一階微分方程的應(yīng)用

時(shí)間：2022-10-05 23:04:56 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文我要投稿

相關(guān)推薦

一階微分方程的應(yīng)用

　　一階微分方程的應(yīng)用【1】

　　摘要：微分方程在實(shí)際中應(yīng)用廣泛。簡(jiǎn)單介紹了一階微分方程的幾種應(yīng)用。

　　關(guān)鍵詞：微分方程;應(yīng)用;研究

　　微分方程是與微積分一起形成并發(fā)展起來的重要的數(shù)學(xué)分支，它已成為研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的一個(gè)強(qiáng)有力的工具.一階微分方程是我院學(xué)生必修的內(nèi)容，為了激發(fā)學(xué)生們學(xué)習(xí)的興趣，讓他們覺得學(xué)有所用，下面將介紹一階微分方程在實(shí)際中的幾種簡(jiǎn)單應(yīng)用.

　　一、在力學(xué)中的運(yùn)用

　　動(dòng)力學(xué)是微分方程最早期的源泉之一.動(dòng)力學(xué)的基本定律是牛頓第二定律F=ma，這也是微分方程來解決動(dòng)力學(xué)的基本關(guān)系式.上式的右端含有加速度a，a是位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù).列出微分方程的關(guān)鍵在于找到合外力F和位移及其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)――速度的關(guān)系.在求解這些問題時(shí)，要特別注意問題中的定解條件，如初始條件等.

　　例1.物體由高空下落，除受重力作用外，還受到空氣阻力的作用.在速度不太大的情況下(低于音速的■)，空氣阻力可看做與速度的平方成正比.試求出在這種情況下，落體存在的極限速度v1.

　　解：設(shè)物體質(zhì)量為m，空氣阻力系數(shù)為k.又設(shè)在時(shí)刻t物體的下落速度為v，于是在時(shí)刻t物體所受到的合外力為

　　F=mg-kv2

　　由牛頓第二定律列出微分方程

　　m■=mg-kv2

　　因?yàn)槭亲杂陕潴w運(yùn)動(dòng)，所以有v(0)=0.

　　求解上述微分方程的特解即得：

　　v=■

　　當(dāng)t→+∞時(shí)，有

　　v1=■=■.

　　據(jù)測(cè)定，k=aρs，其中a為與物體形狀有關(guān)的常數(shù);ρ為介質(zhì)的密度;s為物體在地面上的投影面積.

　　人們正是根據(jù)上述公式，為跳傘者設(shè)計(jì)保證安全的降落傘的直徑大小，在落地速度v1，m，a，ρ一定時(shí)，就可定出s來.

　　二、流體混合問題

　　中學(xué)數(shù)學(xué)中有這樣一類問題：某容器中裝有濃度為c1的含某種物質(zhì)A的液體V升.從其中取出V1升后，加入濃度為c2的液體V2升，要求混合后的液體以及物質(zhì)A的含量.這類問題用初等代數(shù)就可以解決.

　　但是在生產(chǎn)中還經(jīng)常遇到如下的問題：容器內(nèi)裝有含物質(zhì)A的流體.設(shè)時(shí)刻t=0時(shí)，流體體積為V0，物質(zhì)A的質(zhì)量為x0(濃度顯然已知).現(xiàn)在以速度v2(單位時(shí)間的流量)放出流體，而同時(shí)又以速度v1注入濃度為c1的流體.試求時(shí)刻t時(shí)容器中物質(zhì)A的質(zhì)量及流體的濃度.

　　這類問題稱為流體混合問題，它是不能用初等數(shù)學(xué)解決的，必須利用微分方程來計(jì)算.

　　我們利用微元法來列方程.設(shè)在時(shí)刻t，容器內(nèi)物質(zhì)A的質(zhì)量為x=x(t)，濃度為c2.經(jīng)過時(shí)間dt后，容器內(nèi)物質(zhì)A的質(zhì)量增加了dx.于是有

　　dx=c1v1dt-c2v2dt=(c1v1-c2v2)dt.

　　因?yàn)閏2=■，

　　代入上式有

　　dx=(c1v1-■)dt，

　　或■=-■x+c1v1.

