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線性規(guī)劃考題
線性規(guī)劃考題【1】
摘 要：高中數(shù)學(xué)中線性規(guī)劃的教學(xué)和考查充分凸顯了代數(shù)和幾何的結(jié)合，在教學(xué)中應(yīng)突出線性規(guī)劃問題的基本特征和解題規(guī)律. 本文選取了近年來(lái)相關(guān)的優(yōu)秀試題進(jìn)行針對(duì)剖析，從更高層次、更寬角度審視線性規(guī)劃的教學(xué)地位和思想方法.
關(guān)鍵詞：基本問題;平面區(qū)域;約束條件;目標(biāo)函數(shù);雙變量;轉(zhuǎn)化化歸
線性規(guī)劃的研究?jī)?nèi)容可歸納為兩個(gè)方面：一是系統(tǒng)的任務(wù)已定，如何合理籌劃，精細(xì)安排，用最少的資源(人力、物力和財(cái)力)去實(shí)現(xiàn)這個(gè)任務(wù);二是資源的數(shù)量已定，如何合理利用、調(diào)配，使任務(wù)的完成數(shù)最多.
“線性規(guī)劃”在知識(shí)的整合、解題思路的拓展、方法的遷移等方面都有其鮮明的特點(diǎn)，有著豐富的思想內(nèi)涵. 挖掘題中條件，不失時(shí)機(jī)地運(yùn)用“線性規(guī)劃”的思想方法解題，將使我們觀察思考問題的立意更高，視野更加開闊.
“線性規(guī)劃”問題的教學(xué)現(xiàn)狀
在中學(xué)教材中，稱求目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題為線性規(guī)劃問題. “線性規(guī)劃”的教學(xué)分為三個(gè)層次：
(1)二元一次不等式表示的平面區(qū)域;
(2)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域;
(3)線性目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最值.
只含有兩個(gè)變量的簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題可用圖解法來(lái)解決.
例如：設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足0≤x≤1，0≤y≤2，2y-x≥1，則z=2y-x+4的最大值是__________.
上述問題可轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面區(qū)域與一條直線在有公共點(diǎn)的前提下，結(jié)合z的幾何意義來(lái)求解.
具體教學(xué)過程中，學(xué)生感覺有困難的部分是作圖環(huán)節(jié)，體現(xiàn)在速度慢，不夠準(zhǔn)確. 如何準(zhǔn)確有效地作出所需圖形，應(yīng)給予學(xué)生充分的指導(dǎo)、訓(xùn)練和體驗(yàn). 學(xué)生作圖時(shí)會(huì)出現(xiàn)過于細(xì)致的問題，如逐步描繪坐標(biāo)系刻度;又或出現(xiàn)過于輕率的問題，連圖形的形狀和基本特征都無(wú)法抓住.這兩個(gè)問題都使解題的速度和準(zhǔn)確性大打折扣.
當(dāng)然，線性規(guī)劃是一個(gè)比較深入的課題，教材中也介紹了更多變量的線性規(guī)劃問題，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí).
線性規(guī)劃問題的考查特點(diǎn)與趨勢(shì)
1. 轉(zhuǎn)化成基本線性規(guī)劃問題
常規(guī)考題考查知識(shí)與技能，但還需要學(xué)生有一定的轉(zhuǎn)化和化歸意識(shí)，命題者會(huì)在行文敘述、符號(hào)變化、算式特征等方面設(shè)置一定障礙，需要解題者對(duì)得到的信息加工出熟悉的數(shù)學(xué)模型.
例1 (江蘇2013年9題)拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)镈(包含三角形內(nèi)部和邊界). 若點(diǎn)P(x，y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則x+2y的取值范圍是__________.
分析：本題以拋物線的切線為背景，以文字?jǐn)⑹龅姆绞教峁┝丝尚袇^(qū)域，題中曲線切線利用導(dǎo)數(shù)可得.
