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微分方程的應(yīng)用教學(xué)
微分方程的應(yīng)用教學(xué)【1】
摘 要： 本文通過(guò)一些簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明建立微分方程的方法，使學(xué)生明確建立微分方程時(shí)如何找等量關(guān)系，提高其應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。
關(guān)鍵詞： 微分方程 等量關(guān)系 應(yīng)用
在許多實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系比較困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時(shí)，可用建立微分方程模型的方法來(lái)研究該問(wèn)題。在連續(xù)變量問(wèn)題的研究中，微分方程是十分常用的數(shù)學(xué)工具之一。
建立微分方程的一般步驟：(1)建立方程：對(duì)所研究的問(wèn)題根據(jù)已知定律或公式以及某些等量關(guān)系列出微分方程。(2)求解問(wèn)題：用所學(xué)知識(shí)或用數(shù)學(xué)軟件求解。(3)分析問(wèn)題：通過(guò)已求得的解的性質(zhì)，分析實(shí)際問(wèn)題。
經(jīng)驗(yàn)表明，對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，多數(shù)問(wèn)題出在第一步，不知如何建立方程，其中一個(gè)重要原因是不知如何找出具體問(wèn)題的等量關(guān)系。下面以分類的方式總結(jié)微分方程的應(yīng)用。
一、幾何問(wèn)題
這類問(wèn)題常用到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在某點(diǎn)的切線的斜率就是函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。
例1：一曲線通過(guò)點(diǎn)(4，8)且在該曲線上任意點(diǎn)M(x，y)處的切線斜率為3x，求這條曲線的方程。
解：設(shè)所求曲線方程為y=f(x)，由題意有，=3x，并且y|=8，于是y=?蘩3xdx=x+c，將y|=8代入上式，得8=64+C，故C=-56，從而得到所求曲線方程為：y=x-56.
二、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題
動(dòng)力學(xué)的基本定律是牛頓第二定律f=ma，這是微分方程解決力學(xué)問(wèn)題的基本關(guān)系式。它的右端明顯地含有加速度a，而a是位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。列出微分方程的關(guān)鍵在于找出外力f和位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)與速度的關(guān)系。同時(shí)，求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，要特別注意力學(xué)問(wèn)題中的定解條件，如初值條件等。
例2：設(shè)降落傘從跳傘塔下落，所受空氣阻力與速度成正比，降落傘離開(kāi)塔頂(t=0)時(shí)的速度為零，求降落傘下落速度與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。
解：設(shè)降落傘下落速度為v(t)，它在下落過(guò)程中同時(shí)受到重力P與阻力R的作用。重力P=mg，方向與v一致，阻力R=kv(k>0為常數(shù))，方向與v相反，從而降落傘所受外力的合力為F=P-R=mg-kv，由牛頓第二定律F=ma，即v=(1-e)m=mg-kv，且有初始條件v|=0.
將方程分離變量，得=，兩邊積分得-ln(mg-kv)=+C.
整理得：v=-Ce(C=e)，將初始條件v|=0代入，得C=，故所求速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為v=(1-e).
三、光學(xué)問(wèn)題
這類問(wèn)題常用到光學(xué)反射定律α=α(入射角=反射角)，其中α、α分別是入射光線、反射光線與入射法線間的夾角。
例3：有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡(假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行，求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程。
解：設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線l：y=y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，光源在原點(diǎn)。在l上任取一點(diǎn)M(x，y)，作l的切線交x軸于A，點(diǎn)O發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)M反射后是一條平行于x軸射線。
由光學(xué)及幾何原理可以證明OA=OM，因?yàn)镺A=AP-OP=PMcotα-OP=-x，而OM=，于是得微分方程-x=，整理得=+，這是一個(gè)齊次方程。
問(wèn)題歸結(jié)為解齊次方程=+，令=v，即x=yv，得v+y=v+，即y=，分離變量得=，兩邊積分得ln(v+)=lny-lnC?圯v+=?圯(-v)=v+1?圯-=1，以yv=x代入上式，得y=2C(x+).