　　這是一個(gè)線性方程.于是求物質(zhì)A在時(shí)刻t時(shí)的質(zhì)量問題就歸結(jié)為求上述方程滿足初始條件x(0)=x0的特解問題.

　　例2.某廠房容積為45×15×6m3，經(jīng)測(cè)定，空氣中含有0.2%的CO2.開動(dòng)通風(fēng)設(shè)備，以360m3/s的速度輸入含有0.05%的CO2的新鮮空氣，同時(shí)排出同等數(shù)量的室內(nèi)空氣.問30分鐘后室內(nèi)所含CO2的百分比.

　　解：設(shè)在時(shí)刻t，車間內(nèi)CO2的百分比為x(t)%.經(jīng)過時(shí)間dt后，室內(nèi)CO2的改變量為45×15×6×dx%=360×0.05%×dt-360×x%×dt.

　　于是有4050dx=360(0.05-x)dt，

　　即dx=■(0.05-x)dt，

　　初始條件為x(0)=0.2.

　　將方程分離變量并積分，初值解滿足

　　■■=■■dt，

　　求出x有x=0.05+0.15e-■t.

　　t=30分鐘=1800秒代入得x=0.05.

　　即開動(dòng)通風(fēng)設(shè)備30分鐘后，室內(nèi)CO2的含量接近0.05%，基本上已是新鮮空氣了.

　　三、牛頓冷卻定律的應(yīng)用

　　牛頓冷卻定律：把溫度為T的物體放入處于常溫T0的介質(zhì)中，T的變化速率正比于物體的瞬時(shí)溫度與周圍介質(zhì)溫度T0之差.

　　設(shè)物體的溫度為T(t)，于是可列微分方程

　　■=-k(T-T0)，k>0.

　　例3.某小鎮(zhèn)發(fā)生兇殺案，法醫(yī)于下午6點(diǎn)到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)，測(cè)得此時(shí)尸體的溫度為34度，1小時(shí)后又測(cè)得尸體的溫度為32度.假設(shè)室溫為常溫21度，警方經(jīng)過反復(fù)排查，圈定了兩名犯罪嫌疑人張某和李某，但二人均辯稱自己無罪，并陳述了各自當(dāng)日下午的活動(dòng)情況：張某稱，他下午一直在辦公室，5點(diǎn)下班后離開;李某稱，下午一直上班，4點(diǎn)30分左右接到電話后離開.二人所說均被證實(shí)，從二人上班地點(diǎn)到案發(fā)現(xiàn)場(chǎng)只需要10分鐘，試分析兩人能否都排除嫌疑?

　　解：設(shè)尸體在t時(shí)刻的溫度為T(t)，由牛頓冷卻定律可得定解問題

　　■=-k(T-21)T(0)=34T(1)=32，

　　解得T(t)=21+13e-0.167t.

　　設(shè)死者死亡時(shí)為正常體溫37度，即T=37，由上式求出死亡時(shí)間

　　t=■・ln■≈-1.25小時(shí).

　　由此推斷出，死者的死亡時(shí)間為6：00-1：15=4：45，即下午4：45左右，因此李某有作案時(shí)間不能排除嫌疑，張某無作案時(shí)間.

　　四、醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用

　　例4.有一種醫(yī)療手段，是把示蹤染色體注射到胰臟里去檢查其功能，正常胰臟每分鐘吸收染色的40%.現(xiàn)有一內(nèi)科醫(yī)生給某人胰臟注射了0.3克染色，30分鐘后還剩下0.1克，試問此人的胰臟是否正常.

　　解：正常情況下，設(shè)S(t)表示注射染色體后t分鐘時(shí)人胰臟中的染色量，則每分鐘吸收的染色為■=-0.4S，本題可知S(0)=0.3，故得到定解問題

　　■=-0.4SS(0)=0.3，

　　通過分離變量法，解得S(t)=0.3e-0.4t，則30分鐘后剩余的染色量為

　　S(30)=0.3-0.4×30≈0，

　　而實(shí)際此人剩余0.1克，由此可知，此人的胰臟不正常，應(yīng)該接受治療.

