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變分法在量子力學(xué)的應(yīng)用
變分法在量子力學(xué)的應(yīng)用【1】
摘 要 在處理物理問題及量子力學(xué)問題時，通常會應(yīng)用到變分法。
變分法與處理數(shù)的函數(shù)普通微積分保持著相對立關(guān)系，屬于處理函數(shù)的一種方式。
歐拉-拉格朗日方程式是變分法最為重要的定理。
通過變分法，可以實現(xiàn)泛函臨界點對應(yīng)。
變分法的出現(xiàn)推動了理論物理的進一步發(fā)展，在量子力學(xué)及相應(yīng)最小作用量原理中發(fā)揮著十分重要的作用。
在概述變分法的基礎(chǔ)上，對變分法在量子力學(xué)物理領(lǐng)域的應(yīng)用進行研究與分析。
實踐證明，在處理量子力學(xué)問題中，變分法發(fā)揮著重要作用。
關(guān)鍵詞 變分法;量子力學(xué);最優(yōu)控制
20世紀二三十年代，奧地利物理學(xué)家薛定諤提出一種可以進行微觀粒子體系運動行為的一波方程，被人稱之為薛定諤方程。
通過進行薛定諤方程求解，可以獲得體系波函數(shù)，應(yīng)用體系波函數(shù)，可以確定體系性質(zhì)，此后有學(xué)者對相對論效應(yīng)狄拉克方程的確定進行了研究。
這些研究成果的出現(xiàn)，讓人們認為量子力學(xué)其普遍理論似乎已經(jīng)基本完成，人類已經(jīng)基本知曉了絕大部分物理學(xué)及物理定律。
解決問題困難及關(guān)鍵僅在于如何將這些定律進行現(xiàn)實應(yīng)用。
狄拉克認為，隨著體系的不斷增加，薛定諤方程或狄拉克方程幾乎是不可解的。
針對這種現(xiàn)象，求解其方程的近似方法不斷被研究。
在物理量子學(xué)領(lǐng)域，進行薛定諤法方程求解，其主要方法包括微擾法及變分法。
束縛定態(tài)是建立于不含時間的薛定諤方程，即在能量變分原理的等價性基礎(chǔ)上，能量本征值方程解是通過對能量極值的求解來完成的。
在進行具體問題處理的過程中，通過波函數(shù)中一些特殊變化將最普遍任意變分進行替代，通過這種方法可以獲得依賴于波函數(shù)特殊形式的一種近似解，這種解決問題的方法被稱之變分法。
變分法用在解決如量子力學(xué)等物理問題領(lǐng)域。
變分法的應(yīng)用，其優(yōu)勢在于運用變分法進行方程求解并不會受到限制，在保證變分函數(shù)良好的基礎(chǔ)上，即可實現(xiàn)對體系基態(tài)性質(zhì)的研究。
1 變分法概述
變分法與處理數(shù)函數(shù)普通微積分表現(xiàn)出相對立關(guān)系。
泛函是通過位置函數(shù)導(dǎo)數(shù)及相應(yīng)位置函數(shù)積分來實現(xiàn)相應(yīng)構(gòu)造。
變分法應(yīng)用的最終目的在于找出更好的極值函數(shù)，通過變分法，獲得泛函最大值或最小值。
歐拉-拉格朗日方程式屬于變分法最重要定理。
通過變分法，可以獲得相應(yīng)泛函臨界點，在處理量子力學(xué)及其他物理問題時應(yīng)用優(yōu)勢十分明顯。
在解決量子力學(xué)問題時，解決微擾問題最為廣泛的方法是應(yīng)用微擾法及變分法。
如應(yīng)用微擾法進行量子力學(xué)問題的解決，其條件則為體系的哈密頓算符。
可以分為及兩個部分，則有：
= +
在微擾法中，本征函數(shù)及本征值屬于已知，則很小，如在解決問題時其滿足微擾法求解問題的基本條件，則可以實現(xiàn)量子問題求解。
然而在實際應(yīng)用中，進行全體必要的矩陣元求和計算是十分困難的，其解決問題存在著一定的局限性。