解決：求導(dǎo)得y′=2x，切線方程為y=2x-1 ，轉(zhuǎn)化為等價(jià)的基本問題：約束條件為x≥0，y≤0，y≥2x-1，目標(biāo)函數(shù)z=x+2y. 作出圖形，易知z的取值范圍為-2，.
例2 設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足3≤xy2≤8，4≤≤9，則的最大值是__________.
分析：如何將其化歸成基礎(chǔ)問題，找到未知問題和基本題之間的橋梁是破解的關(guān)鍵.
解法一：整體代換，令xy2=m，=n，
那么==，轉(zhuǎn)化為等價(jià)問題：約束條件為3≤m≤8，16≤N≤81.目標(biāo)函數(shù)為z=，z幾何意義為對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，易得最大值為27.
解法二：將除法轉(zhuǎn)變?yōu)楹突虿睿}中代數(shù)式兩邊都取以2為底的對(duì)數(shù)，令log2x=A，log2B=y. 轉(zhuǎn)化為等價(jià)問題：約束條件為log23≤A+2B≤3，2≤2A-B≤2log23，目標(biāo)函數(shù)為z=3A-4B，可行區(qū)域如圖，容易求得z的最大值為3log23，那么=2z的最大值是27.
圖2
點(diǎn)評(píng)：解法一采用了整體換元，解法二采用了取對(duì)數(shù)化積為和、化除為差，通過轉(zhuǎn)化和化歸轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決過的基本問題.
2. 線性規(guī)劃問題的拓展延伸
(1)線性規(guī)劃問題中目標(biāo)函數(shù)的拓展
熟悉線性規(guī)劃基本題還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，深刻把握它的數(shù)學(xué)特點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想，在實(shí)際處理問題中將未知問題轉(zhuǎn)化為基本題才更重要. 那么該類問題的基本特點(diǎn)是什么，常見問題是什么?只有清楚這些，我們才能在實(shí)際處理過程中及時(shí)、敏銳地轉(zhuǎn)化問題，達(dá)到解決問題的目的.
以下提供最常見的基本類型;
約束條件：實(shí)數(shù)x，y滿足y≤x，y≥0，2x-y≤2，可行區(qū)域如圖3.
圖3
目標(biāo)函數(shù)(1)：z=3x+y的最大值是__________，z的幾何意義即直線y=-3x+z的縱截距;
目標(biāo)函數(shù)(2)：z=的最大值是__________，z的幾何意義即可行區(qū)域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)(-1，0)所連直線的斜率;
目標(biāo)函數(shù)(3)：z=的最大值是__________，z的幾何意義即可行區(qū)域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)(0，1)之間的距離.
與線性規(guī)劃相關(guān)的問題普遍具有一些基本特征，主要表現(xiàn)為已知條件是含“雙變量”的不等關(guān)系，目標(biāo)任務(wù)為代數(shù)式的最值或取值范圍問題. 可解決的目標(biāo)函數(shù)也不一定是線性代數(shù)式，可以為其他類型.常見的可以為乘積或比值形式、二次或根式形式，甚至可以用向量等給出的代數(shù)式. 也不一定拘泥于目標(biāo)函數(shù)的最值問題，也可成為以可行區(qū)域?yàn)楸尘暗拿娣e、向量、概率等問題.
(2)線性規(guī)劃問題中約束條件的拓展
我們可以將它的數(shù)學(xué)思想拓展得更寬. 約束條件不一定要是線性約束條件，相應(yīng)的平面區(qū)域也可以為直線、圓、曲線等構(gòu)成的復(fù)合形態(tài).
例如：實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1，則x+y的最大值是__________.
此題可行區(qū)域可認(rèn)為是圓，可視為曲線圓與直線x+y=m有公共點(diǎn). 由此看來(lái)，約束條件的給出有了更大的空間，線性規(guī)劃這個(gè)知識(shí)點(diǎn)也更容易滲透到其他數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)中. 例3 若a>0，b>0且+=1，則a+2b的最小值為__________.
