周期函數(shù)研究論文

　　周期函數(shù)研究論文，函數(shù)的周期性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，也是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的難點(diǎn)。

　　周期函數(shù)研究論文【1】

　　摘　要 函數(shù)的周期性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，也是三角函數(shù)這章的難點(diǎn)。由于高中教材對這一性質(zhì)的介紹因精而簡，不利于學(xué)生的深刻理解與掌握，文章擬做一些解說。

　　關(guān)鍵詞 重復(fù)出現(xiàn);周期函數(shù);定義;周期求解

　　一、周期函數(shù)的引入

　　眾所周知，世界上的萬事萬物都在不停地運(yùn)動、變化，其中又有很多事物都按照一定規(guī)律運(yùn)動、變化。“離離原上草，一歲一枯榮”，即描寫了因地球的自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)而引起的寒暑易節(jié)重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律。與此類似，有些函數(shù)也有這種現(xiàn)象，起函數(shù)值按照一定規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)，如函數(shù)y=sinx、y=cosx等。周期函數(shù)就是研究這種函數(shù)按照一定規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)的。

　　二、周期函數(shù)定義剖析

　　人教版高中教材對周期函數(shù)的定義是：一般地，對于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個(gè)不為0的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把這個(gè)函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)，不為0的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。

　　(1)定義中的“每一個(gè)x”即函數(shù)定義域內(nèi)的所有x都有f(x+T)=f(x)成立才行。這里只要有一個(gè)x不能使該關(guān)系成立，則T就不是f(x)的周期。如函數(shù)y=sinx(x≠0)，由于f(2π)=0， f(0)沒有意義，∴f(2π+0)≠f(0)，∴T=2π就不是函數(shù)y=sinx(x≠0)的周期。事實(shí)上，由于f(0)沒有意義，所以就不存在這樣的常數(shù)T≠0，使得f(0+T)=f(0)成立，所以函數(shù)y=sinx(x≠0)就不是周期函數(shù)。

　　(2)關(guān)系式f(x+T)=f(x)隱含這樣一個(gè)事實(shí)：若x是f(x)定義域內(nèi)的任一個(gè)值，則x+T一定是該定義域中的一個(gè)值，同時(shí)(x+T)+T還是該定義域中的一個(gè)值。以次類推，x+nT是定義域中的一個(gè)值……，所以周期函數(shù)的定義域一定是“無限的”，象函數(shù)y=sinx，x∈(-4π，4π)就不是周期函數(shù)。

　　(3)周期函數(shù)的定義域是“無限的”，不是說其定義域一定是一切實(shí)數(shù)，只是說其定義域不能受某一數(shù)“限制”。有些周期函數(shù)的定義域就是無數(shù)個(gè)區(qū)間的并，如y=tgx的定義域就不是一切實(shí)數(shù);又有些周期函數(shù)的定義域?yàn)闊o數(shù)個(gè)零點(diǎn)，如y=的定義域?yàn)閤=kπ(k∈Z)。

　　(4)若有f(x+T)=f(x)，用x-T代換x 得f(x)= f(x-T)，用用x-T代換x 得f[(x+T)+T]=f(x)f(x+T)=f(x)成立，即f(x+2T)=f(x);同理還可得f(x+3T)=f(x)，以次類推，并依定義可知：若f(x)的周期為T，則-2T，-T，T，2T，3T，…，nT，…全部是f(x)的周期，即周期函數(shù)的周期應(yīng)為無數(shù)多個(gè)，如y=sinx的周期有：…，-4π，-2π，2π，4π，6π，…

　　(5)在周期函數(shù)f(x)的無數(shù)個(gè)周期中，若有最小的正數(shù)，則稱該周期為最小正周期。我們通常所指的周期為最小正周期。但有些周期函數(shù)就沒有最小正周期，如f(x)=sin2x+cos2x，因?yàn)閷τ谌我獠粸?的常數(shù)T，都有f(x+T)=f(x)=1，所以該函數(shù)沒有最小正周期。

　　三、求周期函數(shù)的周期

　　常見的周期函數(shù)主要是三角函數(shù)或由三角函數(shù)和其它簡單函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)。

　　周期函數(shù)的周期性在題解中的應(yīng)用【2】

　　摘 要： 周期函數(shù)在定義域內(nèi)的形態(tài)是周期變化的，所以在解決周期函數(shù)的有關(guān)問題時(shí)，常利用它的周期性解題.

　　關(guān)鍵詞： 周期函數(shù) 題解 應(yīng)用 周期性

　　設(shè)f(x)是定義在某一數(shù)集D上的函數(shù)，若存在一常數(shù)T(T≠0)，具有性質(zhì)：(1)?坌x∈D，有x±T∈D;(2)?坌x∈D，有f(x±T)=f(x).那么稱T為f(x)的一個(gè)周期.如果所有正周期中有一個(gè)最小的，稱它為函數(shù)f(x)的最小正周期.

　　一、求函數(shù)的周期

　　引理1：若周期函數(shù)f(x)有最小正周期T，則kf(x)+c(k≠0)，1/f(x)也有最小正周期T;函數(shù)f(ax+b)(a≠0)有最小正周期T/|a|.

　　例1.求y=tgx+ctg2x的最小正周期

　　分析：將函數(shù)解析式化為只含有一個(gè)三角函數(shù)式的形式，再求最小正周期.