應(yīng)用變分法則不會受到條件限制。
如將體系哈密頓算符本征值由小到大進行排列，其順序如下：
E0，E1，E2，…En，… (1)
計算這些本征值對應(yīng)本征函數(shù)，則有：
Ψ0，Ψ1，Ψ2，…，Ψn，… (2)
在公式中，E0代表的是基態(tài)能量，Ψ0代表的是基態(tài)波函數(shù)。
為便于研究，假設(shè)與本征值En是保持對立的，本征函數(shù)Ψn組成正交歸一系，則有：
Ψn=En+Ψn (3)
在公式中，設(shè)Ψ屬于任意歸一化波函數(shù)，將公式展開后獲得：
(4)
在進行Ψ狀態(tài)描述時，其體系能量平均值則為：
(5)
通過公式整理，則可以獲得：
(6)
因E0代表的是基態(tài)能量，為此，則有E0 (7)
=E0屬于Ψ歸一條件，則有：
(8)
公式(8)不等式說明，在進行任意波函數(shù)Ψ求解時所獲得的平均值總是較之基態(tài)能量較大，在進行Ψ平均值求解時，其中最小平均值與E0最接近。
當Ψ作為體系中Ψ0基態(tài)波函數(shù)時，此時基態(tài)能量E0則與平均值保持一致。
由此，實現(xiàn)變分法基態(tài)能量及基態(tài)波函數(shù)體系求解。
2 量子力學(xué)變分原理
如下，為某個微觀體系薛定諤方程：
(9)
該薛定諤方程為變分問題歐拉微分方程，其變分問題求解則是對其能量積分進行求解，則有：
(10)
能量積分極小值為：
(11)
將體系哈密頓量設(shè)為H，則有：
(12)
在滿足歸一化條件的基礎(chǔ)上，進行公式整理，則有：
(13)
實踐證明，經(jīng)過歐拉微積方程整理，可以獲得薛定諤方程，證明微觀體系薛定諤方程是可以讓能量積分獲得極值時的歐拉微分方程。
以上公式，則為量子力學(xué)中變分原理。
3 變分法在量子力學(xué)中的應(yīng)用案例
在量子物理或經(jīng)典物理中，一維諧振子與很多物理現(xiàn)象存在較大關(guān)系，甚至可以將任何體系在穩(wěn)定平衡點位置所進行的運動看作一種近似一維諧振子，如核振動、晶體結(jié)構(gòu)離子及中原子振動等。
本文在分析量子力學(xué)變分原理的基礎(chǔ)上，進行一維諧振子研究。
將諧振子質(zhì)量設(shè)為m，并沿x軸進行直線運動，則諧振子所受到勢能為，可以通過以下公式進行哈密頓量表示：
(14)
體系試探波函數(shù)為，按照歸一化條件，可以獲得。
則有：
(15)
通過公式調(diào)整，可以獲得以積分公式：
(16)
通過計算后獲得：
(17)
并獲得體系最低能量值為：
(18)
相應(yīng)函數(shù)簡化后為： (19)
通過檢驗后發(fā)現(xiàn)，這種計算結(jié)果與求解結(jié)果相同，證明所選取的變分函數(shù)良好。
圖1為典型a下線性諧振子波函數(shù)及位置幾率密度分布圖。
波函數(shù)能夠滿足高斯型分布，在x=0位置，存在明顯峰值，隨著a逐漸降低，其峰值降低，且峰寬度逐漸增加。
從圖1中可以看出，波函數(shù)幾率密度分布狀況與波函數(shù)、分布曲線形狀基本保持一致。
應(yīng)用變分法所求解出的波函數(shù)幾率分布存在一定差異。
由此可以看出，應(yīng)用變分法解決量子力學(xué)問題時，雖然其可以簡單方便地進行體系基態(tài)性質(zhì)求解，但其屬于解決問題的近似方法，其近似程度隨著參數(shù)變化發(fā)生變化。
只有保證所選擇的波函數(shù)滿足邊界條件及歸一化條件，參數(shù)越多時，其結(jié)果越好。
變分法其應(yīng)用的優(yōu)點在于其求解過程并不受到什么限制，但其結(jié)果好壞完全是由嘗試波函數(shù)選擇來確定。