這是以x軸為軸、焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為y+z=2C(x+)，這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程。
四、電學(xué)問(wèn)題
這類問(wèn)題常用到基爾霍夫定律：在閉合回路中，全部元件的電壓降的代數(shù)和為0。
例4：在RLC電路中(如下圖)，接有電源E，交流電動(dòng)勢(shì)為Esinωt，不斷地供給能量，當(dāng)開(kāi)關(guān)K合上后，電路在電動(dòng)勢(shì)作用下，不斷產(chǎn)生振蕩，試建立描述電路中電振動(dòng)的微分方程。
解：設(shè)電容器上電量Q=Q(t)，則電流I=，由回路電壓定律有：
于是得電量Q滿足的微分方程：L+R+=Esinωt
它是一個(gè)關(guān)于未知函數(shù)Q(t)的二階常系數(shù)線性非齊次方程，它描述了在交流電壓的作用下，RLC電路中的電振蕩，這種振蕩稱為強(qiáng)迫振蕩。
五、經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題
新產(chǎn)品的推廣模型設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向市場(chǎng)，t時(shí)刻的銷量為x(t)，由于產(chǎn)品性能良好，每個(gè)產(chǎn)品都是一個(gè)宣傳品，因此t時(shí)刻產(chǎn)品銷售的增長(zhǎng)率與x(t)成正比。同時(shí)，考慮到產(chǎn)品銷售存在一定的市場(chǎng)容量N，統(tǒng)計(jì)表明與尚未購(gòu)買該產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)量N-x(t)也成正比，于是有=kx(N-x)(1.1)
其中k為比例系數(shù)，分離變量積分，可以解得x(t)=(1.2)
由=，=
當(dāng)x(t)0，即銷量x(t)單調(diào)增加;當(dāng)x(t)=時(shí)，=0;當(dāng)x(t)>時(shí)，<0;當(dāng)x(t)<時(shí)，即當(dāng)銷量達(dá)到最大需求量N的一半時(shí)，產(chǎn)品最為暢銷，當(dāng)銷量不足N一半時(shí)，銷售速度不斷增大，當(dāng)銷量超過(guò)一半時(shí)，銷售速度逐漸減少。
國(guó)內(nèi)外許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家調(diào)查表明，許多產(chǎn)品的銷售曲線與公式(1.2)的曲線(邏輯斯諦曲線)十分接近。根據(jù)對(duì)曲線性狀的分析，許多分析家認(rèn)為，在新產(chǎn)品推出的初期，應(yīng)采用小批量生產(chǎn)并加強(qiáng)廣告宣傳;在產(chǎn)品用戶達(dá)到20%到80%期間，產(chǎn)品應(yīng)大批量生產(chǎn);在產(chǎn)品用戶超過(guò)80%時(shí)，應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，可以達(dá)到最大的經(jīng)濟(jì)效益。
例5：某商場(chǎng)的銷售成本y和存貯費(fèi)用S均是時(shí)間t的函數(shù)，隨時(shí)間t的增長(zhǎng)，銷售成本的變化率等于存貯費(fèi)用的倒數(shù)與常數(shù)5的和，而貯存費(fèi)用的變化率為存貯費(fèi)用的-倍。若當(dāng)t=0時(shí)，銷售成本y=0，存貯費(fèi)用S=10試求銷售成本與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系及存貯費(fèi)用與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。
解答：由已知=+5，=-S。解微分方程得S=Ce，由S|=10得C=10，故存貯費(fèi)用與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為S=10e將上式代入微分方程，得=e+5，從而y=e+5t+C，由y|=0，得C=-，從而銷售成本與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為y=e+5t-.
六、流體混合問(wèn)題
例6：有高為1m的半球形容器，水從它的底部小孔流出，小孔橫截面面積為1cm。開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水，求水從小孔流出過(guò)程中容器里水面高度h隨時(shí)間t變化的規(guī)律。
解：由水力學(xué)知道，水從孔口流出的流量Q可用下列公式計(jì)算：Q==0.62S，其中0.62為流量系數(shù)，S為孔口橫截面面積，g為重力加速度。現(xiàn)在孔口橫截面面積S=1cm，故=0.62或dV=0.62dt.
