)行分析，排除次要成分，以純粹的形式來(lái)觀察現(xiàn)實(shí)，這樣一個(gè)過(guò)程就是抽象。

　　所謂抽象，從廣泛的意義看，就是以某一特定角度看待對(duì)象的過(guò)程，在這一過(guò)程中可以忽視對(duì)象的其他性質(zhì)。

　　因此，抽象意味著抽取或分離。

　　在數(shù)學(xué)中，可以把重要性質(zhì)篩選出來(lái)的思維過(guò)程，稱為抽象化。

　　數(shù)學(xué)中的最普遍的抽象化手段，有等置抽象、分析的或孤立化的抽象、構(gòu)成數(shù)學(xué)的無(wú)限概念時(shí)不可缺乏的實(shí)現(xiàn)可能性的抽象等。

　　其中最基本的是等置抽象的方法，亦稱一般化的抽象。

　　等置抽象，有時(shí)也稱為根據(jù)抽象得到的定義或?qū)ο蠊餐再|(zhì)的抽象。

　　在古希臘，歐道克斯、歐幾里得在不能確定一個(gè)幾何學(xué)中比的直接意義時(shí)，就依賴了等置抽象的方法。

　　徐利治教授在《數(shù)學(xué)方法論選講》一書中，對(duì)數(shù)學(xué)中的抽象進(jìn)行了論述，提出了數(shù)學(xué)抽象度的一般概念，并論述了抽象度分析法。

　　徐利治教授進(jìn)行這一研究的價(jià)值在于他把對(duì)抽象性與抽象過(guò)程的研究初步地賦予了數(shù)學(xué)量化的意義。

　　2000多年前，歐幾里得的《幾何原本》誕生了。

　　這部不朽的數(shù)學(xué)著作確立了幾何學(xué)的確實(shí)性。

　　自那時(shí)起，任何一種認(rèn)識(shí)論都要談到數(shù)學(xué)的這種確實(shí)性。

　　這種認(rèn)識(shí)論可追溯至歐幾里得之前，柏拉圖就認(rèn)為希臘幾何學(xué)的確實(shí)性來(lái)自數(shù)學(xué)對(duì)象永恒不變的完美性。

　　雖然歐幾里得幾何學(xué)提供了數(shù)學(xué)確實(shí)性的范例，但數(shù)學(xué)的確實(shí)性并不僅僅局限于幾何學(xué)。

　　法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾就是把幾何圖形看成動(dòng)點(diǎn)的軌跡，用數(shù)對(duì)作為動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示后，才建立了解析幾何學(xué)的。

　　幾何學(xué)研究由此被納入代數(shù)學(xué)的范疇，代數(shù)方法顯示出其普遍的意義。

　　笛卡爾認(rèn)為確立一門科學(xué)的演繹結(jié)構(gòu)是在分析或發(fā)現(xiàn)之后的任務(wù)。

　　人們首先要把整體分解為正確的要素，然后從中推演出真理來(lái)。

　　他在《方法談》中寫道，第一規(guī)則，是絕不把任何事物當(dāng)作真的加以接受，除非我認(rèn)識(shí)到它是顯然如此的。

　　第二是把我遇到的每一種困難的事物盡可能地劃分成許多部分，每一部分都較容易解答。

　　第三是從最簡(jiǎn)單的和最易于理解的事物出發(fā)，循序漸進(jìn)地達(dá)到更復(fù)雜的知識(shí)。

　　笛卡爾是把他的方法當(dāng)作數(shù)學(xué)和科學(xué)發(fā)現(xiàn)的鑰匙提出來(lái)的。

　　笛卡爾相信，仿效數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的成功方法將會(huì)導(dǎo)致其他領(lǐng)域的成功發(fā)現(xiàn)。

　　而數(shù)學(xué)是惟一使笛卡爾真正感到滿意的學(xué)科，因?yàn)樗淖C明具有確實(shí)性。

　　笛卡爾知道，知識(shí)也是從經(jīng)驗(yàn)通過(guò)推導(dǎo)和從經(jīng)驗(yàn)通過(guò)歸納而推出來(lái)的。

　　但笛卡爾相信從一個(gè)可靠的出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行演繹。

　　他指出，經(jīng)驗(yàn)從高度復(fù)雜的對(duì)象開(kāi)始，因此從它們進(jìn)行推理很容易產(chǎn)生錯(cuò)誤，但演繹只要以普通的智力加以運(yùn)用，就不可能發(fā)生錯(cuò)誤。

