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數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題探究
下面是一篇關(guān)于數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題探究的論文,對(duì)正在寫(xiě)有關(guān)數(shù)學(xué)論文的寫(xiě)作者有一定的參考價(jià)值和指導(dǎo)作用!
摘要：求通項(xiàng)是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的形式，但是這方面的題目形式多變，技巧性較強(qiáng)，導(dǎo)致這一內(nèi)容成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列問(wèn)題的難點(diǎn)。本文對(duì)一些常見(jiàn)的遞推數(shù)列求通項(xiàng)的方法進(jìn)行歸納總結(jié)，以希望對(duì)廣大中學(xué)生朋友們突破這一難點(diǎn)提供一定的幫助。
關(guān)鍵詞：數(shù)列;通項(xiàng)公式;方法;
一、觀察法
例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：
(1)9，99，999，9999，...
(2)1，1/2，1/4，1/8，...
解：(1)變形為：101- 1，102- 1，103- 1，104- 1，......
∴通項(xiàng)公式為：10n- 1
(2)變形為：1/21-1，1/22-1，1/23-1，1/24-1，......，
∴通項(xiàng)公式為：1/2n- 1
觀察法就是要抓住各項(xiàng)的特點(diǎn)，與常見(jiàn)的數(shù)列形式相聯(lián)系進(jìn)行變形，探索出各項(xiàng)的變化規(guī)律，從而找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系，寫(xiě)出通項(xiàng)公式。
二、定義法
例2：已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x- 1)2，且a1=f(d- 1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q- 1)，求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
解：(1)∵a1=f(d- 1)=(d- 2)2，a3=f(d+1)=d2，
∴a3- a1=d2-(d- 2)2=2d，
∴d=2，
∴an=a1+(n- 1)d=2(n- 1);
又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q- 1)=(q- 2)2，
由q∈R，且q≠1，得q=- 2，∴bn=b·qn- 1=4·(- 2)n-1 當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，只需求得首項(xiàng)及公差或公比，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的定義寫(xiě)出該數(shù)列的通項(xiàng)公式。
三、疊加法
例3：已知數(shù)列6，9，14，21，30，...求此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。
解：已知a2- a1=3，a3- a2=5，...，an- an- 1=2n- 1，...
各式相加得：an- a1=3+5+...+(2n- 1)=n2- 1
∴an=n2+5
對(duì)于可表述成為an- an- 1=f(n)的形式的數(shù)列，即可通過(guò)疊加的方法消去a2至an- 1項(xiàng)，從而利用的已知求出。
四、疊乘法
例4：設(shè)數(shù)列 {an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且滿足(n+1)a2n+1- nan2+an+1an=0，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。
解：∵ (n+1)a2n+1- nan2+an+1an=0，可分解為[(n+1)an+1- nan](an+1+an)=0
又∵ {an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，
∴an+1+an≠0，
∴ (n+1)an+1- nan=0，
由 此 得 出 ：a1=2a2，2a2=3a3，...，(n- 1)a(n-1)=nan，這n- 1個(gè)式子，將其相乘得：a1=nan，又∵a1=1，∴an=1/n，∵n=1也成立，∴an=1/n(n∈N*)。
對(duì)于相鄰的兩項(xiàng)有確定的比例關(guān)系的遞推式，可以通過(guò)疊乘法消去和，從而利用的已知求出此類(lèi)數(shù)列的通項(xiàng)公式。
五、取倒數(shù)法
例5：已知數(shù)列{an}，a1=-1， n∈N*，求an =?
解：把原式變形得 an+1- an+1·an= an
兩邊同除以 anan+1得1/an=1/an+1 +1
∴{1/an} 是首項(xiàng)為 -1，d=-1 的等差數(shù)列
故an=-1/n
有些關(guān)于通項(xiàng)的遞推關(guān)系式變形后含有 anan+1項(xiàng)，直接求相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系很困難，但兩邊同除以 anan+1后，相鄰兩項(xiàng)的倒數(shù)的關(guān)系容易求得，從而間接求出 an。
六、利用公式 an=Sn-Sn-1(n ≥ 2) 求通項(xiàng)
例 6：已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 {an} 的前 n 項(xiàng)和為 Sn滿足 S1> 1 且 6Sn=(an+1)( an+2) n ∈ N*，求 {an}的通項(xiàng)公式。
解：由 a1=S1= 解得 a1=1 或 a1=2，
由已知a1=S1> 1，因此 a1=2
又由 an+1= Sn+1-Sn= 1/6 (an+1 +1)(an+1 +2)-1/6 (an +1)(an +2)得(an+1+an)( an-1-an-3) =0
∵ an> 0 ∴ an-1-an=3從而 {an} 是首項(xiàng)為 2，公差為 3 的等差數(shù)列，
故 {an} 的通項(xiàng)為 an=2+3(n-1)=3n-1。
有 些 數(shù) 列 給 出 {an} 的 前 n 項(xiàng) 和 Sn與 an的 關(guān) 系 式Sn=f(an)，利用該式寫(xiě)出 Sn+1=f(an+1)，兩式做差，再利用 an+1=Sn+1-Sn導(dǎo)出 an+1與 an的遞推式，從而求出 an。
七、構(gòu)造等比數(shù)列法
例 7：已知數(shù)列 {an} 滿足 a1=1，an+1=2an+1 (n ∈ N*)，求數(shù)列 {an} 的通項(xiàng)公式。
解：構(gòu)造新數(shù)列 {an+p}，其中 p 為常數(shù)，使之成為公比是 an的系數(shù) 2 的等比數(shù)列，即 an+1+p =2(an+p) 整理得：an+1=2an+p， an+1= 2an+1 ∴ p=1 即 {an+1} 是首項(xiàng)為 a1+1=2，q=2 的等比數(shù)列∴ an+1=2·2n-1
∴an=2n-1。
原數(shù)列 {an} 既不等差，也不等比。若把 {an} 中每一項(xiàng)添上一個(gè)數(shù)或一個(gè)式子構(gòu)成新數(shù)列，使之等比，從而求出 an。該法適用于遞推式形如 an+1=ban+c 或 an+1= ban+f(n)an+1= 或an+1=ban+cn其中 b、c 為不相等的常數(shù)，f(n) 為一次式。
總之，數(shù)列是初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過(guò)度的橋梁，而求數(shù)列的通項(xiàng)公式又是學(xué)好數(shù)列知識(shí)的關(guān)鍵，它具有很強(qiáng)的技巧性。但是由于同學(xué)們?cè)趧倓偨佑|數(shù)列知識(shí)時(shí)，對(duì)求數(shù)列的通項(xiàng)公式?jīng)]有系統(tǒng)的方法，常常感覺(jué)無(wú)從下手，需要教師和學(xué)生共同努力，共同思考，不斷的完善求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法和技巧，開(kāi)拓思維，創(chuàng)新學(xué)習(xí)，逐步樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并能融會(huì)貫通的運(yùn)用到其他的知識(shí)學(xué)習(xí)中去。
參考文獻(xiàn)：
[1]Cheng Baojuan .Fractional recursive progression item formula of the solution of [J].Education Forum，2012，(31)
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