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初等數(shù)論的有效教學(xué)法
初等數(shù)論的有效教學(xué)法【1】
【摘要】高等師范學(xué)校小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)的數(shù)學(xué)類(lèi)課程設(shè)置的目標(biāo)是為了培養(yǎng)合格的小學(xué)數(shù)學(xué)教師.為了在初等數(shù)論的教學(xué)中突出師范教育的特色，本文從三個(gè)方面探索了初等數(shù)論的有效教學(xué)法.
【關(guān)鍵詞】初等數(shù)論;有效教學(xué)法
高等師范學(xué)校小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)的數(shù)學(xué)類(lèi)課程設(shè)置的目標(biāo)是為了培養(yǎng)合格的小學(xué)數(shù)學(xué)教師，而初等數(shù)論的最基本的內(nèi)容一直是小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容之一.作為一名數(shù)學(xué)教師，站在教學(xué)要游刃有余的角度上是必須掌握基本的初等數(shù)論知識(shí)的.為了在初等數(shù)論的教學(xué)中突出師范教育的特色，本文根據(jù)作者自身的教學(xué)實(shí)踐，從三個(gè)方面探索了初等數(shù)論的有效教學(xué)法.
一、在初等數(shù)論教學(xué)中滲透小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法
高等師范學(xué)校的小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)培養(yǎng)的是將來(lái)要從事小學(xué)教育的數(shù)學(xué)教師.而初等數(shù)論中的一些基本知識(shí)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的用途是十分廣泛的，在初等數(shù)論的課堂教學(xué)中注重與小學(xué)數(shù)學(xué)教育結(jié)合起來(lái)，滲透小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)方法，提高學(xué)生的教學(xué)能力顯得尤為重要.因此，與小學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密的內(nèi)容要放慢節(jié)奏詳細(xì)講解.
整除的數(shù)字特征是與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)密切相關(guān)的內(nèi)容，許多時(shí)候需要學(xué)生直接借助概念進(jìn)行思維，而對(duì)于以形象思維為主的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，這部分內(nèi)容是難點(diǎn).初等數(shù)論的教材中需要利用同余的知識(shí)來(lái)證明整除的數(shù)字特征，而這在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中顯然是不適用的，小學(xué)生大多還沒(méi)有接觸過(guò)同余的知識(shí)，那在課堂上應(yīng)該如何引導(dǎo)小學(xué)生來(lái)理解這些整除的數(shù)字特征呢?這需要教師對(duì)整除的性質(zhì)有一個(gè)全面的了解.
在課堂教學(xué)中滲透小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)方法可以使學(xué)生比較扎實(shí)地在較高層次上掌握小學(xué)數(shù)學(xué)的一些知識(shí)，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)能力.
二、在初等數(shù)論教學(xué)中補(bǔ)充小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題
初等數(shù)論教材中有許多古代數(shù)學(xué)名題，如“百雞問(wèn)題”“雞兔同籠”等都是小學(xué)數(shù)學(xué)的趣味題，容易引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在初等數(shù)論的相關(guān)章節(jié)中可以適當(dāng)補(bǔ)充一些小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題.例如，介紹帶余除法時(shí)可以舉例：
“某數(shù)除以3余2，除以4余1，該數(shù)除以12余幾?”介紹奇偶分析時(shí)列舉幾個(gè)大家熟知的“翻茶杯”“放硬幣”“報(bào)數(shù)游戲”等富有生活情趣的小學(xué)競(jìng)賽題.介紹最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)可以補(bǔ)充如下例題：一塊長(zhǎng)方形地，長(zhǎng)24871厘米，寬3468厘米，要截成若干個(gè)同樣大小正方形的地塊，不能有剩余且正方形的邊長(zhǎng)要盡可能的大.問(wèn)：這樣的正方形邊長(zhǎng)是多少厘米?
在講授求解不定方程的內(nèi)容時(shí)，給出如下充滿(mǎn)生活氣息的應(yīng)用題：(1)150個(gè)乒乓球，分裝在大、小兩種盒子里，大盒裝12個(gè)球，小盒裝7個(gè)球，問(wèn)：需要大、小盒子各多少個(gè)才能恰好把這些球裝完?(2)某人打靶，8發(fā)打了53環(huán)，全部命中在10環(huán)、7環(huán)和5環(huán)上，問(wèn)：他命中10環(huán)、7環(huán)、5環(huán)各幾發(fā)?在講質(zhì)因數(shù)分解定理的應(yīng)用時(shí)，舉例：如果935×972×975×__________結(jié)果末4位為0，__________中最小填什么數(shù)?在同余的應(yīng)用時(shí)，舉例：今天星期四，再過(guò)4734天是星期幾?