為此，在應(yīng)用結(jié)構(gòu)變分法解決物理量子力學(xué)問題時，應(yīng)保證變分法所選擇的嘗試波函數(shù)的合理性及科學(xué)性。
4 結(jié)語
當前，微擾法及變分法是處理物理量子力學(xué)問題常見的方法。
微擾法求解存在一定局限性，變分法求解并不受到任何限制，變分法屬于處理函數(shù)的一種方式，與處理數(shù)的函數(shù)的普通微積分保持著相對立關(guān)系。
應(yīng)用變分法，可以實現(xiàn)泛函臨界點對應(yīng)。
變分法在解決物理問題中發(fā)揮著十分重要的作用，尤其是在量子力學(xué)領(lǐng)域。
本文在概述變分法的基礎(chǔ)上，對量子力學(xué)變分原理進行分析，并通過一維諧振子對變分法在量子力學(xué)中的應(yīng)用進行分析。
通過實踐證明，變分法在處理量子力學(xué)問題方面具有較大優(yōu)勢，保證嘗試波函數(shù)選擇合理性，是實現(xiàn)變分法效果的關(guān)鍵。
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量子力學(xué)的新應(yīng)用【2】
摘 要:首先分析了量子力學(xué)對計算機技術(shù)發(fā)展的影響,再詳細說明了將量子力學(xué)應(yīng)用在計算機技術(shù)中可使量子計算機具有優(yōu)越的性質(zhì),最后介紹了未來量子計算機發(fā)展的趨勢。
關(guān)鍵詞:量子力學(xué) 量子計算機
1量子力學(xué)對計算機技術(shù)發(fā)展的影響
自1646年第一臺電子計算機問世以來,其芯片發(fā)展速度日益加快。
按照芯片的摩爾定律 ,其集成度在不久的將來有望達到原子分子量級。
在享受計算機飛速發(fā)展帶來的種種便利的同時,我們也不得不面臨一個瓶頸問題,即根據(jù)量子力學(xué)理論,在芯片發(fā)展到微觀集成的時候,量子效應(yīng)會影響甚至完全破壞芯片功能。
因此,量子力學(xué)對計算機技術(shù)發(fā)展具有決定性作用。
1.1量子力學(xué)簡介
量子力學(xué)是近代自然科學(xué)的最重要的成就之一. 在量子力學(xué)的世界里,一個量子微觀體系的狀態(tài)是由一個波函數(shù)來描述的,而非由粒子的位置和動量描述,這就是它與經(jīng)典力學(xué)最根本的區(qū)別。
1.2量子力學(xué)與量子計算機
量子力學(xué)的海森堡測不準原理決定了粒子的位置和動量是不能同時確定的()。
當計算機芯片的密度很大時(即很小)將導(dǎo)致很大,電子不再被束縛,產(chǎn)生量子干涉效應(yīng),而這種干涉效應(yīng)會完全破壞芯片的功能。
為了克服量子力學(xué)對計算機發(fā)展的限制,計算機的發(fā)展方向必然和量子力學(xué)相結(jié)合,這樣不僅可以越過量子力學(xué)的障礙,而且可以開辟新的方向。
量子計算機就是以量子力學(xué)原理直接進行計算的計算機.保羅•貝尼奧夫在1981年第一次提出了制造量子計算機的理論。
量子計算機的存儲和讀寫頭都以量子態(tài)存在的,這意味著存儲符號可以是0、1以及它們的疊加。
2量子計算機的優(yōu)點
近年來的種種試驗表明,量子計算機的計算和分析能力都超越了經(jīng)典計算機。
它具有如此優(yōu)越的性質(zhì)正在于它的存儲讀取方式量子化。
對量子計算機的原理分析可知,以下兩個個特性是令量子計算機優(yōu)越性的根源所在。
2.1存儲量大、速度高
經(jīng)典計算機由0或1的二進制數(shù)據(jù)位存儲數(shù)據(jù),而量子計算機可以用自旋或者二能級態(tài)構(gòu)造量子計算機中的數(shù)據(jù)位,即量子位。
