用量子力學計算氫原子

時間：2022-10-01 01:44:52 物理學畢業(yè)論文我要投稿

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用量子力學計算氫原子

　　下面是小編整理的用量子力學計算氫原子的論文，歡迎各位物理學畢業(yè)的同學借鑒哦!

　　摘要：氫原子是最簡單的原子，在量子力學建立過程中有著特殊地位，有必要對其進行詳細的求解。該論文用量子力學理論，通過求解氫原子在庫倫勢場中的定態(tài)薛定諤方程，得到氫原子的能量及能量本征函數(shù)。

　　關(guān)鍵詞：量子力學氫原子能量本征函數(shù)

　　從17世紀牛頓力學出現(xiàn)以后，直到19世紀，電動力學，熱力學和統(tǒng)計力學也陸續(xù)被建立，從而形成了一個完整的經(jīng)典物理學體系。可是，在解決黑體輻射、光電效應等實驗時，經(jīng)典物理學遇到了空前的挑戰(zhàn)，需建立全新的理論來解決面臨的困難。1900年，普朗克假說在黑體輻射上有新的突破，1905年，愛因斯坦用量子化解釋了光電效應，1913年，玻爾建立“玻爾理論”。但玻爾理論具有一定的局限性，十年之后，量子力學體系逐步建立起來，才完全解釋了原子問題。而氫原子是最簡單的原子。因此，有必要用量子力學的方法對其進行嚴格的求解。

　　1 理論計算

　　氫原子是最簡單的原子，它是由一個電荷為的原子核與一個電荷為的電子構(gòu)成的。如果取無窮遠為勢能的零點，則質(zhì)子與電子的庫侖勢能為V(r)=。則根據(jù)定態(tài)薛定諤方程可求出氫原子的能量及能量本征函。在以下的計算中，采用自然單位。為方便，給出氫原子的自然單位：長度的自然單位：，能量的自然單位：。氫原子的約化質(zhì)量為，質(zhì)子與電子的庫侖勢能為V(r)=。考慮到V(r)的球?qū)ΨQ性，我們采用球極坐標系。而因為[]=0，所以角動量是守恒的，在球極坐標系下，薛定諤方程可表示為：

　　[]=E (1)

　　由于的各分量是守恒的，而各分量不對易，則根據(jù)簡并定理可知能級有簡并。是守恒量，且與的每一個分量都對易，因此體系的守恒量完全集可以方便的選為()，方程(1)的解同時選為的本征態(tài)，即：

　　…… (2)

　　代入式(1)，可得出徑向波函數(shù)滿足方程：

　　=0 (3)

　　和滿足方程：而為的本征值，待定。

　　對于式(3)，若令，則在自然單位下滿足：

　　(4)

　　r=0，是微分方程的兩個奇點。

　　當時，按照波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，在任何體積元中找到粒子的概率都應為有限值。因此，求解徑向方程(3)時，只有漸進行為是∝的解才是物理上可接受的解。

　　當r時，我們只限于討論束縛態(tài)(E﹤0)，則方程(4)可化為：

　　(5)

　　該方程屬合流超幾何方程。方程(5)在鄰域有界的解為合流超幾何函數(shù)：(6)

　　當時，無窮級數(shù)解～不滿足在無窮遠處的束縛態(tài)邊條件。為了得到物理上允許的解，只要等于0或負整數(shù)，可以滿足這一條件。按式(6)并將其添上能量的自然單位，得出氫原子的能量本征值：(…)，其中：。與相應的徑向波函數(shù)可表示為：～其中(添上長度的自然單位)，歸一化的徑向函數(shù)為：，

　　(7)

　　對于式(4)，在球坐標系下，可表示成：

　　(8)

　　將式(7)，(8)代入方程(4)，并成為勒讓德方程得：

　　(9)

　　在-1≤≤1的區(qū)域內(nèi)，有兩個正則奇點，其余各點均為常數(shù)。由此可知，只當(…)時，方程就有一個多項式解，即勒讓德多項式：(≤m≤)，它在-1≤≤1區(qū)域中是有界的，利用正交歸一性公式，可以定義一個歸一化的部分的波函數(shù)(實)：()。滿足。這樣，(10)

　　由此可得，氫原子的束縛能量本征函數(shù)為：其中為式(8)，為式(11)。

　　2 結(jié)語

　　本文運用量子理論，求解了氫原子在庫倫勢場中的定態(tài)薛定諤方程，得到了氫原子的能量及能量本征函數(shù)：

　　(1)氫原子的能量為：，其中：…(主量子數(shù));(2)能量本征函數(shù)為，其中：，。

　　參考文獻

　　[1] 曾謹言.量子力學導論[M].北京：北京大學出版社，1998.