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常微分方程教學(xué)方法論文
常微分方程教學(xué)方法論文【1】
摘 要： 作者結(jié)合常微分方程課程的特點(diǎn)主要從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力等方面提出了看法.
關(guān)鍵詞： 常微分方程 教學(xué)方法 能力培養(yǎng)
常微分方程是一門(mén)應(yīng)用型課程，它在自動(dòng)控制、彈道的計(jì)算，導(dǎo)彈飛行和習(xí)機(jī)的穩(wěn)定性的研究、生物物種模型的研究等學(xué)科上有著廣泛的應(yīng)用，因此對(duì)常微分方程的教學(xué)研究有著重要的意義.
1.提高學(xué)生對(duì)常微分方程類(lèi)型的識(shí)別能力，對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行具體分析.
在微分方程的學(xué)習(xí)過(guò)程中，首先要分清微分方程的類(lèi)型，針對(duì)不同的類(lèi)型的方程應(yīng)用不同的解法，如：
首先要分清方程的類(lèi)型，它不是恰當(dāng)方程，就不能直接用求恰當(dāng)方程的方法計(jì)算，那么就要尋找方程的積分因子，使其轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程，但由于同一種類(lèi)型的方程可以用多種解法求解，因此如何選擇快捷、簡(jiǎn)便方法求解方程，是學(xué)生應(yīng)該認(rèn)真思考的問(wèn)題.如：
例2：求解方程ydx+(y-x)dy=0.
方法2簡(jiǎn)便快捷，通過(guò)本例可知學(xué)生在解方程過(guò)程中，不能思想僵化，機(jī)械地采用常規(guī)解法解題，應(yīng)該掌握問(wèn)題的共性的同時(shí)發(fā)現(xiàn)它的特性，做到具體問(wèn)題具體分析.
2.注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、歸納能力.
3.開(kāi)設(shè)實(shí)踐課，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力.
由于常微分方程應(yīng)用非常廣泛，因此我們?cè)诮虒W(xué)中不能只停留在理論的講解上，更要注重常微分方程在其他學(xué)科中的應(yīng)用。
我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中應(yīng)開(kāi)設(shè)實(shí)踐課，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力.在實(shí)踐課教學(xué)過(guò)程中，我們先要結(jié)合一些實(shí)際問(wèn)題，建立研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律列出微分方程或微分方程組，然后研究解的問(wèn)題.例如池州學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系將這門(mén)課的教學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)建模緊密結(jié)合，結(jié)合大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽在實(shí)踐課堂中以競(jìng)賽的課題為例，編寫(xiě)一些生動(dòng)有實(shí)際背景的數(shù)學(xué)模型為實(shí)踐課教材，通過(guò)教材講解怎樣構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，怎樣用微分方程的手法研究問(wèn)題、解決問(wèn)題，并引導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)的方法，聯(lián)系實(shí)際模型培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新能力.
4.熟練掌握數(shù)學(xué)軟件，促進(jìn)常微分方程的教學(xué)和應(yīng)用.
計(jì)算機(jī)軟件的快速發(fā)展為我們進(jìn)行常微分方程的學(xué)習(xí)和研究提供了有力的輔助，首先利用數(shù)學(xué)軟件的計(jì)算功能直接求解方程，降低了解題難度，減少人工繁瑣重復(fù)的計(jì)算;其次利用計(jì)算機(jī)軟件的數(shù)值計(jì)算和繪圖功能使我們很方便了解或探索微分方程的性態(tài).根據(jù)應(yīng)用的普遍性和各自的特色功能，我們主要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)軟件為Mathematica、MATLAB、Maple，例如Mathematica是一款科學(xué)計(jì)算軟件，很好地結(jié)合了數(shù)值和符號(hào)計(jì)算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語(yǔ)言、文本系統(tǒng)和與其他的應(yīng)用程序的高級(jí)連接;MATLAB在數(shù)值計(jì)算方面首屈一指.