在進(jìn)行課堂講授時(shí)結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教會(huì)學(xué)生解題方法，讓學(xué)生體會(huì)到解題的樂(lè)趣，深刻體會(huì)到初等數(shù)論是一門(mén)非常有用的課程.如果能再介紹一些與小學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)的趣味史料，則效果更佳.
三、在初等數(shù)論教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的授課能力
師范學(xué)校小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的重任，因此初等數(shù)論的課堂教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生理論知識(shí)的掌握，致力于學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng).初等數(shù)論教材中的部分內(nèi)容，如整除的概念與性質(zhì)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)、公因數(shù)與公倍數(shù)、同余等知識(shí)，其他課程中已有涉及，學(xué)生已有一定的了解，只是在初等數(shù)論教材中把它們進(jìn)一步理論化、系統(tǒng)化而已，在講授這些內(nèi)容時(shí)可以讓學(xué)生在自學(xué)的基礎(chǔ)上，分組討論后嘗試寫(xiě)出教案，再選出一兩名代表上臺(tái)講授，然后由學(xué)生自己對(duì)這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和方法進(jìn)行評(píng)論，最后由教師進(jìn)行總結(jié)、補(bǔ)充和點(diǎn)撥，尤其要注重學(xué)生的課堂講課與課后評(píng)論這兩個(gè)環(huán)節(jié).
這樣的教學(xué)，不但能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)初等數(shù)論的興趣和積極性，更能提高學(xué)生的授課能力，為學(xué)生以后走上講臺(tái)提供了一個(gè)很好的展示平臺(tái)，可謂一舉兩得.而其他與小學(xué)教學(xué)聯(lián)系不太緊密的內(nèi)容可以粗略地講，尤其是太高深的數(shù)論理論，對(duì)小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)的學(xué)生不必要求太高，否則會(huì)使學(xué)生望而卻步.
要教好初等數(shù)論這門(mén)課，教師在備課過(guò)程中要認(rèn)真鉆研教材，充分利用網(wǎng)絡(luò)資源，在課堂教學(xué)中針對(duì)師范學(xué)校的培養(yǎng)目標(biāo)，突出師范教育的特色，滲透小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法，引入小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題目，并讓學(xué)生嘗試教學(xué)提高授課能力，使學(xué)生在初等數(shù)論的課堂上能學(xué)有所得，收獲學(xué)習(xí)知識(shí)的快樂(lè).
【參考文獻(xiàn)】
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初等數(shù)論課程教學(xué)的改進(jìn)【2】
摘 要：初等數(shù)論是大學(xué)本科數(shù)學(xué)的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，但長(zhǎng)期得不到足夠的重視。
究其原因，除其內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單不受師生重視外，也有課程設(shè)置不科學(xué)和課堂教學(xué)方式方法陳舊等因素。
本文旨在改進(jìn)教學(xué)方法，闡述課堂教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)心得。
歸根結(jié)底，就是在備課和課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)上下工夫，取得理想的教學(xué)質(zhì)量。
關(guān)鍵詞：初等數(shù)論;教學(xué)方法;改進(jìn)
初等數(shù)論是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科階段代數(shù)系列課程中的一門(mén)，與高等代數(shù)和近世代數(shù)等已得到普遍重視的情況相比，初等數(shù)論課程的重要性尚未得到充分的認(rèn)識(shí)，主要體現(xiàn)在課程設(shè)置不科學(xué)、教學(xué)方法陳舊等方面，由此導(dǎo)致教學(xué)效果差，教學(xué)質(zhì)量無(wú)法提高等諸多問(wèn)題。
