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矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型在量子力學(xué)的應(yīng)用
量子通信技術(shù)【1】
摘要：矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型是矩陣論中的一種重要形式。
不僅可以解決很多線性代數(shù)中的問題，也可以解決物理中的一些問題。
本文以矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型為研究對象，通過舉例的方式，探討了矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型在量子力學(xué)中的應(yīng)用。
關(guān)鍵詞：矩陣;等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型;量子力學(xué);應(yīng)用
一、引言
矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型是矩陣論中的一種既特殊又重要的形式，它可以解決代數(shù)中的許多問題，例如利用矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型來研究矩陣的一些性質(zhì)，廣義逆矩陣等等。
本文是把量子力學(xué)和代數(shù)中的矩陣聯(lián)系起來，把矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型應(yīng)用在物理學(xué)的量子力學(xué)中。
矩陣A和B是等價(jià)的，如果矩陣B可以由A經(jīng)過一系列初等變換得到，同樣也可以這樣表達(dá)：兩個(gè)n×m矩陣，A，B若存在m階可逆矩陣P，n階可逆矩陣Q，使得PAQ=B，則稱這兩個(gè)矩陣，A，B是等價(jià)的。
矩陣Ir000為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形是這樣定義的：A是一個(gè)m×n矩陣，并且A的秩為r，則A等價(jià)于矩陣Ir000.
二、在物理中關(guān)于量子力學(xué)的應(yīng)用
標(biāo)準(zhǔn)形矩陣在量子力學(xué)中的應(yīng)用，這是物理學(xué)中比較重要的一個(gè)應(yīng)用。
等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形在量子力學(xué)中主要應(yīng)用在線偏振器的表示和密度矩陣的求解中。
在力學(xué)中， 線偏振器是這樣定義的，由入射自然光得到偏振光的器件稱為線偏振器，當(dāng)透振沿X軸的方向時(shí)，瓊斯矩陣可以很容易得到為10
00， 根據(jù)上面的定義，我們可以知道它是等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。
當(dāng)入射光E連續(xù)通過兩個(gè)或兩個(gè)以上偏振器時(shí)，輸出光是它們的疊加，輸出的光可表示為E=MnMn-1…M1E.M1，M2…Mn 為依次通過的各偏振器的瓊斯矩陣，那么很容易看出偏正態(tài)變?yōu)楹唵蔚木仃囘\(yùn)算，又回歸到數(shù)學(xué)的運(yùn)算之中了。
例1設(shè)有一條偏線振光滿足振幅為A，并且振動方向是X軸，先通過一透振方向與X軸方向的偏振片，再通過一塊沿軸X方向45度方向放置的方解石λ4片，求出光偏正態(tài)和強(qiáng)度。
對于上式進(jìn)行分析，不難得出輸出光的x，y分量偏振幅均為A2，這兩個(gè)振動相位差為π2，很容易看出，出射光和左旋圓偏正光的形式是一樣的，那么它就為左旋圓偏正光，I=(A2)為出射光的強(qiáng)度，入射光線的強(qiáng)度為π2.
例2 量子態(tài)|φ>相應(yīng)的密度矩陣的矩陣元Pn′n出現(xiàn)(不為0時(shí))，量子態(tài)|φ>必含有|n>和|n′>態(tài)，Pn′n的值與|n>和|n′>態(tài)在態(tài)|φ>中出現(xiàn)的幾率和相位都有關(guān)，如|φ>就是F的某一個(gè)本征態(tài)|k>，則Pn′n=|n|k>|k|n′>δnkδn′k=δnn′δn′k.它是一個(gè)對角矩陣，而且對角元中只有一個(gè)元素ρkk′不為0，且ρkk′=1，求電子自旋σx=±1的本征態(tài)在pauli表象(σZ表象)中的密度矩陣，進(jìn)而求它在σx表象中的密度矩陣。