分析：題目涉及兩個(gè)變量的等量關(guān)系，可以考慮減元處理，已由代數(shù)式整理得a=-b++1，結(jié)合基本不等式解決a+2b的最小值;也可以考慮其幾何意義，視作以b為自變量的函數(shù)，那么P(b，a)為函數(shù)圖象上的每一個(gè)點(diǎn).
圖4
解決：a=-b++1，令z=a+2b，z表示此直線的縱截距.當(dāng)直線與曲線相切時(shí)z最小，此時(shí)a′=-2.求導(dǎo)a′=-1-，所以b=，a=-++1=+，所以a+2b=+.
例4 (江蘇2012年14題)已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則的取值范圍是__________.
分析：此題和基本問題的相似度極高，已知條件含有3個(gè)變量，而且目標(biāo)函數(shù)為比值形式，有明確的幾何意義. 由代數(shù)式clnb≥a+clnc的邏輯計(jì)算知ln≥，由此得到轉(zhuǎn)化的突破口，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)變?cè)?
圖5
解決：已知兩個(gè)不等式同除c得到5-3≤≤4-，ln≥.記=x，=y，
轉(zhuǎn)化為等價(jià)問題：
約束條件為x，y>0，5-3x≤y≤4-x，lny≥x?圳y≥ex，目標(biāo)函數(shù)k==.
作出圖形，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線y=ex過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線為y=ex，發(fā)現(xiàn)切點(diǎn)T(1，e)在可行區(qū)域內(nèi). 綜上，直線y=kx過C點(diǎn)時(shí)k最大，與曲線y=ex相切于點(diǎn)T時(shí)k最小. 所求取值范圍為[e，7].
圖6
點(diǎn)評(píng)：三變量的問題轉(zhuǎn)化為兩變量問題，該問題的解決具有一定的代表性.由已知代數(shù)式還可以考慮同除a或b進(jìn)行轉(zhuǎn)化，不是每一個(gè)轉(zhuǎn)化都適合，但有些轉(zhuǎn)化又是相通和可行的，因此求解時(shí)需要一定的嘗試和觀察.
3. 線性規(guī)劃問題的知識(shí)遷移
有些數(shù)學(xué)問題并無(wú)明顯的線性規(guī)劃痕跡，卻也可以轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃的基本問題，比如解析幾何、函數(shù)、數(shù)列等含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題可采用線性規(guī)劃的方法來(lái)求解. 以下試題立足于課本，但高于課本，題目充分體現(xiàn)了命題教師的高瞻遠(yuǎn)矚，而反過來(lái)又對(duì)高中的教學(xué)提出更高要求.
例5 (江蘇2011年14題)設(shè)集合A=(x，y)≤(x-2)2+y2≤m2，x，y∈R，B={(x，y)2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.
分析：兩集合為點(diǎn)集，交集非空.思考難度超越課本，類比線性規(guī)劃，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面區(qū)域有公共點(diǎn)，同時(shí)本題的計(jì)算量大.
解決：集合A對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)镈1，集合B對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)镈2，D2容易認(rèn)識(shí)為兩平行直線確定的帶狀區(qū)域. 由區(qū)域D1非空可知m2≥，求得m≤0或m≥.
(1)m=0區(qū)域D1收縮為一點(diǎn)，容易判斷不滿足要求;
(2)m≠0區(qū)域D1又分為兩種情況，當(dāng)m<0時(shí)D1表示一個(gè)半徑為-m的圓，當(dāng)m>0時(shí)表示兩個(gè)同心圓確定的環(huán)形區(qū)域.不論哪種情況，要滿足題意，只需要保證圓(x-2)2+y2=m2和直線x+y=2m或直線x+y=2m+1其中之一有公共點(diǎn). 圓心到兩直線距離分別為d1和d2，且d1=，d2=. 所以d1≤r=m或d2≤r=m，容易解得m∈1-，2+，綜合以上分析，實(shí)數(shù)m的取值范圍是，2+.
點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)栴}描述采用了幾何語(yǔ)言，解決思路和線性規(guī)劃有類似之處，同時(shí)解析幾何背景很強(qiáng)，充分考查了直線和圓的位置關(guān)系，而且分析時(shí)利用分類討論細(xì)化，處理時(shí)又不討論集中解決，思維跳躍度很大.