那么，如何改進(jìn)初等數(shù)論課程的教學(xué)、改善教學(xué)效果，從而提高教學(xué)質(zhì)量?本文僅就教學(xué)實(shí)踐從兩個(gè)方面談?wù)勥@一問(wèn)題。
一、在思想上給予初等數(shù)論以足夠的重視
初等數(shù)論是一門(mén)古老的學(xué)科，主要研究數(shù)的性質(zhì)和方程的整數(shù)解，是中等數(shù)學(xué)中數(shù)的理論的繼續(xù)和提高，是中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的最好銜接。
盡管其使用的方法是初等的，但應(yīng)該看到其很多內(nèi)容及思想為高等代數(shù)和近世代數(shù)做了很好的鋪墊，提供了抽象理論的具體實(shí)例。
初等數(shù)論為后續(xù)的代數(shù)提供了一個(gè)樣板，很多理論都要推廣到更一般的情形上去。
在整數(shù)集這個(gè)熟悉的領(lǐng)域中體會(huì)好代數(shù)的思想和方法，為將來(lái)學(xué)習(xí)和研究的提升做準(zhǔn)備。
更為重要的是目前RSA公鑰體制和離散對(duì)數(shù)體制均來(lái)自初等數(shù)論，并且正在不斷采用數(shù)論更為高深的理論成果[1]。
這反映出初等數(shù)論在實(shí)踐應(yīng)用上的價(jià)值。
既然初等數(shù)論課程如此重要，那么一些高校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)為什么會(huì)不重視這門(mén)課程?最根本的原因在于這門(mén)課程內(nèi)容表面上相對(duì)淺顯，教學(xué)單位沒(méi)有從科學(xué)的角度來(lái)審視初等數(shù)論在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的真實(shí)作用，低估了它存在的價(jià)值，他們認(rèn)為大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)講授更為抽象的問(wèn)題，初等數(shù)論的存在比較尷尬，因此，在課程設(shè)置上不夠突出這門(mén)課程的地位。
不但沒(méi)有將之安排在大一的第一學(xué)期講授，而且有的將其由專(zhuān)業(yè)必修課改成大三講授的選修課。
這種錯(cuò)誤的課程設(shè)置，抹殺了初等數(shù)論這門(mén)課銜接中學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的橋梁作用。
此外，大三學(xué)生面對(duì)相對(duì)淺顯的數(shù)論課程，也確實(shí)提不起興趣，進(jìn)而影響到教師對(duì)這門(mén)課程的備課、授課的重視程度。
這種情況馮克勤先生曾經(jīng)撰文提到過(guò)，并且闡述了大一新生開(kāi)設(shè)初等數(shù)論課程的理由和積極意義[2]。
遺憾的是十幾年過(guò)去了，仍沒(méi)有得到廣泛的重視。
現(xiàn)在，我們采納馮先生的建議尚不算晚，應(yīng)當(dāng)在具體的教學(xué)計(jì)劃上做出切實(shí)的調(diào)整，以便更好地發(fā)揮初等數(shù)論在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)中的作用，進(jìn)而使之在應(yīng)用領(lǐng)域能為人熟練地應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)這門(mén)課程的價(jià)值。
教師在教學(xué)實(shí)踐上的重視程度和履行情況也至關(guān)重要。
教師不但要積極講授這門(mén)課程，而且還要下一番心思認(rèn)真準(zhǔn)備，設(shè)計(jì)好課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，怎樣開(kāi)始，怎樣展開(kāi)，結(jié)尾應(yīng)強(qiáng)調(diào)什么，知識(shí)點(diǎn)和相關(guān)學(xué)科知識(shí)的聯(lián)系等，這些環(huán)節(jié)都極為重要。
教師投入熱情，自然就會(huì)帶動(dòng)學(xué)生的熱情，師生互動(dòng)達(dá)成，取得良好的教學(xué)效果便水到渠成。
備課充分與否，教師和學(xué)生都能體會(huì)得到。
二、改進(jìn)傳統(tǒng)的教學(xué)方法
傳統(tǒng)的教學(xué)方法主要集中于教師課堂講授演算、隨時(shí)提問(wèn)的方式。