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量子力學(xué)的發(fā)展及應(yīng)用【2】
摘 要：量子力學(xué)是對經(jīng)典物理學(xué)在微觀領(lǐng)域的一次革命。
它有很多基本特征，如不確定性、波粒二象性等，在原子和亞原子的微觀尺度上將變的極為顯著。
愛因斯坦、海森堡、波爾、薛定諤、狄拉克等人對其理論發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。
量子力學(xué)是現(xiàn)代物理學(xué)基礎(chǔ)之一，在低速、微觀的現(xiàn)象范圍內(nèi)具有普遍適用的意義。
論述了量子力學(xué)的發(fā)展以及與量子力學(xué)相關(guān)的物理概念，討論了量子力學(xué)研究的主要內(nèi)容。
關(guān)鍵詞：量子力學(xué) 量子力學(xué)發(fā)展 質(zhì)子和粒子
前言：量子力學(xué)是對牛頓物理學(xué)的根本否定。
l9世紀(jì)末正當(dāng)人們?yōu)榻?jīng)典物理取得重大成就歡呼的時(shí)候，一系列經(jīng)典理論無法解釋的現(xiàn)象一個(gè)接一個(gè)地發(fā)現(xiàn)了。
在經(jīng)典力學(xué)時(shí)期，物理學(xué)所探討的主要是那些描述用比較直接的試驗(yàn)研究就可以接觸到的物理現(xiàn)象的定律和理論。
在宏觀和慢速的世界中，牛頓定律和麥克斯韋電磁理論是很好的自然定律。
而對于發(fā)生在原子和粒子這樣小的物體中的物理現(xiàn)象，經(jīng)典物理學(xué)就顯得無能為力，很多現(xiàn)象沒法解釋。
1.量子力學(xué)的起源
量子論起源于經(jīng)典物理學(xué)體系中出現(xiàn)的反常的經(jīng)驗(yàn)問題，以及相伴隨的概念問題。
量子力學(xué)的發(fā)展主要?dú)w功于四位物理學(xué)家。
德國的海森伯于1926年作出了量子力學(xué)理論的第一種表述。
利用矩陣力學(xué)的理論，求得描述原子內(nèi)部電子行為的一些可觀察量的正確數(shù)值。
接著，奧地利的薛定諤發(fā)表了波動力學(xué)，是量子力學(xué)的另一種數(shù)學(xué)表述。
同年，德國的伯恩對上述兩種數(shù)學(xué)表述作出可以接受的物理解釋，并首先使用“量子力學(xué)”這個(gè)名詞。
1928年，英國的狄拉克又把上面的理論加以推廣，并與狹義相對論結(jié)合起來。
量子力學(xué)是對牛頓物理學(xué)的根本否定。
牛頓認(rèn)為物質(zhì)是由粒子組成的，粒子是一個(gè)實(shí)體，量子力學(xué)認(rèn)為粒子是波，波是無邊無際的。
牛頓認(rèn)為宇宙是一部機(jī)器，可以把研究對象分成幾部分，然后對每一部分進(jìn)行研究。
量子力學(xué)認(rèn)為自然界是深深地連通著的，一定不能把微觀體系看成是由可以分開的部分組成的。
因?yàn)閮蓚�(gè)粒子從實(shí)體看可以分開，從波的角度他們是糾纏在一起的。
牛頓認(rèn)為宇宙是可以預(yù)言的，而量子力學(xué)認(rèn)為，自然界在微觀層次上是由隨機(jī)性和機(jī)遇支配的。
牛頓認(rèn)為自然界的變化是連續(xù)的，量子力學(xué)認(rèn)為自然界的變化是以不連續(xù)的方式發(fā)生的。
2.量子力學(xué)的形成
2.1 量子假說的提出
1900年l2月14日，德國物理學(xué)家普朗克在柏林德國物理學(xué)會一次會議上提出了黑體輻射定律的推導(dǎo)，這一天被認(rèn)為是量子力學(xué)理論的誕辰日。
在推導(dǎo)輻射強(qiáng)度作為波長和絕對溫度函數(shù)的理論表達(dá)式時(shí)，普朗克假設(shè)構(gòu)成腔壁的原子的行經(jīng)像極小電磁振子，各振子均有一個(gè)振蕩的特征頻率。
振子發(fā)射電磁能量于空腔中，并自空腔中吸收電磁能量，因此可以由在輻射平衡狀態(tài)的振子的特性而推出空腔輻射的特性。
而關(guān)于原子的振子，普朗克作了兩項(xiàng)
根本的假設(shè)，現(xiàn)簡述如下：
① 振子不能為“任何能量”，只能為：
(1)
