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關(guān)于數(shù)學(xué)文化視域中數(shù)學(xué)教學(xué)的若干思考論文
本文將要論述的“整體、聯(lián)系與轉(zhuǎn)換”、“留有余地”和“備而不‘課'等數(shù)學(xué)文化視域中數(shù)學(xué)教學(xué)的特性，是我們根據(jù)數(shù)學(xué)文化視域中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本理念（譬如，“統(tǒng)一數(shù)學(xué)觀”或“綜合數(shù)學(xué)論”，即：數(shù)學(xué)是科學(xué)性與人文性的統(tǒng)-體，數(shù)學(xué)的科學(xué)性業(yè)已變得越來越“可見”和“直接”，而其人文性則顯得有些害羞，總是藏在“科學(xué)性”的后面而被屏蔽，顯得有些灰色；數(shù)學(xué)是一個由思想、問題、方法和語言等所構(gòu)成的“一個復(fù)合體”，而其“公理化”的形式則只是其外在的線性的邏輯呈現(xiàn)形式；數(shù)學(xué)不僅是一個包含真理性認(rèn)識的知識體系，它更是一個“為人”因而也是“有人”的社會一文化活動；數(shù)學(xué)的真理是相對絕對的，而非絕對相對的，更不是絕對的；所作的理論上的初步建構(gòu)。盡管也有其非系統(tǒng)的“非干預(yù)式指導(dǎo)性試驗”的貢獻(xiàn)，但是，這些特性仍然需要進(jìn)一步的數(shù)學(xué)教育教學(xué)實驗的系統(tǒng)“驗證”才能得以真正確立。此外，這里所給出的數(shù)學(xué)文化視域中“數(shù)學(xué)教學(xué)之特性”是否就是“數(shù)學(xué)文化教學(xué)”的全部，也還是值得作進(jìn)一步思考的。還是先讓我們來看一看什么是“整體、聯(lián)系與轉(zhuǎn)換”吧。
一、數(shù)學(xué)教學(xué)中的“整體、聯(lián)系與轉(zhuǎn)換”
一般而言，數(shù)學(xué)教師的教學(xué)有三種水平。第-種是為了讓學(xué)生學(xué)習(xí)起來比較容易而精心準(zhǔn)備并實施的教學(xué)一一有整體、聯(lián)系與轉(zhuǎn)換的觀念，但認(rèn)為學(xué)生沒有，所以，教師自己首先要發(fā)現(xiàn)并設(shè)計這個聯(lián)系與轉(zhuǎn)換的整體結(jié)構(gòu)，并幫助學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這些基本的結(jié)構(gòu)，在頭腦中形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并認(rèn)為有了這個基礎(chǔ)，學(xué)生就會加入到任何未來的發(fā)展方向上來，這是一種“給予式的教學(xué)”；第二種水平是為了讓學(xué)生學(xué)習(xí)起來比較得法而精心設(shè)計并實施的教學(xué)一一當(dāng)然也有整體的觀念，但讓學(xué)生自己經(jīng)常去發(fā)現(xiàn)這些基本的整體結(jié)構(gòu)，并認(rèn)為這樣是符合“學(xué)生學(xué)習(xí)主體性”教育要求的，這是一種“發(fā)現(xiàn)式的教學(xué)”；第三種水平不僅是為了讓學(xué)生會學(xué)，而且希望他們能夠樂于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而教他們經(jīng)常去調(diào)節(jié)這些基本的整體結(jié)構(gòu)，因為已有的整體結(jié)構(gòu)總是有局限的“有待之游”，這是一種“超越式的教學(xué)”。當(dāng)然，也有不少數(shù)學(xué)教師的教學(xué)水平處在第一種水平之下，但我們認(rèn)為這些教師是不能稱其為“數(shù)學(xué)教師的”數(shù)學(xué)教師，即他們是“不合格的”數(shù)學(xué)教師。