不同于經(jīng)典計算機的在0與1之間必取其一,量子位可以是0 或者1,也可以是0和l的迭加態(tài)。
因此,量子計算機的n個量子位可以同時存儲2n個數(shù)據(jù),遠高于經(jīng)典計算機的單個存儲能力; 另一方面量子計算機可以同時進行多個讀取和計算,遠優(yōu)于經(jīng)典計算機的單次計算能力。
量子計算機的存儲讀取特性使其具有存儲量大、讀取計算速度高的優(yōu)點。
2.2可以實現(xiàn)量子平行態(tài)
由量子力學(xué)原理可知,如果體系的波函數(shù)不能是構(gòu)成該體系的粒子的波函數(shù)的乘積,則該體系的狀態(tài)就處在一個糾纏態(tài),即體系的粒子的狀態(tài)是相互糾纏在一起的。
而量子糾纏態(tài)之間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)不受任何局域性假設(shè)限制,這使兩個處在糾纏態(tài)的粒子而言,不管它們離開有多么遙遠,對其中一個粒子進行作用,必然會同時影響到另外一個粒子.正是由于量子糾纏態(tài)之間的神奇的關(guān)聯(lián)效應(yīng), 使得量子計算機可以利用糾纏機制,實現(xiàn)量子平行算法,從而可以大大減少操作次數(shù)。
3量子計算機發(fā)展現(xiàn)狀和未來趨勢
3.1量子計算機實現(xiàn)的技術(shù)障礙
到目前為止,世界上還沒有真正意義上的量子計算機,它的實現(xiàn)還有許多技術(shù)上的問題。
量子計算機的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在量子迭加態(tài)的關(guān)聯(lián)效應(yīng). 然而,環(huán)境對迭加態(tài)的影響以及迭加態(tài)之間的相互作用會使這種關(guān)聯(lián)效應(yīng)減弱甚至喪失,即量子力學(xué)去相干效應(yīng).因此應(yīng)盡量減少環(huán)境對量子態(tài)的作用。
同時,萬一由于相干效應(yīng)引入了錯誤信息,必需能及時改正,這需要進一步的研究和實驗。
另一方面,量子態(tài)不能復(fù)制,使得不能把經(jīng)典計算機中很完善的糾錯方法直接移植到量子計算機中來.由于量子計算機在計算過程中不能對量子態(tài)測量, 因為這種測量會改變量子態(tài), 而且這種改變是不可恢復(fù)的,因此在糾錯方面存在很多問題。
3.2量子計算機的現(xiàn)狀
由于上述兩種原因,現(xiàn)在還無法確定未來的量子計算機究竟是什么樣的, 目前科學(xué)家門提出了幾種方案.
第一種方案是核磁共振計算機. 其原理是用自旋向上或向下表示量子位的0 和1 兩種狀態(tài),重點在于實現(xiàn)自旋狀態(tài)的控制非操作,優(yōu)點在于盡可能保證了量子態(tài)和環(huán)境的較好隔離。
第二種方案是離子阱計算機. 其原理是將一系列自旋為1/2 的冷離子被禁錮在線性量子勢阱里, 組成一個相對穩(wěn)定的絕熱系統(tǒng),重點在于由激光來實現(xiàn)自旋翻轉(zhuǎn)的控制非操作其優(yōu)點在于極度減弱了去相干效應(yīng), 而且很容易在任意離子之間實現(xiàn)n 位量子門。
第三種方案是硅基半導(dǎo)體量子計算機. 其原理是在高純度硅中摻雜自旋為1/2的離子實現(xiàn)存儲信息的量子位,重點在于用絕緣物質(zhì)實現(xiàn)量子態(tài)的隔絕,其優(yōu)點在于可以利用現(xiàn)代高效的半導(dǎo)體技術(shù)。
此外還有線性光學(xué)方案, 腔量子動力學(xué)方案等.