　　解：y=tgx+ctg2x=sinx/cosx+cos2x/sin2x=cos(x-2x)/cosxsin2x=1/sin2x

　　函數(shù)y=sinx的最小正周期為2π

　　函數(shù)y=sin2x的最小正周期為π

　　函數(shù)y=1/sin2x的最小正周期為π

　　故函數(shù)y=tgx+ctg2x的最小正周期為π

　　由例1可知解這類問題的一般方法是將解析式化為只含有一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)的周期，求所給函數(shù)的周期.

　　二、求函數(shù)的定義域

　　引理2：若f(x)有最小正周期T，則f(x)的任何正周期T一定是T的整數(shù)倍.

　　例2.求函數(shù)y=1/(1+tgx)的定義域

　　分析：分式有意義的條件是分母不為零，還要注意正切函數(shù)本身要有意義.

　　解：要使函數(shù)y=1/(1+tgx)有意義，則1+tgx≠0且x≠kπ+π/2(k∈Z)

　　要使1+tgx≠0即tgx≠-1，

　　又∵函數(shù)y=tgx的周期是π

　　∴在(-π/2，π/2)內(nèi)，x≠π/4

　　∴x≠kπ+π/4(K∈Z)

　　故函數(shù)y=1/(1+tgx)的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠kπ+π/4，x≠kπ+π/2，k∈Z}.

　　因?yàn)橹芷诤瘮?shù)在定義域內(nèi)形態(tài)呈周期變化，所以研究這種函數(shù)時(shí)，不必分析其整個(gè)定義域內(nèi)的情況，而只需在一個(gè)定義域內(nèi)討論特解.

　　引理3：如果f(x)是g(x)定義在同一個(gè)集合M上的周期函數(shù)，周期分別為T和T，且T/T=a，而a是有理數(shù)，則它們的和、差、積也是周期函數(shù)，且T和T的公倍數(shù)為其一個(gè)周期.

　　三、求函數(shù)的極值

　　例3.求函數(shù)y=1+sinx+cosx+sinxcosx的最大值

　　解：設(shè)函數(shù)y=sinx+cosx，y=sinxcosx

　　∵y=sinx+cosx=cos(x-π/4)

　　∴y的周期是T=2π

　　∴當(dāng)x=2kπ+π/4(k∈Z)時(shí)，y有最大值

　　有∵y=sinxcosx=sin2x/2，y的周期T=π

　　∴當(dāng)x=kπ(k∈Z)時(shí)，y有最大值1/2

　　又∵T與T的公倍數(shù)為2π

　　由上述定理可知，2π是函數(shù)y=1+y+y的一個(gè)周期，而在[0，2π]內(nèi)，y、y都只有一個(gè)最大值點(diǎn)x=π/4

　　當(dāng)x=2kπ+π/4(k∈Z)時(shí)，y=1+y+y=(3+2)/2

　　四、解方程

　　例4.解方程tg10x+tg2x=0

　　解:設(shè)y=tg10x，y=tg2x，則他們的最小正周期分別為T=π/10、T=π/2

　　由上述引理可知，它們的最小公倍數(shù)π/2就是函數(shù)y=tg10x+tg2x的一個(gè)周期.在[0，π/2]內(nèi)，方程無意義的點(diǎn)的集合是M={π/20，3π/20，π/4，7π/20，9π/20}

　　將方程改寫為tg10x=tg(-2x)

　　10x=k-2x，即x=kπ/12(k∈Z)

　　當(dāng)k取0，1，2，3，4，5，6時(shí)，x在[0，π/2]上的值分別為0，π/12，π/6，π/4，π/3，5π/12，π/2，但π/4∈M，故不能是方程的根.

　　原方程的根是x=nπ/2+kπ(0≤k≤6，k≠3，k∈Z，n∈Z)

　　五、解不等式

　　例5.解不等式cos3x+2cosx≤0

　　解：∵cos3x+2cosx=2cos2xcosx+cosx=cosx(2cos2x+1)≤0

　　由cosx=0，得x=kπ+π/2(k∈Z)

　　由(2cos2x+1)=0得x=kπ±π/3(k∈Z)

　　又y=cosx的周期T=2π，y=2cos2x+1的周期T=π，它們的最小公倍數(shù)2π，故在[0，2π]上，cosx=0的根為π/2，3π/2;(2cos2x+1)=0的根為π/3，，2π/3，4π/3，5π/3，所以cos3x+2cosx=0在[0，2π]有6個(gè)根，它們分別為π/2，3π/2，π/3，2π/3，4π/3，5π/3故不等式的解集為：

　　M={x|2kπ+π/3≤x≤2kπ+π/2}∪{x|2kπ+2π/3≤x≤2kπ+4π/3}∪{x|2kπ+3π/2≤x≤2kπ+5π/3}(k∈Z)

　　從以上幾類可以知道，從三角形的周期性解決數(shù)學(xué)問題，借助三角形周期性這一特殊性質(zhì)可以解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題并且使之簡單化，所以當(dāng)我們利用三角形函數(shù)周期性解決這些問題時(shí)，前提是必須理解和掌握三角形的周期性.

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]姚偉國.用圖像法巧求三角函數(shù)的周期[J].職業(yè)技術(shù)教育，1999，(04).

　　[2]楊紹業(yè).三角函數(shù)周期的求法[J].師范教育，1991，(06).

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