MATLAB可以進(jìn)行矩陣運(yùn)算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實(shí)現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接其他編程語(yǔ)言的程序;Maple系統(tǒng)內(nèi)置高級(jí)技術(shù)解決建模和仿真中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，包括世界上最強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算、無(wú)限精度數(shù)值計(jì)算、創(chuàng)新的互聯(lián)網(wǎng)連接、強(qiáng)大的4GL語(yǔ)言等.結(jié)合常微分方程的學(xué)習(xí)和研究，我們利用計(jì)算機(jī)軟件在如下的四個(gè)方面進(jìn)行輔助計(jì)算：
一是用于求平衡點(diǎn)的代數(shù)方程和方程組的求解及用于線性微分方程求解指數(shù)函數(shù)與矩陣特征值、特征向量的計(jì)算;二是通過(guò)計(jì)算機(jī)符號(hào)計(jì)算程序直接求解方程;三是通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件描繪常微分方程積分或輔助曲線的圖形;四是常微分方程的特殊解法，如Laplace transform、power-series solution.
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常微分方程的教學(xué)論文【2】
摘 要： 常微分方程是一門(mén)重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，作者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)常微分方程的教學(xué)方法進(jìn)行初步探討。
關(guān)鍵詞： 常微分方程 教學(xué)方法 數(shù)學(xué)建模 線性代數(shù) 微課
在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的研究中，許多現(xiàn)象及事物發(fā)展的規(guī)律都可用數(shù)學(xué)模型表示出來(lái)，而常微分方程是數(shù)學(xué)建模中最基本的工具。
同時(shí)，又是應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)一門(mén)重要的基礎(chǔ)課，對(duì)先修課程及后續(xù)相關(guān)課程起到承上啟下作用。
現(xiàn)我對(duì)于怎樣教好常微分方程這門(mén)課以達(dá)到該課程教學(xué)目的，提高教學(xué)質(zhì)量，談?wù)勔恍w會(huì)和看法。
一、讓學(xué)生了解常微分方程課程的特點(diǎn)，認(rèn)識(shí)到學(xué)好該課程的重要意義。
常微分方程是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)理論后續(xù)課程的基礎(chǔ)，這些課程包括數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等。
課程本身既有嚴(yán)密的邏輯性，又有一定的應(yīng)用性，但目前高校常微分方程課程大多還停留在傳統(tǒng)教師主講形式，偏理論，輕應(yīng)用，使學(xué)生極易產(chǎn)生排斥心理。
因此，講授這門(mén)課內(nèi)容之前，教師不妨先利用一些簡(jiǎn)單的物理、生物和化學(xué)等相關(guān)學(xué)科的模型引入，讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到這門(mén)課是解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具，提高學(xué)生對(duì)課程的興趣。
二、培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
教師要注意采用多種教學(xué)方法，不能為了趕教學(xué)進(jìn)度直接把定義、定理、證明一一搬出來(lái)，使學(xué)生陷入枯燥的學(xué)習(xí)中，進(jìn)而失去學(xué)好這門(mén)課的興趣。
因此，教師在教學(xué)過(guò)程中既要充分發(fā)揮自身的主導(dǎo)作用，又要讓學(xué)生積極、主動(dòng)地參與到教學(xué)中。
比如，學(xué)習(xí)了二階常系數(shù)線性方程的求解后，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)中學(xué)時(shí)接觸過(guò)的單擺問(wèn)題，先讓他們嘗試建立簡(jiǎn)單的物理模型并加以討論，由此得到出現(xiàn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)、共振現(xiàn)象的條件。
三、根據(jù)授課對(duì)象，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)增減，教學(xué)難度應(yīng)有所不同。
學(xué)生所學(xué)的專(zhuān)業(yè)對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的要求不盡相同，因此，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生專(zhuān)業(yè)選擇授課內(nèi)容。