式中：為振子頻率，為常數(shù)(現(xiàn)稱為普朗克常數(shù))，只能為整數(shù)(現(xiàn)稱為量子數(shù))，(1)式斷言振子的能量只能是一份一份的，而不能是連續(xù)的，即振子能量是量子化的。
②振子并不連續(xù)放射能量，僅能以“跳躍”方式放射，或稱“量子式”放射。
當(dāng)振子自一量狀態(tài)改變至另一態(tài)時(shí)，即放出能量量子。
因此，當(dāng)改變一個(gè)單位時(shí)，放射之能量為：
只要振子仍在同一量子狀態(tài)，則既不放射能量也不吸收能量。
2.2 愛因斯坦利用量子假說揭開光電效應(yīng)之謎
愛因斯坦根據(jù)普朗克的量子假設(shè)推理認(rèn)為：如果一個(gè)振動電荷的能量是量子化的，那么它的能量變化只能是從一個(gè)允許的能量瞬時(shí)地躍遷到另一個(gè)允許的能量，因?yàn)楦静辉试S它具有任何中間的能量值。
而能量守恒就意味著，發(fā)射出的輻射必須是以一股瞬時(shí)的輻射進(jìn)發(fā)的形式從振動電荷產(chǎn)生出來，而不是電磁波理論所預(yù)言的長時(shí)間的連續(xù)波。
愛因斯坦得出結(jié)論：輻射永遠(yuǎn)以一個(gè)個(gè)小包、小粒子的形式出現(xiàn)，但不是象質(zhì)子、電子那樣的實(shí)物粒子。
這些新粒子是輻射構(gòu)成的;它們是可見光粒子、紅外光粒子、 射線粒子等等。
這些輻射粒子叫做光子。
光子和實(shí)物粒子不同：它們永遠(yuǎn)以光速運(yùn)動;它們的靜止質(zhì)量為零;振動的帶電粒子產(chǎn)生光子。
3.量子力學(xué)的宇宙觀
在原子的量子理論的探討中，從對氫原子的研究中發(fā)現(xiàn)，氫原子有無數(shù)個(gè)量子態(tài)。
而電子多于一個(gè)的原子有更復(fù)雜的量子態(tài)，這些量子態(tài)都從求解適合于該特定原子的薛定諤方程，并且要求其場剛好環(huán)繞原子核產(chǎn)生駐波而求得。
由于這些量子態(tài)的每一個(gè)都是有特定頻率的駐波，并且波的頻率和它的能量相聯(lián)系，預(yù)期每個(gè)量子態(tài)只有一個(gè)特殊的能量。
這就是說，預(yù)期任何一個(gè)態(tài)的能量不會有任何量子不確定性。
可以對每個(gè)態(tài)的能量大小作合理的猜測。
由于質(zhì)子作用于電子的力是吸引力，要把一個(gè)電子向外拖到離原子核更遠(yuǎn)的地方就必須做功。
因此電子離原子核越遠(yuǎn)，電子的電磁能量就越高。
量子理論的中心思想是，一切東西都由不可預(yù)言的粒子構(gòu)成，但這些粒子的統(tǒng)計(jì)行為遵循一種可以預(yù)言的波動圖樣。
1927年，德國物理學(xué)家海森伯發(fā)現(xiàn)，這種波粒二象性意味著，微觀世界具有一種內(nèi)稟的，可以量化的不確定性。
量子理論的最大特點(diǎn)也許是它的不確定性。
量子不確定的實(shí)質(zhì)是，完全相同的物理情況將導(dǎo)致不同的結(jié)果。
哥本哈根學(xué)派解釋的結(jié)論是，微觀事件真的是不可預(yù)言的。
而且，當(dāng)我們說一個(gè)微觀粒子的位置是不確定的時(shí)候，意思并不僅僅是我們?nèi)狈τ嘘P(guān)其位置的知識。
相反，意思是這個(gè)粒子的確沒有確定的位置
結(jié)語：量子力學(xué)在低速、微觀的現(xiàn)象范圍內(nèi)具有普遍適用的意義。
它是現(xiàn)代物理學(xué)基礎(chǔ)之一，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中的表面物理、半導(dǎo)體物理、凝聚態(tài)物理、粒子物理、低溫超導(dǎo)物理、量子化學(xué)以及分子生物學(xué)等學(xué)科的發(fā)展中，都有重要的理論意義。
量子力學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展標(biāo)志著人類認(rèn)識自然實(shí)現(xiàn)了從宏觀世界向微觀世界的重大飛躍。
參考文獻(xiàn)
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變分法在量子力學(xué)中的應(yīng)用研究【3】
摘 要 在處理物理問題及量子力學(xué)問題時(shí)，通常會應(yīng)用到變分法。
變分法與處理數(shù)的函數(shù)普通微積分保持著相對立關(guān)系，屬于處理函數(shù)的一種方式。
歐拉-拉格朗日方程式是變分法最為重要的定理。