由此可見，處在第一種水平的教師是在教數(shù)學(xué)，而處在第二和第三種水平的教師都是在教學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，但有“有待的發(fā)現(xiàn)”和“無待的追求”之本質(zhì)區(qū)別�，F(xiàn)實中，第一種水平的數(shù)學(xué)教師可能很辛苦，但經(jīng)常感覺到“吃力不討好”；第二種水平的教師擅長教“好學(xué)生”，而對所謂的“數(shù)學(xué)差生”則會顯得“一籌莫展”；只有第三種水平的教師，他們不僅善于啟發(fā)“好學(xué)生”，而且也很會轉(zhuǎn)化“差學(xué)生”，是數(shù)學(xué)文化教學(xué)論所應(yīng)追尋的“理想教師”及其“有效教學(xué)”。
第一種水平的教師需要改進(jìn)自己的“聯(lián)系與轉(zhuǎn)換的”整體觀，即在設(shè)計整體結(jié)構(gòu)時應(yīng)該超越現(xiàn)在正在學(xué)習(xí)的“數(shù)學(xué)知識單元”等有限的范圍，而同時考慮可能的更大范圍的整體結(jié)構(gòu)。譬如，在小學(xué)階段講方程概念時，就我們所了解的情況而言，幾乎沒有一個數(shù)學(xué)教師不是用“天平的平衡”來聯(lián)系實際以幫助學(xué)生去發(fā)現(xiàn)“方程的結(jié)構(gòu)”的，但這個“平衡結(jié)構(gòu)”卻存在著為后續(xù)學(xué)習(xí)（如解方程）埋下“地雷”的可能--如何理解“尤+5=0”、“工2=9”和“工2-4尤=5”等方程中的“等號兩邊的”平衡呢？第二種水平的教師由于強(qiáng)調(diào)“好學(xué)生”的重要性，而且不愿也無法教學(xué)所謂的“數(shù)學(xué)差生”，其中有些教師可能在態(tài)度上比較“傲慢”，排擠“差生”。因為他們在某種程度上就是學(xué)校升學(xué)率的保障，學(xué)校和家長都得罪不起。因此，他們所需要的“只是”改變態(tài)度（盡管也不容易），并不斷地向第三種水平的教師學(xué)習(xí)。第三種水平的教師，應(yīng)該說，是數(shù)學(xué)文化教學(xué)論所應(yīng)追尋的目標(biāo)。
所謂“整體”不僅僅是指幼小銜接、小初銜接、初高銜接和大中銜接的問題，也不僅僅是指-節(jié)課、一個單元、一個章節(jié)或一學(xué)期的數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的整體性問題，更不僅僅是指現(xiàn)行數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中所提倡的“三種聯(lián)系”--聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗與實際、注重數(shù)學(xué)各學(xué)科之間的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系等，它更多的是指，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該追求用一種“無待的”整體觀來看待各種“有待的”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，以使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為融“游戲性”、“流變性”和“融貫性”于一體的師生共同創(chuàng)造的“自由天地”。
而所謂“聯(lián)系與轉(zhuǎn)換”則是在上述“整體”意義上內(nèi)在于其中的要求，否則，整體將不成其為整體。整體只有通過這“聯(lián)系與轉(zhuǎn)換”才能夠形成、變化和發(fā)展，成為一個可能的更大的整體的一個要素或局部或“聯(lián)系與轉(zhuǎn)換”本身。
