數(shù)學方法論

　　數(shù)學方法論主要是研究和討論數(shù)學的發(fā)展規(guī)律，數(shù)學的思想方法以及數(shù)學中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則的一門學問。數(shù)學是一門工具性很強的科學，它和別的科學比較起來還具有較高的抽象性等特征，為了有效地發(fā)展它、改進它、應用它或者把它很好地傳授給學生們，就要求對這門科學的發(fā)展規(guī)律、研究方法、發(fā)現(xiàn)與發(fā)明等法則有所掌握，因此，數(shù)學研究工作者、數(shù)學教師、科技工作者，以及高年級大學生、研究生等都需要知道一些數(shù)學方法論。

　　數(shù)學方法論特征

　　對數(shù)學方法論的早期研究，十七世紀就已經(jīng)開始了，法國數(shù)學家笛卡爾和德國數(shù)學家萊布尼茲都曾做過這方面的探討，并出版過專著，歷史上不少著名的大數(shù)學家，如歐拉，高斯、龐加萊、希爾伯特等人也曾就數(shù)學方法論的問題發(fā)表過許多精辟的見解，但是，對數(shù)學方法論進行系統(tǒng)地研究，還是最近幾十年間的事，在這方面做了突出的貢獻，當首推美國數(shù)學家和數(shù)學教育家波利亞，最近幾十年來.由于現(xiàn)代電子計算機技術(shù)已經(jīng)進入了人工智能和摸擬思維的階段，就更加促使數(shù)學方法論蓬勃發(fā)展起來;信息論，控制論、認知科學和人工智能的最新研究成果相繼引進了數(shù)學方法論的領(lǐng)域。而徐利治先生正式提出"數(shù)學方法論"這一名稱，并使其成為一門獨立的學科，迄今僅二十來年。

　　數(shù)學科學和數(shù)學史料是數(shù)學方法論的源泉，同時，數(shù)學方法論還涉及到哲學、思維科學，心理學、一般科學方法論、系統(tǒng)科學等眾多的領(lǐng)域。

　　數(shù)學方法論分為宏觀數(shù)學方法論與微觀數(shù)學方法論。

　　數(shù)學宏觀方法論所研究的是整個數(shù)學的產(chǎn)生、形成和發(fā)展的規(guī)律，數(shù)學理論的構(gòu)造，以及數(shù)學與其它科學之間的關(guān)系。研究宏觀方法論的主要途徑之一是研究數(shù)學史。研究宏觀方法論的另一條主要途徑是研究數(shù)學理論體系的構(gòu)造。

　　數(shù)學微觀方法論所研究的是一些比較具體數(shù)學方法，特別是數(shù)學發(fā)現(xiàn)和數(shù)學創(chuàng)造的方法。包括數(shù)學思維方法、數(shù)學解題心理與數(shù)學解題理論等等。

　　數(shù)學方法論目錄

　　第1講 數(shù)學方法論引論

　　1 研究數(shù)學方法論的意義和目的

　　2 宏觀的方法論與微觀的方法論

　　3 略論希爾伯特成功的社會因素

　　4 淺談微觀的數(shù)學方法論

　　第2講 略論數(shù)學模型方法

　　1 數(shù)學模型的意義

　　2 數(shù)學模型的類別及簡單例子

　　3 MM的構(gòu)造過程及特點

　　4 怎樣培訓構(gòu)造MM的能力

　　第3講 關(guān)系映射反演原則的應用

　　1 何謂“關(guān)系映射反演原則”?

　　2 數(shù)學中的RMI原則

　　3 若干較簡單的例子

　　4 幾個較難一點的例子

　　5 用RMI原則分析“不可能性命題”

　　6 關(guān)于RMI原則的補充說明

　　第4講 略論數(shù)學分理化方法

　　1 公理化方法的意義和作用

　　2 公理化方法發(fā)展簡史

　　3 公理化方法的基本內(nèi)容

　　4 重要例子——幾何學公理化方法

　　5 關(guān)于公理系統(tǒng)的相容性問題

　　6 略談自然科學中的公理化方法

　　第5講 關(guān)于數(shù)學的結(jié)構(gòu)主義

　　1 結(jié)構(gòu)主義學派的形成過程

　　2 布巴基學派的一般觀點

　　3 數(shù)學結(jié)構(gòu)的分類

　　4 數(shù)直線結(jié)構(gòu)分析

　　5 略變拓撲結(jié)構(gòu)

　　6 略談同構(gòu)概念

　　7 略評結(jié)構(gòu)主義

　　第6講 代數(shù)方程根式解法與伽羅瓦的群論思想方法

　　1 代數(shù)基本定理與根式解法研究簡史

　　2 拉格朗日的思想方法與阿貝爾定理

　　3 伽羅瓦的思想方法

　　4 方程式可解性理論簡介

　　第7講 關(guān)于非標準數(shù)域與非康托型自然數(shù)模型的構(gòu)造方法

　　1 略論“無限”概念蘊含的矛盾

　　2 非標準數(shù)域的構(gòu)造方法

　　3 非康托型自然數(shù)序列模型的構(gòu)造法

　　4 關(guān)于一個引伸的芝諾悖論的解釋

　　5 略論無限的兩種形態(tài)

　　第8講 悖論與數(shù)學基礎(chǔ)問題

　　1 悖論的定義和起源

　　2 悖論的舉例和數(shù)學三次危機

　　3 策莫洛對悖論的解決方案

　　4 羅素對悖論的解決方案

　　5 塔斯基及其語義學

　　6 哥德爾的不完備性定理與悖論

　　7 悖論的成因與研究悖論的重要意義

　　第9講 論數(shù)學基礎(chǔ)諸流派及其無究觀

　　1 數(shù)學系統(tǒng)的相對相容性證明與諸流派形成的歷史近因

　　2 邏輯主義派的觀點和方法

　　3 直覺主義派的觀點和方法

　　……

　　第10講 略論數(shù)學發(fā)明創(chuàng)造的心智過程

　　附錄Ⅰ 數(shù)學軸象度概念與抽象度分析法

　　附錄Ⅱ “數(shù)學模式觀”與數(shù)學教育及哲學研究中的有關(guān)問題

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