　　笛卡爾指出：“這清楚地說(shuō)明了，算術(shù)和幾何為什么遠(yuǎn)比其他科學(xué)確實(shí)。前者只處理那么純粹而又那么簡(jiǎn)單的對(duì)象，以致它們根本不需要作經(jīng)驗(yàn)使之變得不確實(shí)的那些假定，而它們完全在于理性地歸納與推論。”數(shù)學(xué)結(jié)論的確實(shí)性的一個(gè)突出特點(diǎn)就是無(wú)人對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論產(chǎn)生異議。

　　伏爾泰就寫道幾何學(xué)不存在流派，人們不說(shuō)它是歐幾里得的或阿基米德。

　　然而，非歐幾何的誕生開(kāi)始動(dòng)搖關(guān)于數(shù)學(xué)的形而上學(xué)的觀點(diǎn)。

　　康德曾用數(shù)學(xué)的確實(shí)性試圖表明形而上學(xué)是可能存在的。

　　如果存在形而上學(xué)，那它就是獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)的。

　　那么，數(shù)學(xué)的確實(shí)性是怎樣一種定義呢?很明顯，柏拉圖關(guān)于世界是真實(shí)的數(shù)學(xué)實(shí)在的一個(gè)不完全的模型的看法已不再適合。

　　在數(shù)學(xué)家看來(lái)，由于在系統(tǒng)中沒(méi)有給原始術(shù)語(yǔ)指派意義，因而幾何學(xué)中僅有這樣一些恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題，它們是關(guān)于從不予解釋的公理到不予解釋的定理的邏輯可推導(dǎo)性。

　　這樣一來(lái)，任何一門幾何都是確實(shí)的，不過(guò)是在某種退化意義上的確實(shí)性，即避免與客觀真理進(jìn)行檢驗(yàn)的意義上。

　　有些數(shù)學(xué)家主張數(shù)學(xué)公理的選擇是理智的自由選擇，而不是受經(jīng)驗(yàn)限制的選擇。

　　愛(ài)因斯坦曾表達(dá)過(guò)相當(dāng)令人費(fèi)解的觀點(diǎn)：“只要數(shù)學(xué)的定律涉及實(shí)在，它們就不是確定的;只要它們是確定的，它們就不涉及存在。”現(xiàn)在，人們?cè)絹?lái)越傾向于認(rèn)為，數(shù)學(xué)理論是在為一個(gè)經(jīng)驗(yàn)實(shí)體提供一組不同的可選擇的模型。

　　這是笛卡爾、黎曼這些數(shù)學(xué)巨人偉大數(shù)學(xué)思想的復(fù)興。

　　數(shù)學(xué)通過(guò)對(duì)模型的揭示與研究，為我們展示了奧秘?zé)o窮并有著內(nèi)在規(guī)律的宇宙的秩序與運(yùn)作。

　　當(dāng)代數(shù)學(xué)已不僅僅是代數(shù)與幾何，而是一門豐富多彩的內(nèi)容廣泛的學(xué)科。

　　當(dāng)代數(shù)學(xué)所處理的是科學(xué)中的數(shù)據(jù)、測(cè)量、觀測(cè)資料，是推斷、演繹、證明，是自然現(xiàn)象、人類行為、社會(huì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

　　在當(dāng)代，數(shù)學(xué)的確實(shí)性的意義已經(jīng)變?yōu)槟Ｊ降囊饬x，而模式是組成世界的基本結(jié)構(gòu)。

　　數(shù)學(xué)就是為模式的識(shí)別、分類和利用建立起來(lái)的一套規(guī)范的開(kāi)放的變化的思想體系。

　　數(shù)學(xué)是理解和認(rèn)識(shí)世界強(qiáng)有力的普遍的思維方式，數(shù)學(xué)是信息處理的有效手段。

　　在柏拉圖看來(lái)，數(shù)學(xué)之所以有可應(yīng)用性，是因?yàn)槲覀兩畹氖澜绮贿^(guò)是對(duì)更高級(jí)的數(shù)學(xué)實(shí)在的一種近似。