比如，若授課對(duì)象是應(yīng)用數(shù)學(xué)或數(shù)理專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，則除了要求掌握常微分方程的計(jì)算技巧外，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)基本數(shù)學(xué)定理的證明。
若授課對(duì)象為金融數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)，常微分方程的作用主要體現(xiàn)在應(yīng)用上，因此教師在授課中應(yīng)側(cè)重?cái)?shù)值計(jì)算，復(fù)雜的定理推導(dǎo)可以?xún)H介紹證明思路。
此外，若教師在平時(shí)工作中注意收集相關(guān)實(shí)際案例，把這些案例引入各類(lèi)專(zhuān)業(yè)課堂教學(xué)中，則對(duì)促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性提高起到至關(guān)重要的作用。
四、注意本課程與其他課程的相互滲透。
常微分方程教學(xué)內(nèi)容中，計(jì)算占了很大比例，而課程本身就是結(jié)合線性代數(shù)、解析幾何等相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)理論和其他學(xué)科中出現(xiàn)的微分方程問(wèn)題。
因此，教學(xué)中，除了讓學(xué)生掌握基本計(jì)算方法外，還要注意與其他課程的相互滲透。
如學(xué)習(xí)求解常系數(shù)線性方程組的基解矩陣這部分內(nèi)容時(shí)，若方程組的系數(shù)矩陣A(設(shè)為n階)恰好有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則可直接利用課本上的定理寫(xiě)出其基解矩陣。
此外，還可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)線性代數(shù)的知識(shí)知A可對(duì)角化，則通過(guò)可逆的線性變換必能將系數(shù)矩陣化為對(duì)角形，使得方程組的求解易于進(jìn)行。
五、結(jié)合運(yùn)用多媒體技術(shù)。
傳統(tǒng)的教學(xué)方法以板書(shū)為主，但是由于常微分方程這門(mén)課中定理的理論證明比較多，一味板書(shū)和講授會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生厭煩心理。
因此，教師應(yīng)該把傳統(tǒng)教學(xué)方式與現(xiàn)代教學(xué)手段結(jié)合起來(lái)，借助多媒體把板書(shū)內(nèi)容適當(dāng)變得有趣一些。
如學(xué)習(xí)解的延拓時(shí)，可以用動(dòng)態(tài)畫(huà)面把這部分內(nèi)容展現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生在腦海里有較為直觀的印象，接著引導(dǎo)學(xué)生思考、總結(jié)方程的解向左右兩邊延拓的情形究竟如何，最后教師對(duì)學(xué)生總結(jié)出的內(nèi)容給予相應(yīng)修改、補(bǔ)充。
這樣教師既可以較為輕松地把抽象的定理內(nèi)容傳授給學(xué)生，又可以讓學(xué)生參與到課堂討論中。
六、將微課形式融入教學(xué)中。
近年來(lái)，微課在我國(guó)發(fā)展很快，這一新的教學(xué)形式逐漸成為教育信息化的熱點(diǎn)之一。
它不同于傳統(tǒng)課程，主要以教學(xué)視頻為表現(xiàn)形式，具有內(nèi)容少而精的特點(diǎn)。
由于常微分方程課時(shí)的限制，教師不可能將課程全部?jī)?nèi)容都在課堂教學(xué)中呈現(xiàn)出來(lái)，而且有些較難的知識(shí)點(diǎn)通過(guò)教師的講授可能還有部分學(xué)生無(wú)法掌握。
因此，教師可根據(jù)課程內(nèi)容的特點(diǎn)，將微課適當(dāng)引入教學(xué)中。
例如，講授求常系數(shù)線性方程組基解矩陣這一部分內(nèi)容時(shí)，在課堂上教師主要介紹根據(jù)空間分解理論所得的基本計(jì)算公式，至于其他計(jì)算方法，如利用約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，以及利用哈密杜頓-凱萊定理的方法，教師可將其錄制成微課放在網(wǎng)上，供感興趣的學(xué)生自行學(xué)習(xí)。
這樣可以讓學(xué)生充分利用課余時(shí)間學(xué)習(xí)這門(mén)課，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和創(chuàng)造性。
但需要注意的是，微課只是教學(xué)輔助手段，并不是所有常微分方程的知識(shí)都適合制作成微課，因此在知識(shí)點(diǎn)選擇上還需教師反復(fù)推敲，在教學(xué)中適當(dāng)融入微課，才能達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的。
常微分方程是一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，隨著科技進(jìn)步，高校教師應(yīng)緊跟時(shí)代前進(jìn)步伐，更好地設(shè)置教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式，盡可能深入淺出地講授這門(mén)課程。
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