例6 已知a，b為常數(shù)，a≠0，函數(shù)f(x)=a+ex. 若f(2)<0，f(-2) 分析：此題僅僅從表象上看到已知條件對(duì)變量a，b作了限制，與線性規(guī)劃知識(shí)點(diǎn)的相關(guān)性相當(dāng)隱蔽. 該題目變量的關(guān)系相互依賴性較強(qiáng)，關(guān)鍵從已知條件合理的抽離出最有效約束條件.
圖7
解決：由f(2)<0，f(-2)0，b<0，2a+b<0，2a-b<2，4a+b≥0，點(diǎn)(a，b)形成的平面區(qū)域如圖7為△OAB，面積易得為.
點(diǎn)評(píng)：g(x)=ax2+bx-b≥0恒成立分析較難，考慮不等式成立的必要條件攻克了這個(gè)難點(diǎn)，根據(jù)代數(shù)式的依存關(guān)系得到約束條件，畫出圖形，所求面積視為兩個(gè)三角形面積差.
以上可以看出這些問題和教材中很多知識(shí)點(diǎn)綜合，都需要學(xué)生具備良好的知識(shí)遷移能力. 包括高考在內(nèi)的眾多考題都或多或少地含有線性規(guī)劃知識(shí)或思想的若干部分，這樣的考題都具備一定的難度，成為命題的熱點(diǎn)題型，在考試中層出不窮.
教學(xué)感悟與思考
高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，是最常見和最行之有效的思想方法. 線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“數(shù)學(xué)結(jié)合”思想的有效載體，可以和函數(shù)、數(shù)列、向量、解析幾何等知識(shí)交匯，形成一些讓人耳目一新、具有創(chuàng)意的題目和解法.
因此在教學(xué)時(shí)，切忌操之過急，作圖過程中要肯投入時(shí)間，要讓學(xué)生有體驗(yàn). 在解決問題時(shí)要注重學(xué)生知識(shí)的建構(gòu)，建立在理解的基礎(chǔ)上傳授知識(shí)，滲透數(shù)學(xué)思想，不能變成灌輸式的教學(xué). 否則，學(xué)生只能解決數(shù)學(xué)課本上的基本問題，不能完成知識(shí)的遷移.
線性規(guī)劃交匯題【2】
摘 要：線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個(gè)分支，線性規(guī)劃是直線方程的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，它與解析幾何、向量、不等式、概率可交匯進(jìn)行綜合命題。
關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃;幾何向量;交匯題
縱觀近些年的高考題，細(xì)細(xì)品味發(fā)現(xiàn)：重視在“知識(shí)的交匯處命題”是高考數(shù)學(xué)命題的一大特點(diǎn)，因?yàn)橹R(shí)的交匯處既體現(xiàn)了知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，又能更好考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。本人結(jié)合自己的教學(xué)體會(huì)和2011年江西省各地模擬試題及全國(guó)各省高考題，對(duì)其中的線性規(guī)劃題作一簡(jiǎn)單歸納。
1、線性規(guī)劃與解析幾何交匯
例1：(江西省南昌市2011屆高三第三次聯(lián)考)已知x，y滿足不等式組 ，則 的最小值為( )
A. B. 2 C. 3 D.
分析與簡(jiǎn)解：
欲求最小值的式子可化為 ，即表示區(qū)域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)(-1，1)的距離的平方，故畫出線性約束條件下不等式組所表示的平面區(qū)域，如上圖，易知問題可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)(-1，1)到直線y=x的距離的平方，易算得2，故選B。
歸納：線性規(guī)劃能很好地把數(shù)與形結(jié)合起來(lái)，故它與解析幾何交匯很自然，此類題首先要準(zhǔn)確畫出不等式組表示的平面區(qū)域，即完成由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，然后根據(jù)式子的幾何意義，直觀觀察求得相關(guān)結(jié)論。
(1)(江西省吉安市2011年高三期末聯(lián)考卷)若點(diǎn)P在區(qū)域 內(nèi)，則點(diǎn)P到直線 距離的最大值為______
(2)(江西省上饒市重點(diǎn)中學(xué)2011屆高三聯(lián)考)設(shè) ，若實(shí)數(shù)x，y滿足條件 ，則 的最大值是_______。
(3)(江西省2011屆高三九校聯(lián)考)設(shè)x，y滿足約束條件 ，則 的取值范圍是( )