設(shè)在微小時(shí)間間隔[t，t+dt]內(nèi)，水面高度由h降至h+dh(dh<0)，則又可得到dV=-πrdh，其中r是時(shí)刻t的水面半徑(右端置負(fù)號(hào)是由于dh<0而dV>0的緣故，又因r==，所以dV=-π(200h-h)dh.
通過(guò)比較得到0.62dt=-π(200h-h)dh，這就是未知函數(shù)h=h(t)應(yīng)滿足的微分方程。
此外，開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)的水是滿的，所以未知函數(shù)h=h(t)還應(yīng)滿足下列初始條件：h|=100.
將方程0.62dt=-π(200h-h)dh分離變量后得dt=-(200h-h)dh，兩端積分得t=-?蘩(200h-h)dh，即t=-(h-h)+C，其中C是任意常數(shù).由初始條件得t=-(×100-×100)+C，C=(-)=××10，因此t=(7×10-10h+3h).
上式表達(dá)了水從小孔流出的過(guò)程中容器內(nèi)水面高度h與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系。
參考文獻(xiàn)：
[1]潘家齊.常微分方程[M].北京：中央廣播電視大學(xué)出版社，2002，7.
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常微分方程的教學(xué)【2】
摘 要： 常微分方程是一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，作者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)常微分方程的教學(xué)方法進(jìn)行初步探討。
關(guān)鍵詞： 常微分方程 教學(xué)方法 數(shù)學(xué)建模 線性代數(shù) 微課
在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的研究中，許多現(xiàn)象及事物發(fā)展的規(guī)律都可用數(shù)學(xué)模型表示出來(lái)，而常微分方程是數(shù)學(xué)建模中最基本的工具。
同時(shí)，又是應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課，對(duì)先修課程及后續(xù)相關(guān)課程起到承上啟下作用。
現(xiàn)我對(duì)于怎樣教好常微分方程這門課以達(dá)到該課程教學(xué)目的，提高教學(xué)質(zhì)量，談?wù)勔恍w會(huì)和看法。
一、讓學(xué)生了解常微分方程課程的特點(diǎn)，認(rèn)識(shí)到學(xué)好該課程的重要意義。
常微分方程是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)理論后續(xù)課程的基礎(chǔ)，這些課程包括數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等。
課程本身既有嚴(yán)密的邏輯性，又有一定的應(yīng)用性，但目前高校常微分方程課程大多還停留在傳統(tǒng)教師主講形式，偏理論，輕應(yīng)用，使學(xué)生極易產(chǎn)生排斥心理。
因此，講授這門課內(nèi)容之前，教師不妨先利用一些簡(jiǎn)單的物理、生物和化學(xué)等相關(guān)學(xué)科的模型引入，讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到這門課是解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具，提高學(xué)生對(duì)課程的興趣。
二、培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
教師要注意采用多種教學(xué)方法，不能為了趕教學(xué)進(jìn)度直接把定義、定理、證明一一搬出來(lái)，使學(xué)生陷入枯燥的學(xué)習(xí)中，進(jìn)而失去學(xué)好這門課的興趣。
因此，教師在教學(xué)過(guò)程中既要充分發(fā)揮自身的主導(dǎo)作用，又要讓學(xué)生積極、主動(dòng)地參與到教學(xué)中。
比如，學(xué)習(xí)了二階常系數(shù)線性方程的求解后，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)中學(xué)時(shí)接觸過(guò)的單擺問(wèn)題，先讓他們嘗試建立簡(jiǎn)單的物理模型并加以討論，由此得到出現(xiàn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)、共振現(xiàn)象的條件。
三、根據(jù)授課對(duì)象，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)增減，教學(xué)難度應(yīng)有所不同。
學(xué)生所學(xué)的專業(yè)對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的要求不盡相同，因此，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生專業(yè)選擇授課內(nèi)容。
