初等微積分與中學數(shù)學

　　下面是一篇關于初等微積分與中學數(shù)學的論文,對正在寫有關數(shù)學論文的寫作者有一定的參考價值和指導作用!

　　摘要：初等微積分作為高等數(shù)學的一部分，屬于大學數(shù)學內(nèi)容。在新課程背景下，幾進幾出中學課本。可見初等微積分進入中學是利是弊已見分曉，其重要性不言而喻。但對很多在崗教師而言，還很陌生，或是理解不透徹。這樣不利于這方面的教學。我將對初等微積分進入中學數(shù)學背景，作用及教學作簡單研究.

　　關鍵詞：微積分;背景;作用;函數(shù)

　　一、微積分進入高中課本的背景及必要性

　　在數(shù)學發(fā)展史上，自從牛頓和萊布尼茨創(chuàng)建微積分以來，數(shù)學中的很多問題都得以解決。微積分已成為我們學習數(shù)學不可或缺的知識。其在經(jīng)濟、物理等領域的大量運用也使之成為解決生活實際問題的重要工具。但牛頓和萊布尼茨創(chuàng)建的微積分為“說不清”的微積分，也就是連他們自己也說不清微積分的理論依據(jù)，只是會應用。這使得很多人學不懂微積分，更不用說讓中學生來學習微積分。

　　柯西和維爾斯特拉斯等建立了嚴謹?shù)臉O限理論，鞏固了微積分基礎，這是第二代微積分，但概念和推理繁瑣迂回，對高中生更是聽不明白。近十年來，在大量的數(shù)學家如：張景中，陳文立，林群等的不懈努力下，第三代微積分出現(xiàn)了相比前兩代說得清楚，對高中生而言，也更容易理解。這為其完全進入高中課本奠定了基礎。從內(nèi)容來看，新一輪的課改數(shù)學教材在微積分部分增加了定積分的 概念及應用(求曲邊梯形面積，旋轉(zhuǎn)體體積，以及在物理中的應用)，可能考慮到中學生的認知能力，人教版新教材與北師大版在這方面有所不同。即利用定積分求簡單旋轉(zhuǎn)體體積在北師大版教材中出現(xiàn)了，但人教版沒有。

　　從課標和考試大綱(參考2011年高考考試大綱)上看，初等微積分所占比重也是越來越重。回顧歷屆高考，微積分相關題型分值越來越高。但就我個人觀點，初等微積分在中學數(shù)學中的作用還沒有真正全面發(fā)揮。我認為，它是學生中學數(shù)學和教師教學的一條線索，它是我們研究中學函數(shù)問題的統(tǒng)一方法，也是聯(lián)系中學與大學數(shù)學知識的紐帶!

　　二、微積分在中學數(shù)學中的作用

　　1.銜接性與后繼作用。微積分本是大學高等數(shù)學范疇，是大學開設的課程。讓現(xiàn)在中學生提前學習部分微積分知識，這便為其以后升入大學學習微積分打下良好的基礎，這也使數(shù)學知識從小學到大學從內(nèi)容上銜接得更加緊密。也不會再出現(xiàn)很多大學生認為的大學數(shù)學知識在高中數(shù)學教學中沒有任何作用的觀點.

