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用量子力學計算氫原子
下面是小編整理的用量子力學計算氫原子的論文,歡迎各位物理學畢業(yè)的同學借鑒哦!
摘 要:氫原子是最簡單的原子,在量子力學建立過程中有著特殊地位,有必要對其進行詳細的求解。該論文用量子力學理論,通過求解氫原子在庫倫勢場中的定態(tài)薛定諤方程,得到氫原子的能量及能量本征函數(shù)。
關(guān)鍵詞:量子力學 氫原子 能量 本征函數(shù)
從17世紀牛頓力學出現(xiàn)以后,直到19世紀,電動力學,熱力學和統(tǒng)計力學也陸續(xù)被建立,從而形成了一個完整的經(jīng)典物理學體系。可是,在解決黑體輻射、光電效應等實驗時,經(jīng)典物理學遇到了空前的挑戰(zhàn),需建立全新的理論來解決面臨的困難。1900年,普朗克假說在黑體輻射上有新的突破,1905年,愛因斯坦用量子化解釋了光電效應,1913年,玻爾建立“玻爾理論”。但玻爾理論具有一定的局限性,十年之后,量子力學體系逐步建立起來,才完全解釋了原子問題。而氫原子是最簡單的原子。因此,有必要用量子力學的方法對其進行嚴格的求解。
1 理論計算
氫原子是最簡單的原子,它是由一個電荷為的原子核與一個電荷為的電子構(gòu)成的。如果取無窮遠為勢能的零點,則質(zhì)子與電子的庫侖勢能為V(r)=。則根據(jù)定態(tài)薛定諤方程可求出氫原子的能量及能量本征函。在以下的計算中,采用自然單位。為方便,給出氫原子的自然單位:長度的自然單位:,能量的自然單位:。氫原子的約化質(zhì)量為,質(zhì)子與電子的庫侖勢能為V(r)=。考慮到V(r)的球?qū)ΨQ性,我們采用球極坐標系。而因為[]=0,所以角動量是守恒的,在球極坐標系下,薛定諤方程可表示為:
[]=E (1)
由于的各分量是守恒的,而各分量不對易,則根據(jù)簡并定理可知能級有簡并。是守恒量,且與的每一個分量都對易,因此體系的守恒量完全集可以方便的選為(),方程(1)的解同時選為的本征態(tài),即:
…… (2)
代入式(1),可得出徑向波函數(shù)滿足方程:
=0 (3)
和滿足方程:而為的本征值,待定。
對于式(3),若令,則在自然單位下滿足:
(4)
r=0,是微分方程的兩個奇點。
當時,按照波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,在任何體積元中找到粒子的概率都應為有限值。因此,求解徑向方程(3)時,只有漸進行為是∝的解才是物理上可接受的解。
當r時,我們只限于討論束縛態(tài)(E﹤0),則方程(4)可化為:
(5)
該方程屬合流超幾何方程。方程(5)在鄰域有界的解為合流超幾何函數(shù):(6)
當時,無窮級數(shù)解~不滿足在無窮遠處的束縛態(tài)邊條件。為了得到物理上允許的解,只要等于0或負整數(shù),可以滿足這一條件。按式(6)并將其添上能量的自然單位,得出氫原子的能量本征值:(…),其中:。與相應的徑向波函數(shù)可表示為:~其中(添上長度的自然單位),歸一化的徑向函數(shù)為:,
(7)
對于式(4),在球坐標系下,可表示成:
(8)
將式(7),(8)代入方程(4),并成為勒讓德方程得:
(9)
在-1≤≤1的區(qū)域內(nèi),有兩個正則奇點,其余各點均為常數(shù)。由此可知,只當(…)時,方程就有一個多項式解,即勒讓德多項式:(≤m≤),它在-1≤≤1區(qū)域中是有界的,利用正交歸一性公式,可以定義一個歸一化的部分的波函數(shù)(實):()。滿足。這樣,(10)
由此可得,氫原子的束縛能量本征函數(shù)為:其中為式(8),為式(11)。
2 結(jié)語
本文運用量子理論,求解了氫原子在庫倫勢場中的定態(tài)薛定諤方程,得到了氫原子的能量及能量本征函數(shù):
(1)氫原子的能量為:,其中:…(主量子數(shù));(2)能量本征函數(shù)為,其中:,。
參考文獻
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