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]東北師范大數(shù)學(xué)系.常微分方程.高等教育出版社，2001，3.

　　[2]姜啟源，葉金星.數(shù)學(xué)模型.高等教育出版社，2004，12.

　　[3]劉增玉.高等數(shù)學(xué).天津科學(xué)技術(shù)出版社，2009，6.

　　一階高次微分方程的求解【2】

　　【摘要】本文通過討論一階二次微分方程和一階三次微分方程的解法的相關(guān)問題，來歸納討論一階高次微分方程的求解，并給出相關(guān)的例子進(jìn)行說明。主要是一階二次微分方程與一階三次微分方程有一些解法，但由于某些方法的局限性，對(duì)于某些方程不合適，所以探討一階二次微分方程與一階三次微分方程有必要。

　　本文給出了一階二次微分方程與一階三次微分方程的主要定理，主要是根據(jù)方程在極坐標(biāo)變換下的求解定理，提供了求解這兩種微分方程的另一種解法跟途徑，并且也能更好地了解一階高次微分方程的求解。

　　【關(guān)鍵詞】一階二次微分方程一階三次微分方程極坐標(biāo)的變換求解

　　一引言

　　微分方程是常微分方程和偏微分方程的總稱。數(shù)學(xué)上把聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)以及它的導(dǎo)數(shù)(或微分)的關(guān)系式叫做微分方程。微分方程差不多是和微積分同時(shí)產(chǎn)生的，但它的形成和發(fā)展與力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)。

　　常微分方程的概念、解法以及相關(guān)理論很多。求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標(biāo)，不過求出解的情況不多，在實(shí)際應(yīng)用中多求滿足某種指定條件的特解。

　　常微分方程在很多領(lǐng)域內(nèi)有著重要的作用，如自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)、導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定的研究、化學(xué)方程過程的穩(wěn)定性的研究等等，這些問題都可以化為求微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題。

　　五總結(jié)

　　一階高次微分方程的解法有很多，在這里我們給出兩種求一階高次微分方程的方法，針對(duì)不同的方程可以應(yīng)用不同的方法，這樣解這類方程更為簡(jiǎn)便些，也能進(jìn)一步對(duì)高階微分方程有所認(rèn)識(shí)。

　　我們?cè)陂_始給出了求一階二次微分方程和一階三次微分方程在極坐標(biāo)下的求解方法，通過給出它們的定義、求解方法以及對(duì)例題的分析，能對(duì)一階高次微分方程進(jìn)行拓展和研究，通過特殊的求解方法后，我們又給出求一階高次微分方程的一般方法，這樣能使一階高次微分方程的解法通俗易懂。

　　參考文獻(xiàn)

　　[1]劉許成.一階二次微分方程在極坐標(biāo)變換的求解定理[J].贛南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2002(6)：11～12

　　[2]劉許成.一階三次微分方程在極坐標(biāo)變換的求解定理[J].安陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003(3)：6～8

　　[3]劉許成.一階三次微分方程在極坐標(biāo)變換下的求解定理及應(yīng)用[J].阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)報(bào))，2002(4)：54～56

　　[4]王高雄、周之銘、朱思銘等.常微分方程(第二版)[M].北京：高等教育出版社，1984：51～56

　　[5]東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2001：56～66

　　一階微分方程的積分因子【3】

　　摘要：積分因子法是解一階常微分方程有效的方法，本文通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)，對(duì)一階常微分方程存在各種形式的積分因子的充要條件做了小結(jié)，并將這些理論推廣到一些簡(jiǎn)單的積分因子形式。

　　關(guān)鍵詞：微分方程積分因子充要條件

　　求解一階常微分方程有常數(shù)變易法，積分因子法，積分變換法，冪級(jí)數(shù)法。由于后兩種方法運(yùn)用起來比較復(fù)雜，大多數(shù)教材對(duì)后面兩種方法僅有簡(jiǎn)單的介紹。常數(shù)變易法從給定方程對(duì)應(yīng)的齊次方程得到通解從而得到原方程的解，思想巧妙，運(yùn)用簡(jiǎn)便，但就其原理理解起來覺得突兀。而積分因子法從微分方程基本原理出發(fā)，從給定方程本身就可以得到微分方程的解。