3.3量子計算機的未來
隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,量子計算機也會逐漸走向現(xiàn)實研制和現(xiàn)實運用。
量子計算機不但于未來的計算機產(chǎn)業(yè)的發(fā)展緊密相關(guān),更重要的是它與國家的保密、電子銀行、軍事和通訊等重要領(lǐng)域密切相關(guān)。
實現(xiàn)量子計算機是21 世紀科學(xué)技術(shù)的最重要的目標之一。
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數(shù)值計算在量子力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用及優(yōu)勢【3】
摘要：量子力學(xué)一直以來都是高等物理教學(xué)的重點和難點。
為了避免煩瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，提高學(xué)生對量子力學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，應(yīng)將數(shù)值計算作為一個虛擬實驗平臺引入到量子力學(xué)的教學(xué)中。
關(guān)鍵詞：量子力學(xué);數(shù)值計算;諧振子
一、引言
量子力學(xué)是研究微觀粒子運動規(guī)律的物理學(xué)分支學(xué)科，與相對論一起構(gòu)成了現(xiàn)代物理學(xué)的理論基礎(chǔ)[1]。
對于高等院校物理專業(yè)的學(xué)生，量子力學(xué)在基礎(chǔ)課程中占有核心地位。
通過學(xué)習(xí)量子力學(xué)，可進一步將學(xué)生對客觀物質(zhì)世界的感性認識提升到理性認識。
因此，對于高校量子力學(xué)教師而言，形象、生動的課堂教學(xué)不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且還能完善和拓展學(xué)生的物理專業(yè)知識，從而提高學(xué)生的思維水平和培養(yǎng)他們的科研能力。
對于大部分初學(xué)者，除了難以理解量子力學(xué)中一些與常理相悖的知識外，煩瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)使很多同學(xué)對量子力學(xué)望而生畏。
如果高校教師繼續(xù)沿用傳統(tǒng)的解析推演、口述筆寫的教學(xué)方式，將加大學(xué)生學(xué)習(xí)量子力學(xué)的難度。
此外，量子力學(xué)的授課內(nèi)容大部分屬于理論知識，受條件的限制，許多高校無法為學(xué)生開設(shè)實驗課程，這使得學(xué)生對抽象的量子力學(xué)現(xiàn)象缺乏客觀認識。
隨著計算機的不斷發(fā)展，很多教師將一些數(shù)值計算引入到了量子力學(xué)教學(xué)中，不僅有效地規(guī)避了煩瑣的數(shù)學(xué)解析推演，而且也能作為量子力學(xué)授課的理想實驗平臺，為學(xué)生形象地展示量子力學(xué)中的一些抽象且難以理解的量子現(xiàn)象和概念[2，3]。
因此，為了降低學(xué)生學(xué)習(xí)量子力學(xué)的難度，提高學(xué)生對量子力學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，應(yīng)鼓勵高校教師將計算機及數(shù)值計算搬進量子力學(xué)的教學(xué)課堂。
本文將通過具體的一些量子力學(xué)實例來說明數(shù)值計算應(yīng)用于量子力學(xué)教學(xué)過程中的優(yōu)勢。
二、數(shù)值計算在量子力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用實例
我們將以一維勢場中單個粒子的定態(tài)及含時演化為例來說明數(shù)值計算在量子力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。
為了簡單，我們以Matlab軟件作為數(shù)值計算的平臺。
例1：一維定態(tài)薛定諤方程的數(shù)值計算
在量子力學(xué)中，描述單個粒子在一維勢場V(x)中運動的定態(tài)薛定諤方程如下：
- +Vxψx=Eψx (1)
這里我們假設(shè)m=?攸=1。
原則上，通過從定態(tài)薛定諤方程中求解出波函數(shù)ψ(x)，我們可以知道該粒子在勢場V(x)中運動的所有信息。
然而，方程(1)是否存在解析解，在很大程度上依賴于勢場V(x)的具體形式。
對于較為簡單的勢場，例如大家熟知的無限深勢阱及諧振子勢阱，很容易解析求解方程(1)。
相反，如果勢場V(x)的形式比較復(fù)雜，如周期勢或雙勢阱，則必須借助于數(shù)值計算。
因此，當學(xué)生學(xué)會利用數(shù)值計算求解無限深勢阱或諧振子勢阱中的定態(tài)薛定諤方程時，則很容易舉一反三的將其推廣至較為復(fù)雜的勢場，從而避免了煩瑣的數(shù)學(xué)問題。
