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數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)性問題研究論文
數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)。內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)采用不同的表達(dá)方式，以滿足多樣化的學(xué)習(xí)需求�！蔽艺J(rèn)為這里的挑戰(zhàn)性非常重要，因?yàn)榘嗉?jí)授課制的主要弱點(diǎn)誻很難兼顧學(xué)生的個(gè)體差異，這就使教師在進(jìn)行授課時(shí)，許多學(xué)生處于被動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)，大大降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。怎么做才能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使其和諧、自主地發(fā)展呢？設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性的問題可以說是一劑良藥，它可以觸發(fā)學(xué)生的非智力因素，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和解決問題的欲望，使課堂活起來，下面結(jié)合實(shí)例談?wù)勛约旱囊恍w會(huì)。
1.在動(dòng)手操作中思考變與不變
在進(jìn)行人教版14.1軸對(duì)稱第一課時(shí)的教學(xué)，為了突破難點(diǎn)——比較觀察軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系，我設(shè)計(jì)了以下教學(xué)過程：
……
師：剛才我們動(dòng)手剪一些圖形，請(qǐng)你把它們擺成如圖所示的情形。(第一幅圖是軸對(duì)稱圖形，第二幅圖是兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱)
分別移動(dòng)或旋轉(zhuǎn)圖1中的松樹和圖2中的一個(gè)小人，什么變了什么沒變？你有什么發(fā)現(xiàn)？
生1：在移動(dòng)或旋轉(zhuǎn)松樹的過程中，它們的形狀沒有變，位置變了。
師：它還是軸對(duì)稱圖形嗎？請(qǐng)用一句話歸納你的發(fā)現(xiàn)。
生1：是，軸對(duì)稱圖形是具有某種特征的一個(gè)圖形，與位置無關(guān)。
師：很好!誰能類似地說說圖2？
生2：在移動(dòng)或旋轉(zhuǎn)圖2中一個(gè)小人的的過程中，兩個(gè)小人的形狀沒變，但一個(gè)小人的位置變了，兩個(gè)小人已不再關(guān)于某直線對(duì)稱，也就是說兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱是兩個(gè)全等圖形之間的相對(duì)位置關(guān)系，與位置有關(guān)。
通過讓學(xué)生動(dòng)手操作，并在操作過程中支思考——什么變了什么沒變，從而得到問題的本質(zhì)，這樣的問題具有挑戰(zhàn)性，學(xué)生有興趣去親身實(shí)踐，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力，還培養(yǎng)了學(xué)生的歸納和語言組織能力。
2.在認(rèn)知沖突下產(chǎn)生學(xué)習(xí)需要
在進(jìn)行人教版3.2直線、射線、線段第一課時(shí)的教學(xué)時(shí)，我先讓幾位學(xué)生畫過點(diǎn)O的直線和過兩點(diǎn)A、B的直線(如圖)，然后提出問題：經(jīng)過一點(diǎn)可以畫幾條直線？經(jīng)過兩點(diǎn)呢？用一
句話概括你的結(jié)論。在得到“兩點(diǎn)確定一條直線”后，我又提出新的問題：剛才甲同學(xué)畫的是哪一條？乙同學(xué)呢？同學(xué)們面面相覷，既是知道是哪一條，也不能清楚地說出來，這就產(chǎn)生了認(rèn)知矛盾，要想明確地表示不同的直線，就需要知道直線的表示方法。這時(shí)教師繼續(xù)追問：為什么過點(diǎn)O直線不能明確地說出誰畫的，而過點(diǎn)A、B的直線卻可以明確地知道呢？然后思考如何表示一條直線比較合理。在得到直線的表示方法后，讓學(xué)生獨(dú)立思考后再小組討論：能用同樣的方法表示線段和射線嗎？如果不能，應(yīng)怎樣修改？
這樣從看似簡(jiǎn)單的問題入手，引導(dǎo)學(xué)生一層層、一步步去挖掘問題的本質(zhì)，使學(xué)生的大腦處于積極的思維狀態(tài)，提高了學(xué)生的積極性和學(xué)習(xí)效率。
3.在游戲背景下，逐漸提高問題的難度
新世紀(jì)中學(xué)的王宏強(qiáng)老師在講人教版3.1多姿多彩的圖形時(shí)，為了讓學(xué)生充分感知各種圖形的形狀特征，特別有創(chuàng)意地設(shè)計(jì)了一個(gè)魔術(shù)袋，里面裝了一些大小、形狀各異的立方體，讓學(xué)生一個(gè)一個(gè)地向外摸當(dāng)時(shí)學(xué)生情緒很高。當(dāng)學(xué)生摸出一個(gè)后，王老師問：“你摸出的是什么？它有幾個(gè)頂點(diǎn)、幾條棱、幾個(gè)面？”學(xué)生依次摸出了長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體、錐體等等，但因?yàn)楸姸鄮缀误w的出場(chǎng)順序和問題相同，所以后來學(xué)生的興趣劇減。我認(rèn)為如果稍作修改，提出一些挑戰(zhàn)性的問題，將會(huì)增色不少。如將游戲分為三步走。第一步，讓學(xué)生任意摸出一個(gè)幾何體，看著它，利用視覺描述它的特征后再說出它的名稱；第二步，讓學(xué)生任意摸到一個(gè)幾何體，先別拿出來，利用手的觸覺描述它的特征，讓大家猜一猜是什么幾何體，然后拿出來進(jìn)行驗(yàn)證；第三步，讓學(xué)生根據(jù)老師描述的特征去摸出相應(yīng)的幾何體，讓大家判斷正誤……