通過變分法，可以實(shí)現(xiàn)泛函臨界點(diǎn)對應(yīng)。
變分法的出現(xiàn)推動了理論物理的進(jìn)一步發(fā)展，在量子力學(xué)及相應(yīng)最小作用量原理中發(fā)揮著十分重要的作用。
在概述變分法的基礎(chǔ)上，對變分法在量子力學(xué)物理領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行研究與分析。
實(shí)踐證明，在處理量子力學(xué)問題中，變分法發(fā)揮著重要作用。
關(guān)鍵詞 變分法;量子力學(xué);最優(yōu)控制
20世紀(jì)二三十年代，奧地利物理學(xué)家薛定諤提出一種可以進(jìn)行微觀粒子體系運(yùn)動行為的一波方程，被人稱之為薛定諤方程。
通過進(jìn)行薛定諤方程求解，可以獲得體系波函數(shù)，應(yīng)用體系波函數(shù)，可以確定體系性質(zhì)，此后有學(xué)者對相對論效應(yīng)狄拉克方程的確定進(jìn)行了研究。
這些研究成果的出現(xiàn)，讓人們認(rèn)為量子力學(xué)其普遍理論似乎已經(jīng)基本完成，人類已經(jīng)基本知曉了絕大部分物理學(xué)及物理定律。
解決問題困難及關(guān)鍵僅在于如何將這些定律進(jìn)行現(xiàn)實(shí)應(yīng)用。
狄拉克認(rèn)為，隨著體系的不斷增加，薛定諤方程或狄拉克方程幾乎是不可解的。
針對這種現(xiàn)象，求解其方程的近似方法不斷被研究。
在物理量子學(xué)領(lǐng)域，進(jìn)行薛定諤法方程求解，其主要方法包括微擾法及變分法。
束縛定態(tài)是建立于不含時(shí)間的薛定諤方程，即在能量變分原理的等價(jià)性基礎(chǔ)上，能量本征值方程解是通過對能量極值的求解來完成的。
在進(jìn)行具體問題處理的過程中，通過波函數(shù)中一些特殊變化將最普遍任意變分進(jìn)行替代，通過這種方法可以獲得依賴于波函數(shù)特殊形式的一種近似解，這種解決問題的方法被稱之變分法。
變分法用在解決如量子力學(xué)等物理問題領(lǐng)域。
變分法的應(yīng)用，其優(yōu)勢在于運(yùn)用變分法進(jìn)行方程求解并不會受到限制，在保證變分函數(shù)良好的基礎(chǔ)上，即可實(shí)現(xiàn)對體系基態(tài)性質(zhì)的研究。
1 變分法概述
變分法與處理數(shù)函數(shù)普通微積分表現(xiàn)出相對立關(guān)系。
泛函是通過位置函數(shù)導(dǎo)數(shù)及相應(yīng)位置函數(shù)積分來實(shí)現(xiàn)相應(yīng)構(gòu)造。
變分法應(yīng)用的最終目的在于找出更好的極值函數(shù)，通過變分法，獲得泛函最大值或最小值。
歐拉-拉格朗日方程式屬于變分法最重要定理。
通過變分法，可以獲得相應(yīng)泛函臨界點(diǎn)，在處理量子力學(xué)及其他物理問題時(shí)應(yīng)用優(yōu)勢十分明顯。
在解決量子力學(xué)問題時(shí)，解決微擾問題最為廣泛的方法是應(yīng)用微擾法及變分法。
如應(yīng)用微擾法進(jìn)行量子力學(xué)問題的解決，其條件則為體系的哈密頓算符。
可以分為及兩個(gè)部分，則有：
= +
在微擾法中，本征函數(shù)及本征值屬于已知，則很小，如在解決問題時(shí)其滿足微擾法求解問題的基本條件，則可以實(shí)現(xiàn)量子問題求解。
然而在實(shí)際應(yīng)用中，進(jìn)行全體必要的矩陣元求和計(jì)算是十分困難的，其解決問題存在著一定的局限性。
應(yīng)用變分法則不會受到條件限制。
如將體系哈密頓算符本征值由小到大進(jìn)行排列，其順序如下：
E0，E1，E2，…En，… (1)
計(jì)算這些本征值對應(yīng)本征函數(shù)，則有：
Ψ0，Ψ1，Ψ2，…，Ψn，… (2)
在公式中，E0代表的是基態(tài)能量，Ψ0代表的是基態(tài)波函數(shù)。
為便于研究，假設(shè)與本征值En是保持對立的，本征函數(shù)Ψn組成正交歸一系，則有：
Ψn=En+Ψn (3)
在公式中，設(shè)Ψ屬于任意歸一化波函數(shù)，將公式展開后獲得：
(4)
在進(jìn)行Ψ狀態(tài)描述時(shí)，其體系能量平均值則為：
(5)
通過公式整理，則可以獲得：
(6)
因E0代表的是基態(tài)能量，為此，則有E0
(7)
=E0屬于Ψ歸一條件，則有：
(8)
