分析等價無窮小性質(zhì)的理解、延拓及應(yīng)用

時間：2022-10-03 01:19:07 數(shù)學畢業(yè)論文我要投稿

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　　等價無窮小概念是高等數(shù)學中最基本的概念之一，下面小編就帶來分析等價無窮小性質(zhì)的理解、延拓及應(yīng)用的論文，歡迎各位學者閱讀!

　　【摘要】等價無窮小具有很好的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)，無論是在在求極限的運算中，還是在正項級數(shù)的斂散性判斷中，都可取到預想不到的效果，能達到羅比塔法則所不能取代的作用。通過舉例，對比了不同情況下等價無窮小的應(yīng)用以及在應(yīng)用過程中應(yīng)注意的一些性質(zhì)條件，不僅使這些原本復雜的問題簡單化，而且可避免出現(xiàn)錯誤地應(yīng)用等價無窮小。

　　【關(guān)鍵詞】 等價無窮小　極限　羅比塔法則　正項級數(shù) 比較審斂法

　　等價無窮小概念在高等數(shù)學中等價無窮小的性質(zhì)僅僅在“無窮小的比較”中出現(xiàn)過，其他地方似乎都未涉及到。其實，在判斷廣義積分、級數(shù)的斂散性，特別是在求極限的運算過程中，無窮小具有很好的性質(zhì)，掌握并充分利用好它的性質(zhì)，往往會使一些復雜的問題簡單化，可起到事半功倍的效果，反之，則會錯誤百出，有時還很難判斷錯在什么地方。因此，有必要對等價無窮小的性質(zhì)進行深刻地認識和理解，以便恰當運用，達到簡化運算的目的。

　　1 等價無窮小的概念及其重要性質(zhì)[1]

　　無窮小的定義是以極限的形式來定義的，當x→x0時(或x→∞)時，limf(x)=0，則稱函數(shù)f(x)當x→x0時(或x→∞)時為無窮小。

　　當limβα=1，就說β與α是等價無窮小。

　　常見性質(zhì)有：

　　設(shè)α,α′,β,β′,γ 等均為同一自變量變化過程中的無窮小， ① 若α～α′,β～β′，且limα′β′存在，則limαβ=limα′β′② 若α～β，β～γ，則α～γ

　　性質(zhì)①表明等價無窮小量的商的極限求法。性質(zhì)②表明等價無窮小的傳遞性若能運用極限的運算法則，可繼續(xù)拓展出下列結(jié)論：

　�、� 若α～α′,β～β′，且limβα=c(≠-1)，則α+β～α′+β′

　　證明：∵ limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′·βα·β′β

　　=lim1+c1+c=1 ∴ α+β～α′+β′

　　而學生則往往在性質(zhì)(3)的應(yīng)用上忽略了“limβα=c(≠-1)”這個條件，千篇一律認為“α～α′,β～β′，則有α+β～α′+β′

　　④ 若α～α′,β～β′，且limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′存在，則當Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0且 limAα±BβCα±Dβ存在，有l(wèi)imAα±BβCα±Dβ=limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′

　　此性質(zhì)的證明見文獻[2]，性質(zhì)③、④在加減法運算的求極限中就使等價無窮小的代換有了可能性，從而大大地簡化了計算。但要注意條件“limβα=c(≠-1)”，“Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0”的使用。

　　2 等價無窮小的應(yīng)用

　　2.1 在求極限中經(jīng)常用到的等價無窮小有 x～sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ln(1+x)～ex-1, 1-cosx～12x2, n1+x～1+xn,(x→0)

　　例1 limx→0tanx-sinxx3

　　解：原式=limx→0sinx(1-cosx)x3cosx

　　=limx→0x·12x2x3(∵ sinx～x,1-cosx～x22)