　　甚至行星的運(yùn)動(dòng)也劣于純粹的數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)。

　　而對(duì)亞里士多德來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)對(duì)象僅僅是經(jīng)由人們的理智從物理世界中抽象出來(lái)的。

　　數(shù)學(xué)常被譽(yù)為自然科學(xué)的皇后。

　　數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)語(yǔ)言對(duì)自然科學(xué)的功效是獨(dú)特的和不可替代的。

　　培根稱數(shù)學(xué)為通向科學(xué)大門的鑰匙。

　　數(shù)學(xué)語(yǔ)言的精確、簡(jiǎn)潔、抽象，形式化等特點(diǎn)，使得對(duì)一門科學(xué)來(lái)說(shuō)，若有達(dá)到量化水平，就必須依賴數(shù)學(xué)這門語(yǔ)言。

　　1928年，英國(guó)物理學(xué)家狄拉克將量子力學(xué)和相對(duì)論相結(jié)合，建立了相對(duì)論量子力學(xué)，并給出了描述單個(gè)電子行為的電子波動(dòng)方程狄拉克方程。

　　并從理論上推導(dǎo)出一系列性質(zhì)。

　　例如預(yù)言了正電子的存在等，后來(lái)得到了實(shí)驗(yàn)證實(shí)。

　　在狄拉克方程中，矩陣?yán)碚撈鸬搅嘶咀饔谩?/p>

　　1908年哈代在純粹數(shù)學(xué)方面的一篇論文，后來(lái)被認(rèn)為對(duì)遺傳學(xué)很有意義。

　　德國(guó)物理學(xué)家溫伯格也獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了相同的原則，后稱為哈代溫伯格平衡。

　　數(shù)學(xué)日益廣泛的技術(shù)性質(zhì)，與其科學(xué)性質(zhì)一起，構(gòu)成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)應(yīng)用性的兩個(gè)基本方向。

　　數(shù)學(xué)技術(shù)的泛化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在信息時(shí)代的新特點(diǎn)，尤其是在計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速崛起中，數(shù)學(xué)技術(shù)扮演者決定性的角色。

　　數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系科學(xué)現(xiàn)象和有計(jì)算機(jī)提供的模型之間的媒介。

　　科學(xué)計(jì)算已成為與理論科學(xué)和實(shí)驗(yàn)科學(xué)并列的第三種科學(xué)方法。

　　科學(xué)計(jì)算方法把數(shù)學(xué)概念引入現(xiàn)實(shí)世界的科學(xué)模型中，其作用可與公理化理論和微分方程相媲美。

　　計(jì)算機(jī)模型已經(jīng)使數(shù)學(xué)科學(xué)延伸到了科學(xué)和工程實(shí)踐的每一個(gè)角落。

　　值得深思的是，計(jì)算機(jī)之所以成為可能是由于波爾、康托、圖靈、諾依曼等數(shù)學(xué)家所從事的抽象理論的應(yīng)用。

　　但在計(jì)算機(jī)誕生之前，這些理論被譏諷為完全脫離實(shí)際的瞎抽象。

　　既然我們無(wú)法預(yù)料哪些數(shù)學(xué)理論將是有用的，那么僅僅從數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值這一狹隘的角度看，我們也不應(yīng)該放棄那些暫時(shí)無(wú)用的基礎(chǔ)研究，而應(yīng)該開(kāi)展全方位的數(shù)學(xué)研究，把數(shù)學(xué)科學(xué)的真理完整、全面、系統(tǒng)地揭示出來(lái)。

　　只有這樣，才能不致遺漏地為其應(yīng)用做好準(zhǔn)備。

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]《數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)文化》陜西師范大學(xué)出版社.

　　[2]《科學(xué)與美》遼寧科技出版社.

　　[3]《物理學(xué)家的自然觀》商務(wù)印書館.

　　[4]《數(shù)學(xué)史譯文集續(xù)集》上�？萍汲霭嫔�.

　　[5]《追求科學(xué)技術(shù)精神》廣西人民出版社.

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