這種方式立足于教材本身，緊緊圍繞教學(xué)大綱，中規(guī)中矩，對(duì)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課程的講授而言有它的優(yōu)勢(shì)。
對(duì)初等數(shù)論來(lái)說(shuō)，情況就不同了。
上文所言，不科學(xué)的課程設(shè)置，實(shí)際上是將初等數(shù)論這門(mén)課程置于比較尷尬的地位。
其內(nèi)容簡(jiǎn)單，又在大三開(kāi)設(shè)，甚至屬于選修課程。
帶來(lái)的結(jié)果是聽(tīng)課的人少，學(xué)生和老師的情緒互相影響。
學(xué)生認(rèn)為沒(méi)什么可聽(tīng)的，過(guò)于簡(jiǎn)單;教師認(rèn)為學(xué)生一看都懂，講起來(lái)也沒(méi)什么意思，雙方的情緒都不高。
這便要求我們必須立足于這門(mén)課程在整個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)際地位，采取相應(yīng)的更為靈活的教學(xué)方式來(lái)改變這種狀況。
我們通過(guò)具體的教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)了以下一些方法。
(一)增加與基本定義及定理相關(guān)內(nèi)容的介紹
在課堂教學(xué)中，對(duì)基本定義及定理的背景、來(lái)源、研究動(dòng)機(jī)、目的與其應(yīng)用的講解是必要的。
要讓學(xué)生明白為什么要講這些內(nèi)容，它們?nèi)绾蔚脕?lái)，有何應(yīng)用。
如講質(zhì)數(shù)問(wèn)題，就要提及整數(shù)。
整數(shù)是最先接觸的數(shù)集，都以為整數(shù)是最基本的數(shù)，但中國(guó)古代數(shù)學(xué)家把質(zhì)數(shù)叫做“數(shù)根”，意思是數(shù)的根本。
因?yàn)槿魏握麛?shù)或者是質(zhì)數(shù)，或者是幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積。
古希臘時(shí)代的偉大數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中就已經(jīng)給出質(zhì)數(shù)的若干性質(zhì)。
歐幾里得給出算術(shù)基本定理在普通整數(shù)中的證明，后來(lái)高斯在復(fù)整數(shù)集{a+bi|a，b均為整數(shù)}中得出證明。
高斯曾經(jīng)在《算術(shù)探究》提過(guò)：“區(qū)分質(zhì)數(shù)和合數(shù)，并且將合數(shù)分解成質(zhì)因子，是算術(shù)中最重要又最有意義的問(wèn)題。”高斯明確指出了質(zhì)數(shù)的重要性。
今天，質(zhì)數(shù)理論不僅在理論上，而且在應(yīng)用上日益重要。
基于大數(shù)分解方案的公開(kāi)密鑰體制在信息安全領(lǐng)域的應(yīng)用就是一個(gè)最好的證明。
把以上的相關(guān)內(nèi)容向?qū)W生做一個(gè)簡(jiǎn)略的介紹，一方面，豐富了質(zhì)數(shù)問(wèn)題的知識(shí)含量，另一方面強(qiáng)調(diào)了質(zhì)數(shù)問(wèn)題的重要性。
不但從數(shù)學(xué)史的角度深化了學(xué)生對(duì)質(zhì)數(shù)的理解，而且調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。
數(shù)學(xué)史方面的適度滲透，我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中經(jīng)常會(huì)用到，效果良好。
(二)盤(pán)點(diǎn)每堂課的主要內(nèi)容，要求學(xué)生多練習(xí)
課堂上可能學(xué)了很多東西，學(xué)生能消化吸收多少?一個(gè)學(xué)期下來(lái)學(xué)生又記住了什么?我們自己要經(jīng)常問(wèn)自己，更要經(jīng)常問(wèn)學(xué)生。
換言之，即要求學(xué)生每堂課過(guò)后要關(guān)注教師的總結(jié)，也要自己去總結(jié)。
課堂上會(huì)有一些具體細(xì)致的計(jì)算與證明，這對(duì)領(lǐng)會(huì)這門(mén)學(xué)科的基本方法是必要的，但不能過(guò)于執(zhí)著細(xì)的方面，以至于只記得怎樣做，而忘了要做什么和為什么要做。
要注重講系統(tǒng)的方法，并展示這些方法可以解決什么問(wèn)題，同時(shí)說(shuō)明為解決另一些數(shù)學(xué)問(wèn)題還需要進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)。
可以在每次課的結(jié)尾盤(pán)點(diǎn)當(dāng)天的主要內(nèi)容以加深印象。
但一定要要求學(xué)生課下動(dòng)手做，要多練習(xí)，使其具備一定的基本功。