　　=12

　　此題也可用羅比塔法則做，但不能用性質(zhì)④做。

　　∵ tanx-sinxx3=x-xx3=0，不滿足性質(zhì)④的條件，否則得出錯誤結(jié)論0。

　　例2 limx→0e2x-31+xx+sinx2

　　解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53

　　用性質(zhì)④直接將等價無窮小代換進去，也可用羅比塔法則做。

　　例3 limx→0(1x2-cot2x)

　　解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x

　　=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4

　　=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵ sinx～x)

　　=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2

　　=limx→012x2·(1+cosx)x2=1

　　解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x

　　=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4

　　=limx→02x(tanx-x)x44

　　(∵ tanx～x)

　　=limx→02(tanx-x)x3=limx→02(sec2x-1)3x2

　　=23limx→0tan2xx2=23 (∵ tanx～x)

　　兩種解法的結(jié)果不同，哪一種正確呢?可以發(fā)現(xiàn)解法1錯了，根源在于錯用sinx-xcosx～x-xcosx (注意limx→0sinx-xcosx=-1), 由性質(zhì)③ sinx-xcosx并不等價于x-xcosx 。從解法2又可以看到盡管羅比塔法則是求極限的一個有力工具，但往往需要幾種方法結(jié)合起來運用，特別是恰當適時地運用等價無窮小的代換，能使運算簡便，很快得出結(jié)果。

　　2.2 在正項級數(shù)的審斂判別法中，用得比較多的是比較審斂法的極限形式，它也是無窮小的一個應(yīng)用。

　　比較審斂法的極限形式：設(shè)∑∞n=1un 和∑∞n=1vn 都是正項級數(shù)， ① 如果limn→∞unvn=l(0≤l<+∞) ，且級數(shù)∑∞n=1vn收斂，則級數(shù)∑∞n=1un收斂。

　�、� 如果limn→∞unvn=l>0 或limn→∞unvn=+∞，且級數(shù)∑∞n=1vn發(fā)散，則級數(shù)∑∞n=1un發(fā)散。當l=1時，∑un，∑vn就是等價無窮小。由比較審斂法的極限形式知，∑un與∑vn同斂散性，只要已知∑un，∑vn中某一個的斂散性,就可以找到另一個的斂散性。

　　例4 判定∑∞n=11n2-lnn 的斂散性

　　解： ∵ limn→∞1n2-lnn1n2=limn→∞n2n2-lnn=1 又∑1n2 收斂 ∴ ∑∞n=11n2-lnn 收斂

　　例5 研究∑∞n=11ln(1+n)的斂散性

　　解： limn→∞1ln(1+n)1n=limn→∞nln(1+n)=1 而∑1n 發(fā)散 ∴ ∑∞n=11ln(1+n) 發(fā)散

　　3 等價無窮小無可比擬的作用

　　以例3看，若直接用羅比塔法則會發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)以下結(jié)果：

　　原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x=limx→02(secx·tanx-x)2xtan2x+2x2tanx·secx

　　=limx→0secx(tan2x-sec2x)-1tan2x+4x·tanx·secx+x2secx(sec2x+tan2x)式子越變越復雜，難于求出最后的結(jié)果。而解法2適時運用性質(zhì)①，將分母x2tan2x替換成x4，又將分子分解因式后進行等價替換，從而很快地求出正確結(jié)果。再看一例：

　　例6[3] limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

　　解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) (用羅比塔法則)

　　=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) (分離非零極限乘積因子)

　　=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) (算出非零極限)

　　=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) (用羅比塔法則)

　　=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

　　=limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

　　出現(xiàn)循環(huán)，此時用羅比塔法則求不出結(jié)果。怎么辦?用等價無窮小代換。

　　∵ x～sinx～tanx(x→0)

　　∴ 原式=limx→0+xx=1而得解。

　　由此可看到羅比塔法則并不是萬能的，也不一定是最佳的，它的使用具有局限性[3]。只要充分地掌握好等價無窮小的4條性質(zhì)就不難求出正確的結(jié)論。

　　【參考文獻】