　　2.解決數(shù)學相關知識的作用。高中數(shù)學函數(shù)在整個中學數(shù)學內(nèi)容中，不論從高考所占比重還是自身難度來說都應該排在首位。對學生來說永遠是最難學的，得分率也相對比較低。很多學生討厭數(shù)學就是討厭函數(shù)，提到數(shù)學中的函數(shù)就頭暈。由于應試教育的關系，學生又不得不學習函數(shù)，而函數(shù)思想本身也是高中數(shù)學學習的一條線索。微積分的進入對學生學習函數(shù)問題找到了統(tǒng)一的方法。高中階段我們所研究的函數(shù)問題一般是以一些基本初等函數(shù)為媒介研究函數(shù)的定義，圖像和性質(zhì)，當然也有應用。但隨著課改的深入，函數(shù)應用問題逐漸在淡化。而初等微積分知識即研究函數(shù)的重要工具，如：微積分可以求函數(shù)的單調(diào)性，最值。最重要的是它可以畫出函數(shù)的圖像，其實，當函數(shù)圖像畫好后，幾乎函數(shù)所有性質(zhì)都可以解決。學生只要學好微積分便掌握了研究函數(shù)的統(tǒng)一方法，那么高中階段的二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等所有初等函數(shù)的學習就可以統(tǒng)一，既節(jié)約了教學時間又學習了先進的數(shù)學思想。對提高學生的數(shù)學修養(yǎng)打下堅實的基礎。我相信還可以激發(fā)其學習數(shù)學的興趣。另外，在高中階段，初等微積分還可以解決不等式問題，求二次曲線的切線問題，求曲邊梯形的面積等很多數(shù)學問題。利用微積分不僅可以使問題簡化，并能使問題的研究更為深入、全面。

　　3.提高數(shù)學在其他學科的應用能力。作為自然學科的數(shù)學本身已應用于社會經(jīng)濟、技術等各個領域。而作為中學數(shù)學，它對中學其它學科的推動作用也是毋庸置疑的。如物理，化學，地理等學科也離不開數(shù)學。在高中階段往往會因為數(shù)學的教學進度而影響其它學科的進度。如地理中要學習地球的經(jīng)度，緯度等知識就需要先學習數(shù)學中球體相關知識和解三角形相關知識。當微積分進入中學數(shù)學后，數(shù)學這個學科的作用就更加重要了。特別像物理中勻加速直線運動位移，瞬時速度，加速度等問題利用微積分的導數(shù)求解起來更加簡單，容易理解。新課程人教版數(shù)學教材選修2-2中專門加入了利用定積分求變速直線運動的路程一節(jié)。另外，微積分解決生活中的優(yōu)化問題也進入中學課本。可見，微積分進入中學教材，對促進學科間知識的整合起到了至關重要的作用。

　　三、國際上一些教材對微積分知識的處理

　　以蘇聯(lián)中學為例，蘇聯(lián)中小學為十年制，從九年級(1)(相當于我國高中一年級)中講了數(shù)學歸納法和排列組合以后，就介紹無窮數(shù)列和極限。然后介紹函數(shù)極限和導數(shù)，所有這些都在講解三角函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)、對數(shù)函數(shù)之前。隨即介紹導數(shù)在近似計算，幾何(求切線)和在物理中的應用(研究速度，加速度)以及導數(shù)在研究函數(shù)問題中得應用(求函數(shù)極值，最值，單調(diào)性等)。到九年級末及十年級(2)再講三角函數(shù)， 利用導數(shù)可以研究三角函數(shù)的性質(zhì)。然后介紹不定積分和定積分。接著在指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)一章介紹指數(shù)函數(shù)的導函數(shù)，再利用反函數(shù)求得對數(shù)函數(shù)的導函數(shù)。在十年級(3)中利用微積分知識研究幾何問題，用積分推導錐體，球體等的體積公式。還把球的表面積定義為球的體積V(R)對R的導數(shù)，從而立即求得球的表面積公式�？梢姡�蘇聯(lián)課本中及早分散引入導數(shù)及積分的概念和計算，而不是到最后整塊講解。這樣處理，可以使微積分知識結(jié)合研究函數(shù)問題，幾何問題以及研究物理問題中都得到應用。

　　當然，還有比如臺灣中學教材對微積分處理和我過現(xiàn)行教材區(qū)別不大，就不再介紹。而上訴對微積分的處理情況是一種在歐洲中學教材中較普遍的處理方式。其優(yōu)點主要就是充分發(fā)揮了微積分在中學數(shù)學教學中的作用。使中學數(shù)學知識更加連貫，更加易懂!

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