譬如，如果我們擁有了這樣的整體觀念并“深熟”數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，那么我們在進(jìn)行“數(shù)”的教學(xué)時就不會局限于“數(shù)”的“邏輯發(fā)展”(即N-Z-Q-R-Z)或“四則運算”，而置“數(shù)”的其他特性（比如，區(qū)分性、順序性和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)性等，其實復(fù)數(shù)也可以在有理數(shù)之后或?qū)崝?shù)之前學(xué)習(xí)）于不顧，更不會出現(xiàn)像“‘，是不是（第一個）自然數(shù)？’這樣一類問題，也不會出現(xiàn)“對數(shù)學(xué)歸納法的證明”這類“同語反復(fù)”，而且有助于我們理解“為什么有些國家把一樓不稱為‘一樓’，而把二樓叫做‘一樓等“數(shù)字文化”的約定性。而所謂的“九五之尊”、“三教九流”等也不過是“數(shù)字文化”歷史流傳下來的習(xí)俗而已。這里既沒有什么神秘感，也沒有什么令人費解的難題，倒是文化歷史為何選擇了這“數(shù)字”而不是其他“數(shù)字”，卻很是令人費解和迷惑的，但這已不是數(shù)學(xué)文化教學(xué)論的問題，而是歷史學(xué)家和歷史學(xué)工作者的研究課題了。
再譬如，“計算”或“運算”早已不再是各種“數(shù)”的“特權(quán)”了，它甚至還被視為“生命的本質(zhì)”。如何能夠通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來獲得這種“哲學(xué)的”意義呢？這就要求我們既要洞悉“計算”意義的文化發(fā)展：數(shù)的運算、字母的運算、函數(shù)運算、各種具體數(shù)學(xué)對象的關(guān)系、抽象集合中元素的一般關(guān)系、計算就是有限規(guī)則的迭代、計算就是適應(yīng)、適應(yīng)就是計算……，又要善用“聯(lián)系與轉(zhuǎn)換”而不把我們現(xiàn)學(xué)或已學(xué)的“計算”之含義視為“唯一的”邏輯必然。因為演繹證明本身是以演繹為前提的，它屬于循環(huán)論證；而歸納也是在以“歸納有效”這個事實為其前提的情況下心照不宣地進(jìn)行歸納的。[1]所以，在數(shù)學(xué)中，如同在其他領(lǐng)域中一樣，不存在最后的和絕對的真理，存在的只是大量的“有限規(guī)則內(nèi)的”相對真理或“語言游戲”。這樣一來，我們不僅可以看到整數(shù)計算、有理數(shù)計算、實數(shù)計算、復(fù)數(shù)計算等之間的一致性，算術(shù)計算與代數(shù)運算之間的一致性，還可以見到算術(shù)與代數(shù)中的計算、函數(shù)運算與幾何中的變換等之間的一致性，甚至“生命的計算本質(zhì)”，即“符號的排列組合”。
二、數(shù)學(xué)教學(xué)中的“留有余地”
由于數(shù)學(xué)文化的“整體性”及其指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)文化教學(xué)的“整體、聯(lián)系與轉(zhuǎn)換”之特征，和任何具體數(shù)學(xué)教學(xué)活動的“局部性”特性的同時存在，為培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)的”反思性、批判性、創(chuàng)造性和超越性，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)文化的教學(xué)就必須要“留有余地”。不過，這里的“留有余地”并不是指在課堂上“留有一手”，以待“課后”對學(xué)生進(jìn)行“輔導(dǎo)”、“提升”或“拔高”；而是指，在任何數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，數(shù)學(xué)教師都不應(yīng)該“把數(shù)學(xué)教死”，即不應(yīng)該把數(shù)學(xué)知識教成“一串無意義的”符號，而應(yīng)該把數(shù)學(xué)知識教成“數(shù)學(xué)思想流變”的凝結(jié)；不應(yīng)該把數(shù)學(xué)活動教成“小和尚念經(jīng)，有口無心”的“步驟發(fā)現(xiàn)”，而應(yīng)該把數(shù)學(xué)活動教成“數(shù)學(xué)方法游戲的”“再發(fā)現(xiàn)”；不應(yīng)該把數(shù)學(xué)的“社會建制”隱藏起來，并獨獨傾心于“數(shù)學(xué)的絕對性”，而應(yīng)該把數(shù)學(xué)的“社會建制”作為“數(shù)學(xué)精神”的不竭追求的體現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“融貫性”只有在這種不竭的追求中才可能達(dá)到。