A. B.
C. ( ) D.
2.線性規(guī)劃與函數(shù)，方程交匯
例2：(江西省八所重點(diǎn)中學(xué)2011年高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，且f(6)=2，f/(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f/(x)的圖象如上圖所示，若正數(shù)a，b滿足f(2a+b)<2，則 的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
分析與簡(jiǎn)解：
由導(dǎo)函數(shù)圖象知， ，f(x)遞增，故由f 可知： ，作出可行域△ABO內(nèi)部，如上圖所示，易知 表示區(qū)域內(nèi)點(diǎn)(a，b)與定點(diǎn)P(2，-3)連線的斜率，易求得 ，故選A。
例3：(江西省新余一中2011屆高三六模)已知函數(shù) 的一個(gè)零點(diǎn)為x=1，另外兩個(gè)零點(diǎn)可分別作為一個(gè)橢圓和一個(gè)雙曲線的離心率，則 取值范圍是__________.
分析與簡(jiǎn)解：
依題意函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)即方程 的三根，且 ，故方程可等價(jià)為 有兩不等根，一根在(0，1)上，另一根在(1，+∞)上，即 ，作出可行域，易求得直線a+b+1=0與2a+b+3=0的交點(diǎn)A為(-2，1)，故可求得 ，故 的范圍應(yīng)為 .
3.線性規(guī)劃與概率交匯
例4：(江西贛州市2011年高三摸底考試)在平面xOy內(nèi)，向圖形 內(nèi)投點(diǎn)，則點(diǎn)落在由不等式組 所確定的平面區(qū)域的概率為________.
分析與簡(jiǎn)解：
記事件A為點(diǎn)落在由不等組確定的區(qū)域內(nèi)，作出該區(qū)域，如上圖所示，易求得其面積為 ，另外試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積應(yīng)為圓 的面積，應(yīng)求得為4π，故 .
歸納：涉及到幾何概型中的面積比常用到平面區(qū)域面積。又如
(1)(江西省九江市2011屆高三七校聯(lián)考)已知點(diǎn)P(x，y)在約束條件 所圍成的平面區(qū)域上，則點(diǎn)P(x，y)滿足不等式 的概率是________.
(2)(江西省吉安市2011屆高三一模)已知函數(shù) ，實(shí)數(shù)a，b滿足 ，則函數(shù) 在[1，2]上為減函數(shù)的概率是( )
A B C D
4.線性規(guī)劃與向量交匯
例5：(2011福建理科)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(—1，1)，若點(diǎn)M(x，y)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 的取值范圍是( )
A.[-1，0] B.[0，1]
C.[0，2] D.[-1，2]
分析與簡(jiǎn)解：
準(zhǔn)確做出不等式組所表示的平面區(qū)域，如上圖所示陰影區(qū)域：
由 表示 在 方向上的投影與 的模的積，觀察易得點(diǎn)M分別在點(diǎn)B，D處使 取得最小值0，最大值2，故選C.
在2011年高考及各地模擬卷中，向量與線性規(guī)劃交匯的題還有：
(1)(2011廣東理)已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D，由不等式組 給定，若M(x，y)為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，則 的最大值為( )
A.3 B.4 C. D.
(2)(江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2011屆高三第二次聯(lián)考)已知點(diǎn)P(x，y)滿足條件 ，點(diǎn)A(2，1)，則 的最大值為( )
A. B. C . D. 2
參考答案：(1)4 (2)5 (3)D(1) (2)B(1)B (2)D
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