　　一：基本知識(shí)

　　1、全微分方程

　　求解一階微分方程

　　其中是單連通區(qū)域內(nèi) 的連續(xù)函數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。若存在某個(gè)二元連續(xù)可微函數(shù) ，使得方程的左端為的全微分，則稱方程為全微分方程。

　　定理1稱微分方程為全微分方程當(dāng)且僅當(dāng)方程滿足條件。

　　此時(shí)存在二元連續(xù)可微函數(shù) ，使得，方程通解為。

　　2、積分因子

　　當(dāng) ，在該區(qū)域?qū)ふ乙粋€(gè)可微的非零函數(shù) 使得方程為全微分方程，即，則稱為方程的積分因子。

　　二、積分因子的性質(zhì)及形式

　　定理2方程的積分因子存在，且不唯一。設(shè) 為方程的積分因子，則對(duì)任何可微函數(shù) ，函數(shù) 也是方程的積分因子。

　　證明：是方程的積分因子，所以，

　　定理3 為方程的積分因子充要條件為。

　　證明：為方程的積分因子，即滿足條件，展開即得。

　　定理4方程具有形如積分因子充要條件是，

　　其中僅是的函數(shù)，且

　　證明：由定理3知方程具有形如積分因子充要條件是，

　　即，

　　記，則，即 (其中，取，即得公式 )

　　三:討論幾種特殊類型的積分因子存在的充要條件

　　結(jié)論1一階微分方程具有形如的積分因子的充要條件

　　注：1、當(dāng) 僅與相關(guān)，即當(dāng) ，時(shí)，由定理4知充要條件是。當(dāng) 僅與相關(guān)時(shí)同理可得相應(yīng)結(jié)論。

　　2、當(dāng)積分因子形如時(shí)的充要條件

　　結(jié)論3一階微分方程具有形如的積分因子的充要條件

　　注：當(dāng) 時(shí)，則。

　　結(jié)論4一階微分方程具有形如的積分因子的充要條件

　　注：形為的積分因子充要條件是

　　結(jié)論5 一階微分方程具有一種乘積形式積分因子存在的充要條件是 + ，其中，。

　　注：形如的積分因子的充要條件是

　　結(jié)語

　　積分因子法是求解一階線性微分方程的重要方法，應(yīng)用上沒有局限性，解題目的明確，而且建立在已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)之上。本文在給出積分因子法的一般結(jié)論之后，針對(duì)一些特殊類型的積分因子形式存在的充要條件進(jìn)行概括，并將這些理論應(yīng)用推廣到一些常見的積分因子形式，對(duì)積分因子法做了有效的歸納總結(jié)，對(duì)初學(xué)者將有很大幫助。

　　參考文獻(xiàn)

　　[1]丁同仁,李承治. 常微分方程教程(第二版)[M]. 高等教育出版社. 2004

　　[2]韓祥林,陳星海. 一類積分因子的存在條件及應(yīng)用[J]. 高等數(shù)學(xué)研究. 2012(05)

　　[3]徐彬. 一階微分方程具有一種乘積形式積分因子的求解[J]. 黃岡師范學(xué)院學(xué)報(bào). 2009(06)

　　[4]李榮江. 一階對(duì)稱形非恰當(dāng)方程的分組積分因子法[J]. 數(shù)理醫(yī)藥雜志. 2009

　　[5]湯光榮,易其國. 對(duì)常微分方程積分因子問題的推廣[J]. 撫州師專學(xué)報(bào). 2000(12)

　　[6]高正暉. 一階微分方程三類積分因子的計(jì)算[J]. 衡陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)).2002(06)

　　[7]王善維. 關(guān)于一階微分方程的積分因子問題[J]. 河北輕化工學(xué)院學(xué)報(bào). 1997(06)

【一階微分方程的應(yīng)用】相關(guān)文章：

微分方程的應(yīng)用教學(xué)10-05

微分方程應(yīng)用舉例10-05

微分方程模型及其應(yīng)用10-05