由于數(shù)學(xué)文化那令人目眩，同時也令人神傷和令人向往的奇妙的力量和意義，數(shù)學(xué)文化，可以說從幼兒園開始，幾乎就成為了一門主要的課程。但數(shù)學(xué)文化在幼兒園的傳播卻著實令人傷感(譬如，印刷體數(shù)字的書寫及其練習(xí)）。這里還有-“幾何的”例子，即幼兒園的“數(shù)學(xué)教師”為了讓孩子能夠更多更準(zhǔn)確地從形體上“識別”事物，而專注于各種物體的形狀（如正方形與長方形、正方體與長方體）之間的差異，卻“視而不見”其內(nèi)在的一致性，結(jié)果就造成了小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“先天性”障礙：“五四制”中的小學(xué)四年級學(xué)生就很難認(rèn)同“正方形也是長方形”或“正方體是一種特殊的長方體”這一“求同存異”式的數(shù)學(xué)（概念）的概括方式（我想，這可能也不僅僅局限于“五四制”，只是我們的結(jié)論來自“五四制”中的課堂觀察）。在我們看來，這至少說明，從幼兒園就已開始的“數(shù)學(xué)文化”傳播或教學(xué)就應(yīng)該“留有余地”。也就是說，這里“絕對地”需要“模糊”而不是“精確”或“準(zhǔn)確”或“清晰”。
下面仍然是“五四制”中的一個課堂觀察案例。初一數(shù)學(xué)課上，教師為幫助學(xué)生形成“代數(shù)的”整體轉(zhuǎn)化的思想，設(shè)計了這樣一個例題（其實來自相應(yīng)的某個版本的數(shù)學(xué)教學(xué)參考書）：
教師的意圖（也是數(shù)學(xué)教學(xué)參考書編者的意圖）是“不戰(zhàn)而屈人之兵”，即通過“整體一聯(lián)系一轉(zhuǎn)化”的方式來“直接”得到答案，這與我們在算術(shù)中所強(qiáng)調(diào)的“準(zhǔn)變量（表達(dá)式）’’是一致的。下面僅是其中的一種“轉(zhuǎn)化”方式：
但是，卻有一個“笨”學(xué)生在黑板上寫下了如下所示的“笨”辦法，即“戰(zhàn)而屈人之兵”的直接方法：
“教材安排在高中的內(nèi)容就非得要等到學(xué)生上高中時才可以教”？這種被安排的順序邏輯是誰家的邏輯？是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的邏輯還是教師教數(shù)學(xué)的邏輯？……當(dāng)然，教材的內(nèi)容安排和順序在每個歷史時期都有其一定的“科學(xué)的”理由和根據(jù)。我們不可否認(rèn)這一點。但這其中還應(yīng)該包含無窮的變化和可能才“更科學(xué)”，教師教和學(xué)生學(xué)的創(chuàng)造性都需要這“無窮的變化和可能”。否則，科學(xué)的東西就有可能變成機(jī)械的“按設(shè)計圖紙”的模仿，“程序教學(xué)”和“網(wǎng)絡(luò)教學(xué)”也就有可能成為解決一切教學(xué)問題的“靈丹妙藥”。假如我們就是按照“現(xiàn)在被安排好的順序”來看待這一問題，那么，像這類旨在培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)思想方法”的問題中也都有可能會隱藏著“內(nèi)在的不可能”就這里的例子而言，不管是教師的“意圖”還是“笨”學(xué)生的解法，都隱藏著“a是虛數(shù)”這一前提認(rèn)定，而這一前提認(rèn)定必然與“任何數(shù)的平方都不可能是負(fù)數(shù)”相矛盾。
其實，“笨”學(xué)生的“創(chuàng)造”隱藏著“發(fā)明復(fù)數(shù)”的契機(jī)--與歷史驚人地相似！如果我們從數(shù)學(xué)文化發(fā)展的歷史來看，盡管“無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)”早于復(fù)數(shù)，但“復(fù)數(shù)的完善”卻早于實數(shù)，而且復(fù)數(shù)的“歷史發(fā)現(xiàn)”恰恰就產(chǎn)生于類似那個“笨”學(xué)生所運用的“解方程方法”。這至少再一次說明，數(shù)學(xué)知識理論的邏輯結(jié)構(gòu)與人們對它的認(rèn)識的邏輯結(jié)構(gòu)是不同構(gòu)的，甚至有時是相反的�？傊�，綜合的數(shù)學(xué)文化觀下的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該留有余地。這既是教師創(chuàng)造性地教，也是學(xué)生創(chuàng)造性地學(xué)所必需的。