公式(8)不等式說明，在進(jìn)行任意波函數(shù)Ψ求解時(shí)所獲得的平均值總是較之基態(tài)能量較大，在進(jìn)行Ψ平均值求解時(shí)，其中最小平均值與E0最接近。
當(dāng)Ψ作為體系中Ψ0基態(tài)波函數(shù)時(shí)，此時(shí)基態(tài)能量E0則與平均值保持一致。
由此，實(shí)現(xiàn)變分法基態(tài)能量及基態(tài)波函數(shù)體系求解。
2 量子力學(xué)變分原理
如下，為某個(gè)微觀體系薛定諤方程：
(9)
該薛定諤方程為變分問題歐拉微分方程，其變分問題求解則是對其能量積分進(jìn)行求解，則有：
(10)
能量積分極小值為：
(11)
將體系哈密頓量設(shè)為H，則有：
(12)
在滿足歸一化條件的基礎(chǔ)上，進(jìn)行公式整理，則有：
(13)
實(shí)踐證明，經(jīng)過歐拉微積方程整理，可以獲得薛定諤方程，證明微觀體系薛定諤方程是可以讓能量積分獲得極值時(shí)的歐拉微分方程。
以上公式，則為量子力學(xué)中變分原理。
3 變分法在量子力學(xué)中的應(yīng)用案例
在量子物理或經(jīng)典物理中，一維諧振子與很多物理現(xiàn)象存在較大關(guān)系，甚至可以將任何體系在穩(wěn)定平衡點(diǎn)位置所進(jìn)行的運(yùn)動看作一種近似一維諧振子，如核振動、晶體結(jié)構(gòu)離子及中原子振動等。
本文在分析量子力學(xué)變分原理的基礎(chǔ)上，進(jìn)行一維諧振子研究。
將諧振子質(zhì)量設(shè)為m，并沿x軸進(jìn)行直線運(yùn)動，則諧振子所受到勢能為，可以通過以下公式進(jìn)行哈密頓量表示：
(14)
體系試探波函數(shù)為，按照歸一化條件，可以獲得。
則有：
(15)
通過公式調(diào)整，可以獲得以積分公式：
(16)
通過計(jì)算后獲得：
(17)
并獲得體系最低能量值為：
(18)
相應(yīng)函數(shù)簡化后為： (19)
通過檢驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，這種計(jì)算結(jié)果與求解結(jié)果相同，證明所選取的變分函數(shù)良好。
圖1為典型a下線性諧振子波函數(shù)及位置幾率密度分布圖。
波函數(shù)能夠滿足高斯型分布，在x=0位置，存在明顯峰值，隨著a逐漸降低，其峰值降低，且峰寬度逐漸增加。
從圖1中可以看出，波函數(shù)幾率密度分布狀況與波函數(shù)、分布曲線形狀基本保持一致。
應(yīng)用變分法所求解出的波函數(shù)幾率分布存在一定差異。
由此可以看出，應(yīng)用變分法解決量子力學(xué)問題時(shí)，雖然其可以簡單方便地進(jìn)行體系基態(tài)性質(zhì)求解，但其屬于解決問題的近似方法，其近似程度隨著參數(shù)變化發(fā)生變化。
只有保證所選擇的波函數(shù)滿足邊界條件及歸一化條件，參數(shù)越多時(shí)，其結(jié)果越好。
變分法其應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn)在于其求解過程并不受到什么限制，但其結(jié)果好壞完全是由嘗試波函數(shù)選擇來確定。
為此，在應(yīng)用結(jié)構(gòu)變分法解決物理量子力學(xué)問題時(shí)，應(yīng)保證變分法所選擇的嘗試波函數(shù)的合理性及科學(xué)性。
4 結(jié)語
當(dāng)前，微擾法及變分法是處理物理量子力學(xué)問題常見的方法。
微擾法求解存在一定局限性，變分法求解并不受到任何限制，變分法屬于處理函數(shù)的一種方式，與處理數(shù)的函數(shù)的普通微積分保持著相對立關(guān)系。
應(yīng)用變分法，可以實(shí)現(xiàn)泛函臨界點(diǎn)對應(yīng)。
變分法在解決物理問題中發(fā)揮著十分重要的作用，尤其是在量子力學(xué)領(lǐng)域。
本文在概述變分法的基礎(chǔ)上，對量子力學(xué)變分原理進(jìn)行分析，并通過一維諧振子對變分法在量子力學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行分析。
通過實(shí)踐證明，變分法在處理量子力學(xué)問題方面具有較大優(yōu)勢，保證嘗試波函數(shù)選擇合理性，是實(shí)現(xiàn)變分法效果的關(guān)鍵。
參考文獻(xiàn)
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