比如，若授課對(duì)象是應(yīng)用數(shù)學(xué)或數(shù)理專業(yè)的學(xué)生，則除了要求掌握常微分方程的計(jì)算技巧外，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)基本數(shù)學(xué)定理的證明。
若授課對(duì)象為金融數(shù)學(xué)專業(yè)，常微分方程的作用主要體現(xiàn)在應(yīng)用上，因此教師在授課中應(yīng)側(cè)重?cái)?shù)值計(jì)算，復(fù)雜的定理推導(dǎo)可以僅介紹證明思路。
此外，若教師在平時(shí)工作中注意收集相關(guān)實(shí)際案例，把這些案例引入各類專業(yè)課堂教學(xué)中，則對(duì)促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性提高起到至關(guān)重要的作用。
四、注意本課程與其他課程的相互滲透。
常微分方程教學(xué)內(nèi)容中，計(jì)算占了很大比例，而課程本身就是結(jié)合線性代數(shù)、解析幾何等相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)理論和其他學(xué)科中出現(xiàn)的微分方程問(wèn)題。
因此，教學(xué)中，除了讓學(xué)生掌握基本計(jì)算方法外，還要注意與其他課程的相互滲透。
如學(xué)習(xí)求解常系數(shù)線性方程組的基解矩陣這部分內(nèi)容時(shí)，若方程組的系數(shù)矩陣A(設(shè)為n階)恰好有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則可直接利用課本上的定理寫出其基解矩陣。
此外，還可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)線性代數(shù)的知識(shí)知A可對(duì)角化，則通過(guò)可逆的線性變換必能將系數(shù)矩陣化為對(duì)角形，使得方程組的求解易于進(jìn)行。
五、結(jié)合運(yùn)用多媒體技術(shù)。
傳統(tǒng)的教學(xué)方法以板書(shū)為主，但是由于常微分方程這門課中定理的理論證明比較多，一味板書(shū)和講授會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生厭煩心理。
因此，教師應(yīng)該把傳統(tǒng)教學(xué)方式與現(xiàn)代教學(xué)手段結(jié)合起來(lái)，借助多媒體把板書(shū)內(nèi)容適當(dāng)變得有趣一些。
如學(xué)習(xí)解的延拓時(shí)，可以用動(dòng)態(tài)畫(huà)面把這部分內(nèi)容展現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生在腦海里有較為直觀的印象，接著引導(dǎo)學(xué)生思考、總結(jié)方程的解向左右兩邊延拓的情形究竟如何，最后教師對(duì)學(xué)生總結(jié)出的內(nèi)容給予相應(yīng)修改、補(bǔ)充。
這樣教師既可以較為輕松地把抽象的定理內(nèi)容傳授給學(xué)生，又可以讓學(xué)生參與到課堂討論中。
六、將微課形式融入教學(xué)中。
近年來(lái)，微課在我國(guó)發(fā)展很快，這一新的教學(xué)形式逐漸成為教育信息化的熱點(diǎn)之一。
它不同于傳統(tǒng)課程，主要以教學(xué)視頻為表現(xiàn)形式，具有內(nèi)容少而精的特點(diǎn)。
由于常微分方程課時(shí)的限制，教師不可能將課程全部?jī)?nèi)容都在課堂教學(xué)中呈現(xiàn)出來(lái)，而且有些較難的知識(shí)點(diǎn)通過(guò)教師的講授可能還有部分學(xué)生無(wú)法掌握。
因此，教師可根據(jù)課程內(nèi)容的特點(diǎn)，將微課適當(dāng)引入教學(xué)中。
例如，講授求常系數(shù)線性方程組基解矩陣這一部分內(nèi)容時(shí)，在課堂上教師主要介紹根據(jù)空間分解理論所得的基本計(jì)算公式，至于其他計(jì)算方法，如利用約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，以及利用哈密杜頓-凱萊定理的方法，教師可將其錄制成微課放在網(wǎng)上，供感興趣的學(xué)生自行學(xué)習(xí)。
這樣可以讓學(xué)生充分利用課余時(shí)間學(xué)習(xí)這門課，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和創(chuàng)造性。
但需要注意的是，微課只是教學(xué)輔助手段，并不是所有常微分方程的知識(shí)都適合制作成微課，因此在知識(shí)點(diǎn)選擇上還需教師反復(fù)推敲，在教學(xué)中適當(dāng)融入微課，才能達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的。
常微分方程是一門重要的基礎(chǔ)課程，隨著科技進(jìn)步，高校教師應(yīng)緊跟時(shí)代前進(jìn)步伐，更好地設(shè)置教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式，盡可能深入淺出地講授這門課程。
參考文獻(xiàn)：
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