三、數(shù)學(xué)教學(xué)中的“備而不‘課，”
數(shù)學(xué)（文化）教學(xué)如何貫徹“整體、聯(lián)系與轉(zhuǎn)換”而體現(xiàn)“留有余地”呢？根據(jù)“備好課是提高課堂教學(xué)質(zhì)量的根本保證”[2]這_普遍認(rèn)識，我們認(rèn)為，“備而不‘課'是解決這一問題的根本保障，也是數(shù)學(xué)文化教學(xué)（論）所應(yīng)追求的藝術(shù)境界和創(chuàng)造精神。
曾記否？當(dāng)我們初為人師的時候，“老”教師們往往會教誨我們：當(dāng)學(xué)生問你問題而你一時又答不上來的時候，千萬不要說自己不會，應(yīng)該說，你現(xiàn)在很忙，并約定一個時間給學(xué)生講解(這一點很重要，否則你就會被認(rèn)為是一個沒有責(zé)任心的老師），否則，學(xué)生就會瞧不起你。
我們暫且不說這些“老”教師們對初為人師的我們的關(guān)愛之心應(yīng)該受到感激，單就這種“思維方式”反映在備課上就是，數(shù)學(xué)教師要找出一個被“自己”或“數(shù)學(xué)教師們”認(rèn)為最好的教學(xué)設(shè)計或方案，以在課堂上展示數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)教師的“邏輯魅力”。當(dāng)課堂上學(xué)生的思維與教師“事先設(shè)計好的”教學(xué)思維進(jìn)程不一致的時候，教師一般會本能地來對學(xué)生的思維進(jìn)行“改正”或“扭轉(zhuǎn)”，以使得課堂教學(xué)保持一種“和諧、有序的”“高度集中的”“簡單”之美和“計劃性”。但是，這種情況出現(xiàn)得多了，教師就會越來越感覺到：學(xué)生上課配合得很好，問題也都能一一解答，而課后卻又不會做題。用現(xiàn)在流行的話來說就是“我都教了你們N遍，你們居然還不會”。于是，教師對備課也就越來越“不重視”了，只是把備課看作是“例行公事”--為備課組檢查、教研組備案、教導(dǎo)處抽查等而“準(zhǔn)備”甚至“復(fù)制”的“紙質(zhì)文本”。課堂教學(xué)開始脫離教案而行“自由之事”。慢慢地，“紙質(zhì)文本”和課堂上的“教學(xué)活動”之間的關(guān)系就會變得如同“陌路之伙伴”，但為了諸多“例行公事”的需要，教師還很有可能更多地把精力放在教案的“美化”方面。譬如，每一節(jié)數(shù)學(xué)課的教案上都要求在“教學(xué)目的”一欄中寫上“德目”（即德育目的）就是顯而易見的這種“美化”現(xiàn)象，“備好課是提高課堂教學(xué)質(zhì)量的根本保證”早已不知去向。
上述情況是現(xiàn)實的狀況，而不是理論的思辨。但是，為了解決這現(xiàn)實狀況中所存在的問題卻需要理論的思辨。所謂“備而不‘課'不是說不需要備課，而是指在課前、課中尤其是課后都需要精心地去思考、設(shè)計和準(zhǔn)備。這里的“備”就是準(zhǔn)備，而且它還應(yīng)該是全方位的、“整體一聯(lián)系一轉(zhuǎn)換”的無時無刻不存在的準(zhǔn)備；而這里的“不課”則是指，不因一時一課而形成通常意義上的“教案”。在綜合的“數(shù)學(xué)文化”觀的意義上，“備而不‘課'就是要求我們對所教數(shù)學(xué)內(nèi)容都要有一個豐富的“縱橫交錯”的理解與運用，并使得這些“縱橫交錯”的豐富關(guān)系成為教師個人的“血肉”、爛熟于心，而不是僅此“自留地”一塊。因為，只有這樣，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)才有可能使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿游戲性、流變性和融貫性；也只有這樣，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)才有可能既體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的科學(xué)性，又體現(xiàn)其人文性。因此，數(shù)學(xué)文化教學(xué)論中所追求的數(shù)學(xué)教學(xué)既要做到“備而‘不課'，又要體現(xiàn)其“整體、聯(lián)系與轉(zhuǎn)換”和“留有余地”等新特征。因此，我們應(yīng)該從以下幾方面為數(shù)學(xué)教學(xué)作準(zhǔn)備。