學(xué)期末，教師要向?qū)W生盤(pán)點(diǎn)這門(mén)課程的重點(diǎn)內(nèi)容。
初等數(shù)論都能讓我們想到什么，哪些是這門(mén)課程的精髓。
初等數(shù)論的重點(diǎn)是算數(shù)基本定理、中國(guó)剩余定理、模n的剩余類(lèi)、歐拉定理(費(fèi)馬定理)、高斯二次互反律等。
(三)營(yíng)造良好的課堂氛圍
相對(duì)而言，初等數(shù)論這門(mén)課內(nèi)容簡(jiǎn)單，易于達(dá)成師生間的良性溝通，營(yíng)造出活躍的課堂氛圍。
但不同授課內(nèi)容，學(xué)生的反應(yīng)會(huì)有所不同。
有時(shí)學(xué)生會(huì)對(duì)某個(gè)問(wèn)題較為敏感，思維也比較活躍，能夠積極思維并參與討論，帶動(dòng)其他同學(xué)，帶動(dòng)整個(gè)課堂氣氛，這樣的教學(xué)效果肯定是好的。
有時(shí)學(xué)生會(huì)對(duì)接受的內(nèi)容產(chǎn)生諸多疑問(wèn)，因此，表面上課堂并不活躍，大家都在默默地、積極地思考，沉浸在一種數(shù)學(xué)的氛圍之中。
這種課堂氛圍同樣能達(dá)到理想的授課效果。
(四)調(diào)動(dòng)學(xué)生參與到應(yīng)用數(shù)論解決簡(jiǎn)單的實(shí)踐活動(dòng)中去
初等數(shù)論課是一門(mén)可以充分展示學(xué)生個(gè)性的課。
作業(yè)中會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)同一個(gè)題目，他們可能有很多種做法，應(yīng)該對(duì)他們給予鼓勵(lì)，使他們有成就感，進(jìn)一步提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。
另外，數(shù)論課還可以讓學(xué)生編一些解決問(wèn)題的算法。
比如，編程解決素?cái)?shù)判定(當(dāng)然是適當(dāng)大的數(shù)以?xún)?nèi)的)、最大公因數(shù)的求解、一次同余式的求解。
在全班同學(xué)范圍內(nèi)編一個(gè)密鑰表來(lái)模仿公開(kāi)密鑰體制給學(xué)生發(fā)加密信息等。
可以讓學(xué)生互相比較誰(shuí)的算法好、速度快，這些既鍛煉了學(xué)生的編程能力，又提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。
除了上述四個(gè)方面外，我們還針對(duì)教學(xué)中的具體情況采取一些方法。
如針對(duì)不同層次學(xué)生的需求，如何做到因材施教的問(wèn)題。
這是涉及既能保證普遍的教學(xué)質(zhì)量，又能注重優(yōu)秀學(xué)生培養(yǎng)的一個(gè)老問(wèn)題[3]。
有的學(xué)生天賦好、基礎(chǔ)好，常常會(huì)有與眾不同的想法、問(wèn)題，要積極引導(dǎo)他們，鼓勵(lì)他們多讀書(shū)，讀好書(shū)。
鼓勵(lì)他們就感興趣的問(wèn)題查閱文獻(xiàn)資料，這可能同時(shí)涉及其他課程、其他學(xué)科，也能拓展他們的知識(shí)面，讓他們感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)。
在初等數(shù)論課堂教學(xué)改進(jìn)的過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)利用這門(mén)課程的教學(xué)適時(shí)地向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)的某些思想是有效果的。
通過(guò)這門(mén)課程的教與學(xué)，很多學(xué)生都明白了數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程是教師引導(dǎo)他們學(xué)習(xí)前人得到的概念、定理及方法的過(guò)程。
這些理論的敘述都是倒敘式的，與前人得到的順序是相反的。
師生雖然不能完全模擬當(dāng)年數(shù)學(xué)家的思維過(guò)程，也應(yīng)盡量一起分析這個(gè)問(wèn)題的產(chǎn)生、可能的解決思路，最終方法的確定，一同回味和享受這個(gè)過(guò)程。
這一過(guò)程對(duì)他們更好地理解理論、體會(huì)思想、學(xué)習(xí)方法、培養(yǎng)興趣都是非常重要的。
另外，這樣做有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的研究能力[4]。
記得有一位老師說(shuō)過(guò)，基礎(chǔ)課教學(xué)的探討永無(wú)止境。
我們只能探索、改進(jìn)、再探索、再改進(jìn)。
參考文獻(xiàn)：
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