以下是基于Maltab軟件并利用虛時演化方法所編寫的計算定態(tài)薛定諤方程的程序：
clearall
N=100;x=linspace(-6，6，N+1);dx=x(2)-x(1);dt=0.001;dxdt=dt/dx^2;
V=0.5*x.^2;%諧振子勢函數(shù)
temp=1+dxdt+dt*V;
psi=rand(1，N+1);%初始波函數(shù)
psi=psi/sqrt(sum(abs(psi).^2)*dx);%歸一化波函數(shù)
psi1=psi;
for k=1：10000000
%---------迭代法求解三對角方程---------
psi2=zeros(1，N+1);
for m=1：100000000
for j=2：N
psi2(j)=(psi(j)+0.5*dxdt*(psi1(j+1)+psi1(j-1)))/temp(j);
end
emax=max(abs(psi2-psi1));psi1=psi2;
ifemax<1e-8
break
end
end
psi1=psi1/sqrt(sum(abs(psi1).^2*dx));emax=max(abs(psi-psi1));psi=psi1;
ifemax<1e-6 %波函數(shù)收斂條件
break
end
end
作為例子，我們利用上述程序分別計算出諧振子和雙勢阱中的基態(tài)解。
程圖1(a)中展示了諧振子的基態(tài)解，從中可以看出，數(shù)值計算的結(jié)果和精確解一致。
對于V (x)= x +ae 的雙勢阱(這里a為勢壘高度，b為勢壘寬度)，由于波函數(shù)滿足相同的邊界條件ψ(x→±∞)=0，則只需要將上述程序中的諧振子換成V (x)即可，其基態(tài)波函數(shù)展示在圖1(b)中。
從圖1(b)中可以看出，隨著勢壘高度的增加，粒子穿過勢壘的幾率越來越低。
由此可見，利用數(shù)值計算能形象地描述粒子在雙勢阱中的勢壘貫穿效應(yīng)，這降低了學(xué)生對該現(xiàn)象的理解難度，同時提高了教師的授課效率。
例2：一維含時薛定諤方程的數(shù)值計算
在量子力學(xué)中，描述單個粒子在一維勢場V(x)中運動的含時薛定諤方程如下：
i =- +V(x)ψ(x，t) (2)
該方程為二階偏微分方程，對于一般形式的外勢V(x)很難嚴格求解該方程。
因此，我們借助時間劈裂傅立葉譜方法進行數(shù)值求解，其Matlab程序代碼如下：
clearall
N=200;L=20;dx=L/N;x=(-N/2：N/2-1)*dx; K=2*pi/L;k=fftshift(-N/2：N/2-1)*K;
V=0.5*3*x.^2;
psi=exp(-(x-2).^2);psi=psi/sqrt(sum(abs(psi).^2)*dx);%歸一化初始波函數(shù)
t=linspace(0，10，1001);dt=t(2)-t(1);F=exp(-i*0.5*dt*k.^2/2);
for j=1：length(t);
%---------時間劈裂譜方法求解---------
psi=ifft(F.*fft(psi));
psi=exp(-i*V*dt).*psi;
psi=ifft(F.*fft(psi));
U(j，：)=psi;
end
作為例子，我們分別選取了諧振子勢阱的基態(tài)波函數(shù)和非基態(tài)波函數(shù)作為時間演化的初始值。
從圖2中可以看到，當初始值為基態(tài)波函數(shù)時，波包的構(gòu)型并不會隨著時間的演化而發(fā)生形變，這說明粒子處于動力學(xué)穩(wěn)定的狀態(tài)。
相反，當我們將初始波函數(shù)的波包中心稍作挪動，則隨著時間的演化，波包將在勢阱中做周期性振蕩。
我們可以讓學(xué)生利用數(shù)值程序證明波包振蕩周期等于諧振子的頻率。
此外，如果我們將初始波函數(shù)改為諧振子的激發(fā)態(tài)，并在初始時刻加上一個較小的擾動項，則可利用時間演化程序證明激發(fā)態(tài)在外界的一定擾動下而變得動力學(xué)不穩(wěn)定。
因此，數(shù)值程序為我們提供了驗證理論結(jié)果的理想實驗平臺，有利于學(xué)生對抽象物理概念的理解。
三、結(jié)語
基于Matlab軟件，我們以量子力學(xué)中的定態(tài)和含時薛定諤方程為例來說明數(shù)值計算應(yīng)用于量子力學(xué)教學(xué)過程中的優(yōu)勢。
數(shù)值計算不僅有效避免了煩瑣的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，而且也可當作理想的實驗平臺來形象地展示量子力學(xué)中一些抽象的物理現(xiàn)象。
高校教師借助于數(shù)值計算能拓展學(xué)生的物理專業(yè)知識，提高他們對量子力學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們利用數(shù)值計算做一些簡單的科學(xué)研究。
參考文獻：
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