首先，要對自己所教授的內(nèi)容有一種綜合的理解與“整體一聯(lián)系一轉(zhuǎn)換”式的把握。譬如，就小學(xué)1?3年級的四塊內(nèi)容而言，不僅要搞清楚“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計與概率”和“實踐活動”各自的內(nèi)在聯(lián)系與轉(zhuǎn)換，（其實，根據(jù)我們上面所作的分析便已知道，僅就這一點而言，它也不是輕而易舉的事情），而且還要貫穿它們之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換。
其次，還要對自己所教授的內(nèi)容有一種“位置感”，即它在整個“學(xué)校數(shù)學(xué)”中所處的地位和所具有的意義。譬如，就小學(xué)數(shù)學(xué)教師而言，他們不僅要對小學(xué)數(shù)學(xué)的四塊內(nèi)容（其中4?6年級的第四塊內(nèi)容為“綜合應(yīng)用”有一種綜合的“整體一聯(lián)系一轉(zhuǎn)換”式的把握，而且要溝通其與“幼兒園數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”以及初中即7?9年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（第四塊內(nèi)容為“課題學(xué)習(xí)”）之間的關(guān)系與轉(zhuǎn)換。不過，這里要注意的是，這“位置感”中的“位置”不是固定不變的一個次序，而是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的一種“左右逢源”、“上下貫通”和“游刃有余”的節(jié)奏或步調(diào)。如果沒有這種“游刃有余的位置感”，數(shù)學(xué)教學(xué)就會要么被學(xué)生“牽著鼻子走”，要么被自己設(shè)計好的“教學(xué)順序”所限制。
第三，在做到上述兩點的基礎(chǔ)上，就每次數(shù)學(xué)教學(xué)而言，我們都不應(yīng)該把數(shù)學(xué)知識、技能、思想和方法等看作是一個不變的知識體系結(jié)構(gòu)，而應(yīng)該把它們視為“數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)約定下的”一種安排或選擇一一“有規(guī)則的游戲”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是這“游戲規(guī)則”的“再發(fā)現(xiàn)”或“再命名”，而在這“游戲規(guī)則”的“再發(fā)現(xiàn)”或“再命名”過程當(dāng)中，可能還會出現(xiàn)新的非“數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)約定下的”新規(guī)則，這也就是所謂綜合的“數(shù)學(xué)文化”中的數(shù)學(xué)的創(chuàng)新與發(fā)明一一“數(shù)學(xué)文化”發(fā)展的一種方式，而非專門的“數(shù)學(xué)文化”發(fā)展的研究方式，即數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)工作者們專門從事的事業(yè)。