這樣層層遞進(jìn)，不斷問題的難度，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的視覺、觸覺及抽象思維，使學(xué)生的興趣逐漸達(dá)到高潮，這節(jié)課將會(huì)成為成為一堂很有特色的成功優(yōu)質(zhì)課。
4.在一題多解的環(huán)境下，探究問題的體質(zhì)
一位教師在講解人教版七年級(jí)上冊(cè)P88的例2時(shí)介紹了兩種解法。
例2一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時(shí)；從乙碼頭到甲碼頭逆流行駛，用了2.5小時(shí)。已知小流的速度是3千米/時(shí)，求船在靜水中的平均速度。
解法一：設(shè)船在靜水中的平均速度為x千米/時(shí)，根據(jù)往返路相等可列方程
2(x+3)=2.5(x-3)
解略
解法二：設(shè)甲乙兩碼頭之間的距離為x千米，由船在靜水中速度不變可列方程
解略
到這里似乎結(jié)束了，但學(xué)生還沒有深刻理解，教師應(yīng)繼續(xù)提問：兩種方法有什么不同？又有什么聯(lián)系？要引導(dǎo)學(xué)生去思考，明白一種是設(shè)直接未知數(shù)，一種是設(shè)間接未知數(shù)，更要讓學(xué)生知道題目中有兩個(gè)未知數(shù)、兩個(gè)等量關(guān)系，設(shè)出一個(gè)未知數(shù)表示出另一個(gè)未知數(shù)時(shí)必然要用到一個(gè)相等關(guān)系，所以列方程時(shí)就必須用另一個(gè)相等關(guān)系，不然循環(huán)引用列出象x+3-3=x-3+3這樣的恒等方程來，使學(xué)生的思維在今后解應(yīng)用題時(shí)更具目的性。
5.主動(dòng)改編習(xí)題，養(yǎng)成挑戰(zhàn)性格，培養(yǎng)創(chuàng)新能力
現(xiàn)在的學(xué)生絕大部分疲于完成老師布置的作業(yè)、習(xí)題，思維和態(tài)度均處于被動(dòng)狀態(tài)，這樣不僅會(huì)禁錮學(xué)生的思路，還容易將學(xué)生拉進(jìn)盲目的題海之中。為了克服這些缺點(diǎn)，教師要引導(dǎo)學(xué)生將課本習(xí)題進(jìn)行改編，換個(gè)條件、換個(gè)方向，以期體會(huì)出題者的意圖，培養(yǎng)探究能力和創(chuàng)新精神。
例1已知圓柱的底面半徑為6cm，高為10cm，螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路程是多少？
學(xué)生沿一條母線剪開得到側(cè)面展開圖后，容易求出最短路程為cm，待學(xué)生完全理解后，教師可將習(xí)題進(jìn)行變式，提出下列問題：
(1)為什么要展開？
(2)如果半徑和高均為6cm，最短路程又為多少？
(3)若將點(diǎn)B移到點(diǎn)A的正上方，如圖，最短路線是哪一條？
(4)如果從點(diǎn)A繞圓柱一周后到達(dá)點(diǎn)B建一懸梯，則懸梯的最短長(zhǎng)度是多少？
(5)如果圖(4)中的圓柱較高，為了減少坡度，點(diǎn)A需繞圓柱兩周到達(dá)點(diǎn)B，最短路程又是多少？
這樣不斷變換題目的條件，逐漸提高難度，學(xué)生要想正確解答出來，要進(jìn)行合理的分類比較、正確地空間想象以及較強(qiáng)的分析綜合能力，(4)、(5)雖然較難，但(4)可仿照原題的思路解出，而(5)可以將其轉(zhuǎn)化為(4)來解決，同時(shí)還向?qū)W生滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，既培養(yǎng)了學(xué)生的興趣，又提高了學(xué)生的能力。
例2已知一個(gè)三角形的三邊分別是17，15,8，求這個(gè)三角形的面積。
此題是勾股定理之后的一道練習(xí)題，學(xué)生容易驗(yàn)證此三角形為直角三角形，因此15和8分別為直角邊，所以面積是15×8/2=60。
這里教師可以提出一個(gè)新的挑戰(zhàn)性的問題：若將題目中的17改為10，還可以這么做嗎？
學(xué)生驗(yàn)算后回答：不能，因?yàn)椴皇侵苯侨切危礂l件不夠。教師接著問：已知三角形的三邊長(zhǎng)度，它的形狀和大小是不是確定的？如果確定，條件應(yīng)該夠，為什么不能做呢？
學(xué)生恍然大悟，作高!具體做法如下：
過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，設(shè)BD=x，則DC=15-x，于是有
解出x就可求出高AD，從而可以求出三角形的面積。
此題訓(xùn)練了學(xué)生的邏輯思維能力，滲透了方程思想，同時(shí)又強(qiáng)化了邊邊邊公理，可謂一舉多得，也讓學(xué)生體會(huì)到了創(chuàng)新的樂趣。
總之，挑戰(zhàn)性是高質(zhì)量問題的一個(gè)顯著特征，問題具有了挑戰(zhàn)性，才能更好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的非智力因素，才會(huì)產(chǎn)生高質(zhì)量地互動(dòng)，解決此類問題也往往包含著數(shù)學(xué)思想方法和策略的應(yīng)用，學(xué)生的智慧和人格自然會(huì)在這個(gè)過程中形成。
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