第四，至于如何指導(dǎo)“規(guī)則的再發(fā)現(xiàn)”，新課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的“三重聯(lián)系”（即聯(lián)系學(xué)生的生活與實際、聯(lián)系數(shù)學(xué)各學(xué)科、聯(lián)系數(shù)學(xué)與其他學(xué)科等）都很值得重視（可以說這些都是深受荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾思想的影響）。但是，千萬不要以為，只要這樣做了，學(xué)生就一定能夠?qū)W好數(shù)學(xué)（文化）。其實，這僅僅是一個“規(guī)則發(fā)現(xiàn)”的“有待”。數(shù)學(xué)文化的教學(xué)并不僅僅滿足于這些已有“數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)約定下的規(guī)則”的“再發(fā)現(xiàn)”或“再命名”，而是要追求對這些“有待規(guī)則”的超越，以獲得一種“無待”的自由意識。
第五，現(xiàn)今所做的各種數(shù)學(xué)教學(xué)案例及其研究，可以說都是這種“規(guī)則發(fā)現(xiàn)”的“有待”設(shè)計。譬如，《全曰制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》中“第三學(xué)段”（即7?9年級）教學(xué)建議中的一個例子便是如此:
完成下列計算：
根據(jù)計算結(jié)果，探索規(guī)律。
教學(xué)中，首先應(yīng)讓學(xué)生思考：從上面這些算式中你能發(fā)現(xiàn)什么？讓學(xué)生經(jīng)歷觀察（每個算式和結(jié)果的特點）、比較（不同算式之間的異同）、歸納（可能具有的規(guī)律）、提出猜想的過程。教學(xué)中，不要僅注意學(xué)生是否找到了規(guī)律，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生是否進(jìn)行了思考。如果學(xué)生-時未能獨立發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，教師可以鼓勵學(xué)生相互合作交流，進(jìn)一步探索，教師也可以提供一些幫助。如列出如下點陣，以使學(xué)生從數(shù)與形的聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：
但是，這種“有待”的設(shè)計其實就是一個裝好的套子，里面藏著一個“謎底”（即規(guī)律），所謂“發(fā)現(xiàn)規(guī)律”就是找出“謎底”。由此可見，教學(xué)成了“制作的”學(xué)習(xí)，而不是學(xué)習(xí)的“制作”。參照我們前面對數(shù)學(xué)教學(xué)水平所作的三種劃分，這類“設(shè)計教學(xué)”最多就是第二或第一種水平的數(shù)學(xué)教學(xué)，還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有達(dá)到第三種水平的教學(xué)。
我們曾經(jīng)做過兩個“備而不課”式的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)想，但由于各種原因，主要是數(shù)學(xué)教師本身的“知識結(jié)構(gòu)”和數(shù)學(xué)思想觀念有待改進(jìn)，而最終都未能在課堂上進(jìn)行嘗試。是否這樣的設(shè)想太“高遠(yuǎn)”了？其實不是。因為在和一些數(shù)學(xué)骨干教師和教育碩士的交流過程中，他們大都也有這方面的一些想法，只是苦于沒有“理論指導(dǎo)”，不敢妄為。由此看來，“備而不‘課'的數(shù)學(xué)教學(xué)追求應(yīng)該是數(shù)學(xué)文化教學(xué)論的努力方向。第一個“備而不‘課'式的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)想是“記數(shù)：除了十進(jìn)制，還可以有什么？’；第二個“備而不‘課'式的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)想則是“數(shù)：有理數(shù)之后，可能是什么？’。
真誠期待有志于數(shù)學(xué)文化教育教學(xué)實踐嘗試與理論研究的同仁們的批評指正。
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